張宇

幾何體的外接球是指一個(gè)幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的球體．幾何體外接球的半徑問題在各類試題中經(jīng)常出現(xiàn)，側(cè)重于考查同學(xué)們的抽象思維能力、空間想象能力與運(yùn)算能力，通常難度較大．下面，結(jié)合例題探討一下求解幾何體外接球半徑的幾種方法，

一、補(bǔ)形法

若問題中給出的幾何體不規(guī)則，則可采用補(bǔ)形法，將空間幾何體補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的空間幾何體，如圓錐、正三棱柱、正三棱錐等，便可以根據(jù)新幾何體的性質(zhì)與特點(diǎn)，確定空間幾何體的中心位置，即球心的位置，然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式來求得幾何體外接球的半徑．

若已知三個(gè)平面兩兩互相垂直，我們就可以運(yùn)用補(bǔ)形法，將空間幾何體補(bǔ)為一個(gè)規(guī)則的、熟悉的長方體，這樣便可以根據(jù)長方體的對角線即為其外接球的直徑，來建立關(guān)于半徑的關(guān)系式，運(yùn)用補(bǔ)形法解題較為簡便，不僅能簡化計(jì)算的過程，還能有效降低問題的難度，

二、定義法

球的半徑是指到球心的距離都相等的點(diǎn)的集合，那么外接球的球心到幾何體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，故求幾何體外接球半徑，實(shí)質(zhì)上就是要確定外接球球心的位置，即在空間中找到幾何體上的每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)，求出該距離，即可解題，

根據(jù)題意難以確定正三棱錐P-ABC外接球的球心位置，于是采用定義法，根據(jù)球的半徑的定義，找到正三棱錐P-ABC上的部分頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)該點(diǎn)到三棱錐上其他點(diǎn)的距離都相等的關(guān)系，來建立數(shù)量關(guān)系式，就能順利確定出該點(diǎn)的位置，并求出外接球的半徑，

三、建系法

有時(shí)候，我們根據(jù)題意和幾何體的圖形難以確定球心的位置，此時(shí)就需要根據(jù)幾何體的特點(diǎn)和性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，采用建系法來求解空間幾何體外接球的半徑．首先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)出球心的坐標(biāo)，并求出空間中各個(gè)點(diǎn)和線段的坐標(biāo)，這樣就可以順利用向量表示出球心到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的距離，建立相應(yīng)的關(guān)系式，即可求出球心的坐標(biāo)以及球的半徑．

運(yùn)用此種方法解題，關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系．一般地，要盡量使更多的點(diǎn)在同一個(gè)平面或一條直線上，這樣可以有效地減少運(yùn)算量．

總之，求幾何體外接球的半徑，關(guān)鍵在于要找到外接球的球心位置，同學(xué)們在解題時(shí)，可根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和已知的信息，采用補(bǔ)形法、定義法、建系法來求解，一般來說，補(bǔ)形法較為簡單，定義法和建系法較為復(fù)雜，且解題過程中的運(yùn)算量較大，但定義法的應(yīng)用范圍更廣．

（作者單位：江蘇省大港中學(xué)）