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        幾何體外接球半徑的幾種求法

        2022-05-30 15:06:49張宇
        關(guān)鍵詞:定義解題

        張宇

        幾何體的外接球是指一個(gè)幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的球體.幾何體外接球的半徑問題在各類試題中經(jīng)常出現(xiàn),側(cè)重于考查同學(xué)們的抽象思維能力、空間想象能力與運(yùn)算能力,通常難度較大.下面,結(jié)合例題探討一下求解幾何體外接球半徑的幾種方法,

        一、補(bǔ)形法

        若問題中給出的幾何體不規(guī)則,則可采用補(bǔ)形法,將空間幾何體補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的空間幾何體,如圓錐、正三棱柱、正三棱錐等,便可以根據(jù)新幾何體的性質(zhì)與特點(diǎn),確定空間幾何體的中心位置,即球心的位置,然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式來求得幾何體外接球的半徑.

        若已知三個(gè)平面兩兩互相垂直,我們就可以運(yùn)用補(bǔ)形法,將空間幾何體補(bǔ)為一個(gè)規(guī)則的、熟悉的長方體,這樣便可以根據(jù)長方體的對角線即為其外接球的直徑,來建立關(guān)于半徑的關(guān)系式,運(yùn)用補(bǔ)形法解題較為簡便,不僅能簡化計(jì)算的過程,還能有效降低問題的難度,

        二、定義法

        球的半徑是指到球心的距離都相等的點(diǎn)的集合,那么外接球的球心到幾何體的所有頂點(diǎn)的距離都相等,故求幾何體外接球半徑,實(shí)質(zhì)上就是要確定外接球球心的位置,即在空間中找到幾何體上的每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn),求出該距離,即可解題,

        根據(jù)題意難以確定正三棱錐P-ABC外接球的球心位置,于是采用定義法,根據(jù)球的半徑的定義,找到正三棱錐P-ABC上的部分頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)的軌跡,再根據(jù)該點(diǎn)到三棱錐上其他點(diǎn)的距離都相等的關(guān)系,來建立數(shù)量關(guān)系式,就能順利確定出該點(diǎn)的位置,并求出外接球的半徑,

        三、建系法

        有時(shí)候,我們根據(jù)題意和幾何體的圖形難以確定球心的位置,此時(shí)就需要根據(jù)幾何體的特點(diǎn)和性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系,采用建系法來求解空間幾何體外接球的半徑.首先建立合適的空間直角坐標(biāo)系,然后設(shè)出球心的坐標(biāo),并求出空間中各個(gè)點(diǎn)和線段的坐標(biāo),這樣就可以順利用向量表示出球心到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的距離,建立相應(yīng)的關(guān)系式,即可求出球心的坐標(biāo)以及球的半徑.

        運(yùn)用此種方法解題,關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系.一般地,要盡量使更多的點(diǎn)在同一個(gè)平面或一條直線上,這樣可以有效地減少運(yùn)算量.

        總之,求幾何體外接球的半徑,關(guān)鍵在于要找到外接球的球心位置,同學(xué)們在解題時(shí),可根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和已知的信息,采用補(bǔ)形法、定義法、建系法來求解,一般來說,補(bǔ)形法較為簡單,定義法和建系法較為復(fù)雜,且解題過程中的運(yùn)算量較大,但定義法的應(yīng)用范圍更廣.

        (作者單位:江蘇省大港中學(xué))

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