曾慶國(guó)

[摘 ?要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，立足教材，充分發(fā)揮例習(xí)題的使用功能，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，有效提升教學(xué)品質(zhì). 同時(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的角度思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，巧妙利用問(wèn)題誘發(fā)學(xué)生深度思考，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，助力學(xué)生全面發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 立足教材;獨(dú)立思考;學(xué)習(xí)品質(zhì)

教材是眾多教育專(zhuān)家的智慧結(jié)晶，是教學(xué)之本，其在教學(xué)中的意義和價(jià)值是不言而喻的. 若想打造好課堂，教師在教學(xué)中就要應(yīng)用好教材，切實(shí)把握教材內(nèi)容的內(nèi)涵和外延，以便對(duì)知識(shí)形成深刻的理解和感悟[1]. 不過(guò)，在實(shí)際教學(xué)中，部分教師為了追求解題效率，將大多精力放在解題教學(xué)上，忽視了對(duì)教材資源的深度挖掘，未能展示教材內(nèi)容豐富的內(nèi)涵，使得教材的價(jià)值難以充分體現(xiàn)，影響了學(xué)生思維能力的發(fā)展. 另外，教材因限于篇幅省略了許多思維過(guò)程，若在教學(xué)中不能加以呈現(xiàn)，則學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解可能一知半解，從而容易出現(xiàn)似懂非懂的情況. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要立足教材，認(rèn)真研究分析教材，理解教材的設(shè)計(jì)意圖，充分挖掘例習(xí)題的使用功能，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生將知識(shí)學(xué)懂學(xué)會(huì)，并可以靈活應(yīng)用. 另外，在實(shí)際教學(xué)中，教師除了要認(rèn)真解讀教材外，還要結(jié)合教學(xué)的主客觀條件以及學(xué)生的實(shí)際情況重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，學(xué)會(huì)站在學(xué)生的角度去思考和解決問(wèn)題，以此提升教學(xué)質(zhì)量. 教學(xué)中應(yīng)如何立足教材，優(yōu)化教學(xué)呢？筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談幾點(diǎn)看法，若有不足，請(qǐng)指正.

[?]理解教材設(shè)計(jì)意圖

對(duì)于如何備課，不同的教師有著不同的備課方法和習(xí)慣，不過(guò)不管應(yīng)用何種方法和手段，教師都要認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生、研究教學(xué)，切實(shí)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，精心籌備教學(xué)活動(dòng). 但在實(shí)際教學(xué)中，尤其是在公開(kāi)課、匯報(bào)課上，大多數(shù)教師將主要精力用在課件的設(shè)計(jì)上，對(duì)教材的研究時(shí)間很少，從而造成教師對(duì)教材的挖掘不夠深入，未能理解教材真正的設(shè)計(jì)意圖，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳，事倍功半. 因此，教師應(yīng)深入研究教材，理解教材的設(shè)計(jì)意圖，充分挖掘教材蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和潛在價(jià)值，這樣在教學(xué)中才能用好教材，優(yōu)化教學(xué).

案例1 某地在市郊的小山上建立一座電視發(fā)射塔. 如圖1所示，小山的高BC約為30米，在水平地面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A，C兩點(diǎn)的距離為67米，從點(diǎn)A觀察電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，求電視發(fā)射塔的高度.

圖1為人教A版必修4中的“三角恒等變換”章頭圖，問(wèn)題乍一看很簡(jiǎn)單，根據(jù)已知可設(shè)電視發(fā)射塔的高度CD=x米，∠CAB=α，則sinα=. 在Rt△ABD中，tan（45°+α）=tanα，于是x=-30. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，主要有兩種解決方案：一是根據(jù)sinα=，求出α值，代入上式求解;二是根據(jù)tan（45°+α）與tanα，tan45°的關(guān)系求解. 以上是從學(xué)生的角度出發(fā)，按照學(xué)生的思路進(jìn)行的有效分析. 教材編者這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題的目的到底是什么呢？難道僅是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力嗎？難道其所要研究的僅是問(wèn)題本身嗎？答案自然是否定的. 對(duì)于第一種解決方案，該方案是學(xué)生最容易想到的，也是最易于理解的. 不過(guò)根據(jù)sinα=，求出α值，需要借助計(jì)算器，可操作性差，不是最優(yōu)方案，但可以借此與學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沖突，激發(fā)他們探究新知的熱情. 對(duì)于第二種解決方案，若能發(fā)現(xiàn)tan（45°+α）與tanα，tan45°的關(guān)系，就能從中抽象出一般的數(shù)學(xué)公式，這就是教材的設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體情境引出問(wèn)題，即對(duì)一般情況，當(dāng)α，β為任意角時(shí)，能否用α，β的三角函數(shù)值表示α+β和α-β的三角函數(shù)值，讓學(xué)生領(lǐng)悟探究新知的必要性，激發(fā)學(xué)生的探究熱情.

為了更好地教學(xué)，教師要站在學(xué)生的角度思考問(wèn)題，例如探究案例1時(shí)，當(dāng)學(xué)生給出第一種解決方案，利用計(jì)算器求解時(shí)，教師不要急于否定，也不要視而不見(jiàn)，可以嘗試順著學(xué)生的思路去思考，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)第一種解決方案存在的不足，由此讓學(xué)生自然地過(guò)渡到新知的探究中去，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新方法的探究熱情.

理解教材真正的編寫(xiě)意圖并掌握學(xué)生的基本思維路徑后，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生站在更高的角度去理解教材、應(yīng)用教材，優(yōu)化認(rèn)知，完成知識(shí)的系統(tǒng)化建構(gòu).

[?]挖掘習(xí)題的使用功能

教材例習(xí)題經(jīng)過(guò)教育專(zhuān)家仔細(xì)推敲、認(rèn)真打磨，是鞏固知識(shí)、提高思維水平的重要載體. 教材例習(xí)題一般起點(diǎn)低、入口寬，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，易于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的解題信心[2]. 同時(shí)，例習(xí)題的視角比較開(kāi)放，若能合理利用，則有助于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 因此，在例習(xí)題教學(xué)后，教師要為學(xué)生營(yíng)造廣闊的探究空間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全方位、多角度的探究，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和變通性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”.

案例2 已知圓C：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C：x2+y2-4x-4y-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，試判斷圓C和圓C的位置關(guān)系.

本題較為簡(jiǎn)單，教師可以將學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)法和幾何法來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系. 在順利求解后，教師進(jìn)一步對(duì)例題進(jìn)行挖掘，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究.

探究：已知圓C：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C：x2+y2-4x-4y-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AB的方程.

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“定交點(diǎn)，求方程”的過(guò)程，通過(guò)求解后反思發(fā)現(xiàn)“直線AB的方程就是圓C和圓C的方程之差”. 總結(jié)出規(guī)律后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比猜想：若C1，C2兩圓相切，此時(shí)圓C和圓C的方程相減，又能得到什么呢？由此猜想“兩圓由相交逐漸分離，當(dāng)A，B兩點(diǎn)‘合二為一時(shí)，相切兩圓的方程相減可得過(guò)公切點(diǎn)的切線方程”. 當(dāng)然猜想不能作為結(jié)論，故猜想后要進(jìn)行推導(dǎo)和驗(yàn)證，在此環(huán)節(jié)中為了便于學(xué)生獲得直觀感受，并順利驗(yàn)證該結(jié)論的正確性，教師可以應(yīng)用幾何畫(huà)板驗(yàn)證一般情況，從而得出“若圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相切，則圓C與圓C的方程之差（D-D）x+（E-E）y+（F-F）=0表示兩圓的公切線方程”. 當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷猜想、探究、分析等過(guò)程后，教師可以順勢(shì)引導(dǎo)他們繼續(xù)探究思考兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，兩圓方程相減又能得到什么. 學(xué)生通過(guò)特例發(fā)現(xiàn)以上兩種情況雖然沒(méi)有公共點(diǎn)，但是兩圓方程相減能夠得到一直線方程，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)該方程所具有的特殊含義進(jìn)行探究，然后利用幾何法分析發(fā)現(xiàn)，該直線與兩圓連心線垂直.

通過(guò)對(duì)例習(xí)題的充分挖掘，從相交到相切，再到相離或內(nèi)含，將相關(guān)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，可以達(dá)到“解一題通一類(lèi)”的效果，有助于學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是鞏固知識(shí)、強(qiáng)化技能的重要手段，但這并不是教學(xué)的最終目的，其最終目的是通過(guò)適當(dāng)練習(xí)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，因此在例習(xí)題教學(xué)中切忌“就題論題”，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度、各個(gè)知識(shí)點(diǎn)去考察和分析例習(xí)題，關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間的前后聯(lián)系，注意知識(shí)的橫縱拓展和延伸，從而建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 同時(shí)，教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從理性的高度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，通過(guò)觀察、類(lèi)比、思考、探究等去更好地理解數(shù)學(xué). 另外，在例習(xí)題教學(xué)中，教師要控制好“量”，切勿為了追求“多”而將學(xué)生帶入“題海”. 這樣做不僅會(huì)給學(xué)生帶來(lái)額外的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且會(huì)占用學(xué)生獨(dú)立思考和自主探究的時(shí)間;不僅會(huì)抑制學(xué)生思維能力的發(fā)展，而且容易使學(xué)生出現(xiàn)厭煩情緒. 故在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重挖掘例習(xí)題的使用功能，借助“少而精”的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力的大發(fā)展，促進(jìn)其解題能力提升.

[?]經(jīng)歷有效的思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，若在學(xué)習(xí)過(guò)程中忽視了知識(shí)間的聯(lián)系，則難以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)化建構(gòu)，勢(shì)必影響知識(shí)的遷移. 要知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善和優(yōu)化的過(guò)程，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不能將知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，那么對(duì)知識(shí)的理解一定是片面的. 判斷學(xué)生是否理解了新知識(shí)，并不是看學(xué)生利用新知識(shí)解決了多少問(wèn)題，而是看學(xué)生是否將已有知識(shí)連在了一起. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)合理應(yīng)用教材，關(guān)注學(xué)生的已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，多帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，通過(guò)有效的思維訓(xùn)練幫助學(xué)生建立完善的認(rèn)識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移.

案例3 函數(shù)圖像的平移和伸縮變換.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)，而函數(shù)圖像的平移和伸縮變換是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn). 學(xué)生之所以認(rèn)為它難并不是因?yàn)樗y以理解，而是因?yàn)閷W(xué)習(xí)時(shí)沒(méi)有與已有知識(shí)建立聯(lián)系，或者錯(cuò)誤地聯(lián)系已有知識(shí)而發(fā)生了知識(shí)負(fù)遷移. 如根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，容易出現(xiàn)負(fù)遷移的原有知識(shí)有：①對(duì)于圖像的平移，坐標(biāo)軸上“左負(fù)右正，下負(fù)上正”;②對(duì)于圖像的伸縮變換，當(dāng)0<λ<1時(shí)，圖像縮短原來(lái)的λ倍;③當(dāng)有平移也有收縮變換時(shí)，應(yīng)先平移后變換. 若在教學(xué)中讓學(xué)生死記硬背、生搬硬套，不僅難以讓學(xué)生理解，而且容易發(fā)生知識(shí)負(fù)遷移. 因此，教學(xué)中教師可以利用平移公式x′=x+h，

y′=y+k和伸縮公式x′=λx（λ>0），

y′=μx（μ>0）幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，以此幫助學(xué)生深化理解.

經(jīng)歷以上探究后，教師給出了這樣一個(gè)問(wèn)題：將函數(shù)的圖像先向左平移個(gè)單位，然后將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來(lái)的，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)至原來(lái)的3倍，得到函數(shù)________ 的圖像.

學(xué)生結(jié)合平移公式和伸縮公式，給出了如下求解過(guò)程：y=6sin

2x+→y=6sin2

x+

+→y=6sin

2

2x+ +

→=6sin2

2x+

+→y=18sin

4x+.

從練習(xí)反饋來(lái)看，學(xué)生解題時(shí)顯然游刃有余. 可見(jiàn)，立足已有認(rèn)知，將新舊知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，可有效化解教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生的思維更加有序，解題能力提到提升.

[?]引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考

獨(dú)立思考是學(xué)生獲得知識(shí)、內(nèi)化知識(shí)、發(fā)展智力、提升能力的重要手段，其在教學(xué)中的價(jià)值和意義是不可取代的，應(yīng)始終放在教學(xué)首位. 不過(guò)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了追求高效，部分教師依然采用“填鴨式”的教學(xué)方式，忽視了學(xué)生獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)，抑制了學(xué)生的思維發(fā)展. 為了打破這一局面，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生，合理布局，為激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考創(chuàng)造條件，并通過(guò)有效啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的獨(dú)立思考能力.

案例4 已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式（等式）組2x-y≥0，

x≤3，

x+y-4=0，則的最小值為_(kāi)_______.

這是在線性規(guī)劃的復(fù)習(xí)課上，教師給出的一道隨堂練習(xí)題. 從練習(xí)反饋來(lái)看，練習(xí)效果不理想. 為了讓學(xué)生能夠?qū)W懂吃透，教師沒(méi)有直接給出答案，而是借助“問(wèn)題鏈”引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考.

問(wèn)題1：根據(jù)這個(gè)不等式（等式）組，你想到了什么？

從學(xué)生反饋來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生根據(jù)已知想到了可行域、線段.

問(wèn)題2：由可行域或線段，你能解決什么問(wèn)題？

該問(wèn)題比較開(kāi)放，學(xué)生給出了多種不同的答案，如研究ax+by+c的取值范圍，求或x2+y2的取值范圍，等等. 從學(xué)生反饋來(lái)看，并沒(méi)有得到教師想要的答案，經(jīng)過(guò)教師的再三引導(dǎo)，學(xué)生想到了求或的取值范圍的問(wèn)題.

問(wèn)題3：仔細(xì)觀察代數(shù)式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

有了問(wèn)題2的鋪墊，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式可變形為，由此將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍的問(wèn)題.

從以上教學(xué)過(guò)程來(lái)看，教師為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)開(kāi)放的、自由的問(wèn)題環(huán)境，以此培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，不過(guò)學(xué)生還沒(méi)有完成“在已有知識(shí)到變形知識(shí)上的改變”. 因此，教學(xué)中教師要扮演好促進(jìn)者、引導(dǎo)者、啟發(fā)者的角色，耐心地指導(dǎo)教學(xué)，從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，了解學(xué)生之所思、所想、所困，從而通過(guò)巧妙引導(dǎo)，激活學(xué)生認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效對(duì)接，為發(fā)展學(xué)生的思維能力創(chuàng)造良好的契機(jī).

總之，教學(xué)中教師切勿越俎代庖，要為學(xué)生預(yù)留充足的時(shí)間去發(fā)現(xiàn)、探究，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作探究來(lái)培養(yǎng)“四基”和發(fā)展“四能”.

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