卞煥清 呂小兵 朱金霞

【摘 要】平鋪直敘的教學方式忽略了數(shù)學知識生成的過程，往往讓學生對數(shù)學產生了疏離感，失去學習數(shù)學的興趣，阻礙了對數(shù)學知識整體性的認識，這樣的教學方式亟須改進。文章以折紙活動為載體，設置系列問題鏈，探討“做數(shù)學”教學理念在初中數(shù)學教學實踐的應用。“做數(shù)學”視角下的課堂問題鏈的建構應凸顯情境的真實性，緊扣學生的主體性，聚焦問題的整體性，挖掘學科的育人性，讓學生在具身的學習體驗中體會知識的自然生長，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】“做數(shù)學”；關鍵能力；問題鏈；學科育人

初中階段對于圖形變化主要研究軸對稱、旋轉和翻折，和小學階段相比，對學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力提出了更高要求，而傳統(tǒng)教學方式高度抽象、注重推理、片段性強的特征容易使學生失去數(shù)學學習的興趣。隨著基礎教育改革的不斷深入，很多學者及一線教師不斷致力于傳統(tǒng)教學方式的改進，以期解決傳統(tǒng)教學模式的問題。

“做數(shù)學”源于杜威的“做中學”思想［1］，強調從真實的生活情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學問題，通過課堂上親身體驗，自主地探索數(shù)學知識，從而發(fā)展數(shù)學學科能力?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）也指出，數(shù)學學科教學應該注重啟發(fā)式的應用，激發(fā)學生學習興趣，引導學生在真實的情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、推理等方法分析問題和解決問題［2］。筆者從“做數(shù)學”的視角入手，依據(jù)蘇科版九年級義務教育教科書數(shù)學實驗手冊中“折紙與特殊角的三角函數(shù)”內容，通過系列環(huán)節(jié)的設置，引導學生通過操作體驗，發(fā)現(xiàn)折紙中的數(shù)學，探究通過折紙能夠應用已經學習的數(shù)學知識解決數(shù)學問題。

一、教學目標解析

折紙活動中主要蘊含三種基本運動方式之一的軸對稱，對于圖形的運動，《課程標準》對各學段提出了具體要求（見表1）［2］。

從《課程標準》的要求中不難發(fā)現(xiàn)，對于圖形運動的研究應從真實情境出發(fā)，用數(shù)學的眼光審視生活現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題。初中階段研究圖形運動關注的不僅是能夠描述圖形的位置和運動，認識圖形運動的變化特征，還需要關注學生的幾何直觀、空間觀念和數(shù)學推理能力的發(fā)展。

在實際生活中，學生對折紙活動較為熟悉，能夠折出一些基本圖形，有一定活動經驗基礎。從知識儲備上看，九年級的學生學習了平移、旋轉和軸對稱相關知識，能綜合應用軸對稱、直角三角形的性質和銳角三角函數(shù)等知識，其識圖能力、空間想象能力已基本形成。從教學意義上看，利用折紙活動能幫助學生應用所學知識，架構知識模塊之間的橋梁，培養(yǎng)學生直觀想象能力和邏輯推理能力，發(fā)展學生數(shù)學思維，有助于實現(xiàn)數(shù)學教學的育人價值。

二、“做數(shù)學”理解下的“折特殊角”教學實踐

（一）從生活情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的真實性

傳統(tǒng)教學方式強調數(shù)學的抽象性，疏遠了學生與學生、學生與教師、學生與數(shù)學之間的距離，難以培養(yǎng)學生的學習興趣。因此，“做數(shù)學”應從生活情境出發(fā)，引導學生關注生活實際，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。

【片段1】動手操作，發(fā)現(xiàn)折紙活動的數(shù)學維度

問題1 同學們，相信大家都會折紙，你能折出哪些奇妙的形狀呢？其中蘊含了哪些數(shù)學知識呢？

設計意圖：數(shù)學源于生活，而數(shù)學問題往往源于真實的生活情境。問題1引導學生從生活中熟悉的折紙中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，讓學生用數(shù)學的眼光審視生活，從自身生活經驗出發(fā)思考數(shù)學問題，建立數(shù)學和生活實際的聯(lián)系。

（二）以親身體驗為主，體驗數(shù)學知識的生長性

在義務教育階段，傳統(tǒng)的教學方式較容易使得日常教學和學生生活經驗產生沖突，限制了學生用自己的方式體驗、組織數(shù)學知識的機會。因此，泛在學習視域下的“做數(shù)學”應讓學生動手動腦，培養(yǎng)學生良好的探究習慣，讓學生體會數(shù)學知識生長的過程。

【片段2】深入思考，探究翻折運動中的特殊角度

問題2 同學們，通過分析我們發(fā)現(xiàn)折紙本質上就是數(shù)學中的軸對稱，其中蘊含了豐富的線段與角的知識。你能通過折紙獲得特殊角嗎？

追問1：我們能直觀地獲得哪個特殊角？

追問2：通過翻折得到45°角以后，我們還能獲得哪些角？

設計意圖：該環(huán)節(jié)問題的設置讓學生梳理折紙活動的研究目標，明確研究路徑，即我們要研究的是如何通過折紙獲取30°、45°和60°這些特殊角，從這些特殊角獲得哪些結論。

在課堂實踐過程中，大部分學生會直接將正方形紙片沿著對角線對折獲得45°（如圖1），即“由角到角”；也有少部分學生利用直角三角形中銳角三角函數(shù)獲得，如在Rt△ABD中，tan∠ABD=1，那么∠ABD=45°，即“由邊到角”。在課堂中，教師要引導學生用兩種不同的數(shù)學眼光來審視問題，發(fā)現(xiàn)從哪些視角探究獲得特殊角，在獲取45°角之后，還能獲得哪些角度（如圖2），繼而跳出30°、45°和60°這些特殊角的桎梏，提升學生數(shù)學思維的延續(xù)性。

【片段3】發(fā)展思維，剖析特殊角度的獲取路徑

問題3 同學們，我們可以從哪些角度出發(fā)獲得30°角？

追問 你能想出幾種折30°角的方法？

設計意圖：學科教學的根本價值在于引導學生學會思考、積累學習經驗，折30°角（或者60°角）是本節(jié)課的重點也是難點，其探究的過程充分體現(xiàn)了學生對“從角到角”和“從邊到角”兩個思路的理解和應用。如果學生在實際操作過程中遇到困難，教師應適當引導學生思考：30°或者60°能夠轉化為哪些已知含有特殊角的圖形？也可以考慮是否能夠折出直角三角形，利用邊角關系來解決問題。經過探究，學生發(fā)現(xiàn)30°角的折法遠不止以下幾種折法：如圖3中∠DC[′]F=30°，圖4中∠EA[′]P=30°，圖5中∠CB[′]F=30°。因此，發(fā)散性的問題能進一步激發(fā)學生的探究欲望，讓學生能夠主動利用課后時間動手探究多種解決方法。

【片段4】認識本質，整合折紙問題的邊角關系

問題4 利用正方形紙片，請你折一個角θ，并滿足tanθ=[12]。

追問 你還能提出哪些問題？

設計意圖：在經歷了一系列特殊角的折疊后，教學的內容不能僅僅局限于特殊角。該教學環(huán)節(jié)旨在引導學生從特殊走向一般，依據(jù)銳角三角函數(shù)和該銳角一一對應的關系來獲取更多的角。同時，教師在引導學生思考能否折出角θ，使得tanθ=[nm]，其中m，n是正整數(shù)；或者tanθ=m，其中m是正實數(shù)。在分析如何解決這個問題的過程中，實際上只需要獲得一邊的等分點，這樣就可以將問題轉化為熟悉的等分點問題，實現(xiàn)邊角關系的有機結合，從而從一個問題入手，提出一系列問題；從解決一個問題出發(fā)，認識問題的本質，形成解決問題的一般方法。

（三）以能力發(fā)展為指引，挖掘數(shù)學學科的育人價值

學科教學的過程其實就是幫助學生“悟學”的過程，也是引導學生體會知識發(fā)生的過程。而“悟學”的過程往往會充滿困惑和挫折，正是經歷了曲折的探索過程，學生才能形成解決問題的策略和方法，體會學習價值，領悟學科魅力，發(fā)展學科核心素養(yǎng)。

【片段5】挖掘歷史，彰顯數(shù)學學科的文化魅力

問題5 你能否折出10°角呢？

這個問題其實也是古希臘三大尺規(guī)作圖難題之一的三等分任意角問題，如今數(shù)學家證明了這個三等分任意角不能用尺規(guī)解決，但折紙能解決這個問題。

設計意圖：數(shù)學史有著豐富的內涵，生動有趣的故事、穿越時空的智慧、貼近生活的問題等［3］，可以充分調動學生學習的主動性，培養(yǎng)良好的學科情感和態(tài)度。古希臘三大尺規(guī)作圖難題的引入不僅能讓學生充分體會到古代數(shù)學家對數(shù)學問題的不懈探究和了解數(shù)學知識演變的悠久歷史，還讓學生產生進一步探究尺規(guī)作圖為何不能三等分任意角和折紙為何能夠三等分任意角，以及如何操作、如何證明操作的正確性的欲望。

【片段6】歸納總結，梳理問題探究的一般策略

問題6 請你來談一談我們是如何研究折特殊角的。

設計意圖：如何折特殊角只是本節(jié)課要研究的知識目標，數(shù)學課堂也不能局限于知識的獲取，如何研究折特殊角才是本節(jié)課的價值所在。該問題的設置旨在引導學生回顧本節(jié)課解決問題的一般路徑，歸納探索問題的一般思路，再一次激發(fā)學生的學科思維，讓學生學會思考、形成習慣、積累素養(yǎng)，從而充分挖掘數(shù)學學科的育人價值。

三、教學感悟

折特殊角是“做數(shù)學”教學活動的一次有效嘗試，本節(jié)課從生活實際情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)折紙中的數(shù)學，探索如何利用折紙獲得特殊角，提出并解決一系列問題，其價值建立在豐富的數(shù)學思維活動之中。當然，拋開數(shù)學思維，如果“做數(shù)學”只定位于程序性的機械操作，也就失去了數(shù)學學科味道，缺乏數(shù)學教學價值。因此，筆者認為育人視角下的“做數(shù)學”教學活動應從以下幾個方面進行建構。

（一）關聯(lián)情境，落實生活數(shù)學的有機結合

數(shù)學源于生活，反之數(shù)學也能有效地描述自然界現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。因此，“做數(shù)學”的教學活動應關聯(lián)生活情境，引導學生用數(shù)學的眼光觀察生活現(xiàn)象，落實生活實際和數(shù)學學科的有機結合。折紙活動用數(shù)學的眼光看是軸對稱運動，但折紙幾何學在醫(yī)療和航空航天領域等也被廣泛應用。因此，折紙和生活的緊密聯(lián)系不僅能提升學生學習的興趣，還能激發(fā)學生探究折紙中數(shù)學奧秘的積極性，提高折紙活動的深層價值，形成數(shù)學學習的閉環(huán)（如圖6）。

（二）深度思考，挖掘問題本質的深刻價值

“做數(shù)學”教學活動往往容易陷入數(shù)學思維含金量不高、操作價值利用率不大、數(shù)學本質遷移性不強等困境。因此，“做數(shù)學”需要提升數(shù)學活動的思維含金量，深挖問題的深刻價值?！罢厶厥饨恰庇蓛蓷l思維線索，即“由角到角”和“由邊到角”?！坝山堑浇恰苯柚鄣玫较嗟鹊慕?，繼而利用多次翻折可以解決高維度的三等分任意角問題；“由邊到角”借助銳角三角函數(shù)解決“折角θ，滿足tanθ=m，其中m是正實數(shù)”的問題。實際上，“由邊到角”的問題只需要獲取正方形紙片的“m分割點”即可，也就是說折紙問題實際上就是研究紙片翻折前后角與角，線段與角之間的關系，實現(xiàn)了對邊角關系探究的有機統(tǒng)一（如圖7）。

（三）高位理解，助力思維品質的穩(wěn)步提升

數(shù)學教學的價值不是解題能力的提升，而是在于幫助學生學會思維、形成習慣、發(fā)展素養(yǎng)，也就是幫助學生獲取能夠解決實際問題的基本技能、基本思想、基本經驗和基本素質。本節(jié)課要傳授給學生的不僅僅是如何折特殊角，而是如何利用現(xiàn)有的知識經驗來研究“折特殊角”問題，如何挖掘“折特殊角”的數(shù)學本質，進而歸納、總結出解決問題的一般路徑，思索還能提出并解決哪些問題，進而穩(wěn)步提升學生的思維品質。

總的來說，“做數(shù)學”理念下的“折特殊角”教學活動能夠引導學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學，更好地激發(fā)學生學習興趣，動手動腦的教學樣態(tài)讓學生通過動手操作，進行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動，在一定程度上能夠影響學生對數(shù)學認知結構的建構，幫助學生更好地理解數(shù)學，培養(yǎng)學生的數(shù)學品質及發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的能力，真正實現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值。

參考文獻：

［1］董林偉，石樹偉.做數(shù)學：學科育人方式的實踐創(chuàng)新［J］.數(shù)學通報，2021（4）：22-24，62.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］汪曉勤.HPM：數(shù)學史與數(shù)學教育［M］.北京：科學出版社，2017.

（責任編輯：陸順演）