李文明

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。分類以比較為基礎(chǔ)， 比較是分類的前提， 分類是比較的結(jié)果。因此， 在培養(yǎng)分類思想上，應(yīng)當(dāng)突出“比較”二字。那么，如何“比較”呢？筆者認(rèn)為，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出分類討論中分類標(biāo)準(zhǔn)的“差異性”，比如：為什么選擇這個時間段為變化后與變化前的界限？動態(tài)變化中，為什么找這個點為轉(zhuǎn)折點？通過練習(xí)將分類標(biāo)準(zhǔn)的尋找變成學(xué)習(xí)的自動化過程，多訓(xùn)練幾次，學(xué)生便可以在做中領(lǐng)悟到分類的道理。此外，培養(yǎng)分類思想的關(guān)鍵還在于教會學(xué)生如何思考問題。

現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)教學(xué)遵從生長數(shù)學(xué)的理念，就是讓學(xué)生主動地在已有的知識體系上建立新知識的結(jié)構(gòu)體系。俗話說，萬事開頭難。難就難在七年級的第一次分類討論如何進(jìn)行。在初中階段，學(xué)生第一次用到分類討論是在“絕對值與相反數(shù)”這一節(jié)，因此，教師要在這一節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計與思考，探討分類討論的具體形式以及思路方法，從而初步培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維體系的建構(gòu)。

下面，筆者以蘇科版七（上）“絕對值與相反數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，探討如何從問題生長，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想。

一、教學(xué)設(shè)計

1.問題呈現(xiàn)

例題：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想。下面是運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題。

【提出問題】已知三個有理數(shù)a、b、c， 滿足abc

>0，求[aa]+[bb]+[cc]的值。

【解決問題】由題意，得a、b、c都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)。

①a、b、c都是正數(shù)，即a>0， b>0，c>0時，[aa]+[bb]+[cc]=[aa]+[bb]+[cc]=1+1+1=3；②當(dāng)a、b、c中有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)a>0，b<0，c<0，則[aa]+[-bb]+[-cc]=1-1-1=-1。

綜上所述，[aa]+[bb]+[cc]值為3或-1。

【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

（1）已知a、b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)[ab]=-ab時，[aa]+[bb]的值是；

（2）已知a、b、c是有理數(shù)，當(dāng)abc<0時，[aa]+[bb]+[cc]的值為；

（3）已知a、b、c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0，求[b+ca]+[c+ab]+[a+bc]的值。

2. 問題引導(dǎo)

如果一開始就讓學(xué)生解決問題，學(xué)生會感到很困難，同時也說明這是一節(jié)“失敗”的復(fù)習(xí)課。所以，在展示出例題以后，筆者先讓學(xué)生將問題“放一放”，先考慮下面的問題：

（1）[2=]；（2）[-2=]；（3）[22]=；（4）[-2-2]=。

從建構(gòu)主義的角度來說，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程就是在腦海中建立一套體系的過程。從分類思想的培養(yǎng)來說，前兩個問題是引導(dǎo)學(xué)生了解對于絕對值里面的數(shù)，不用考慮符號；后兩道題則是引導(dǎo)學(xué)生對比、比較，讓他們發(fā)現(xiàn)雖然兩個數(shù)的絕對值一樣，但做除法之后好像又不一樣。這也是由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法的滲透。

這時學(xué)生就會聯(lián)想到一開始的問題并進(jìn)行思考，但過一會兒又會意識到“好像懂但又解不出來”。這是因為他們沒有理解“abc[>]0”這個條件。而這一個條件之所以“無用武之地”，是因為分類討論思想還沒有滲透到他們的心中，只是有提示了，他們才會想起來討論。

所以，筆者給出另一組口答形式的問題來提示他們：

（1）2×3 ０；（2）2×（-3） ０；（3）（-2）×3 ０；（4）（-2）×（-3） ０；

這四個問題可以提示學(xué)生，“ab”大于零還是小于零，和a、b的正負(fù)情況有關(guān)。這時再次引導(dǎo)學(xué)生回過頭來看例題的第一問該如何思考 。

到這里，學(xué)生就會知道，[ab]=-ab的意思就是 ab為非正數(shù)，進(jìn)而得到 a、b的符號是一正一負(fù)，即a、b異號。引導(dǎo)至此，學(xué)生自然而然建構(gòu)起初步的分類討論的思想：要考慮正負(fù)情況。

此時，學(xué)生的知識樹已經(jīng)“生長”出了幾根“枝葉”，第一問就可以讓學(xué)生自主解決。為了加強(qiáng)學(xué)生對問題的分析解決能力，教師還應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想方法：“第二問與第一問的區(qū)別與聯(lián)系是什么呢？”（這也是“比較”的一種具體表現(xiàn)形式。）

學(xué)生回答：“多了一個c?！边@時教師要進(jìn)一步引導(dǎo)：“第一問的思路可以推廣到第二問嗎？試試看！”這句話是為了滲透“由特殊到一般”的思想方法，也為了讓學(xué)生體會解答題的一般解題思路：后面的問題一般都和第一問有關(guān)，甚至可以使用類似的思路來解答。在實際解題中體會數(shù)學(xué)思想方法是最直接、最有效的。

對于第二問，往往是數(shù)學(xué)能力中等偏上的學(xué)生能依靠第一問的提示完成解答。此時，其他學(xué)生需要的不是具體的解答過程，而是需要教師引導(dǎo)：“三個數(shù)相乘，什么情況為正？什么情況為負(fù)？”大多數(shù)學(xué)生便知道數(shù)的乘積的正負(fù)與乘數(shù)的正負(fù)情況有關(guān)。要想進(jìn)一步深化分類討論思想，教師還要在后續(xù)的教學(xué)中繼續(xù)引導(dǎo)。

對于第三問，學(xué)生很難想到先移項，再依靠等號將b+c轉(zhuǎn)化成-a，a+c轉(zhuǎn)化成-b，a+b轉(zhuǎn)化成-c。一方面，第三問多了一個條件，學(xué)生無所適從；另一方面，對等式進(jìn)行移項轉(zhuǎn)化，或等式兩邊同時加、減同一個數(shù)的方法，與前兩問的解決方法完全不一樣，并且在小學(xué)也沒有用過。這里，就需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)：

（1）1+2+（-3）=；（2）1+（-4）+3=；（3）（-3）+1+2=。

這三問是引導(dǎo)學(xué)生思考、利用“a+b+c=0”這個條件的，但依然會有學(xué)生無法理解如何利用。故還需要教師適時引導(dǎo)：“同學(xué)們看看和為0的三個數(shù)有什么特征？”學(xué)生是可以看出來絕對值的關(guān)系對和的影響的，如果這時學(xué)生還沒想到相反數(shù)，那么教師可以提示學(xué)生：“前兩問我們對什么進(jìn)行了討論？”

至此，便是學(xué)生自主思考的時間，即“在做中學(xué)”。

在本節(jié)課快結(jié)束時，教師還要帶領(lǐng)學(xué)生再次回顧本節(jié)課的重點，要讓學(xué)生學(xué)會如何從題目中找到思考的方向。其中，分類討論思想依然需要教師強(qiáng)調(diào)并設(shè)計針對性練習(xí)進(jìn)行鞏固。

二、教學(xué)反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提倡“生長數(shù)學(xué)”的建構(gòu)主義方法研究。以一道題為例，要想串聯(lián)起一整套的分類思想方法，重點在于對例題的解構(gòu)，將例題分成一個個小部分，由易到難，逐步推進(jìn)，讓學(xué)生在一個個部分中體會數(shù)學(xué)思想?！霸谧鲋袑W(xué)”是培養(yǎng)學(xué)生分類思想的有效途徑。教師要設(shè)計一個個“階梯式”的小題，提示學(xué)生思考；建立獎勵機(jī)制，鼓勵學(xué)生往正確的方向思考；注重“以小見大”的題目布置，設(shè)計問題緊湊嚴(yán)密，逐步推進(jìn)，像講故事一樣，將數(shù)學(xué)思想娓娓道來。

本節(jié)課的設(shè)計，主要圍繞絕對值的討論進(jìn)行。為什么絕對值的內(nèi)容會出現(xiàn)分類討論的問題？是因為“絕對值”這一映射是單射，這種非一一映射的對應(yīng)在初中階段不多出現(xiàn)。弄明白分類討論產(chǎn)生的原因，對問題的講解會更加接近本質(zhì)，這里不再詳細(xì)敘述。除了絕對值，平方根的內(nèi)容也會出現(xiàn)單射，同樣也需要分類討論。那么，要想讓學(xué)生了解、熟悉、理解這樣一種單射，需要這類分類討論的問題長期重復(fù)出現(xiàn)，還需要教師強(qiáng)調(diào)以及注重講解中的思想滲透。

在初中階段，學(xué)生第二次遇到分類討論是在用一元一次方程解決行程問題時。行程問題是應(yīng)用題里難啃的“硬骨頭”。兩物體相遇以后改變運動方向的問題，以及環(huán)形跑道的相遇問題，歸根到底，都是對不同時刻的運動狀態(tài)進(jìn)行分類討論的問題。對運動狀態(tài)改變的時間節(jié)點進(jìn)行討論，可以和“絕對值與相反數(shù)”的內(nèi)容進(jìn)行類比思考。行程問題的分類標(biāo)準(zhǔn)是運動狀態(tài)改變時的時間節(jié)點，而絕對值的分類討論大部分都是對“正負(fù)”進(jìn)行討論。前者是實際生活中可以進(jìn)行類比參照的，也是完全可以想象出來的分類討論，而后者更偏于理論上的討論，但是在分類討論的種類分化上，本質(zhì)是一樣的，就是通過“比較”，找到問題中量的性質(zhì)變化的臨界點，進(jìn)行劃分。而這也和戴德金分割的思想一致，即將數(shù)集中的數(shù)進(jìn)行分割，分割的標(biāo)準(zhǔn)就是數(shù)與數(shù)之間的“臨界點”。

再回到教學(xué)中，教師設(shè)計好教學(xué)問題之后，課堂上還要給足學(xué)生思考的時間。教師不僅要引導(dǎo)，還要讓他們主動跟著教師的思路走，所以，這就要求：題目的問題設(shè)計難度梯度合理，前后緊湊連貫；教師的威信度高，學(xué)生信服；教師的設(shè)問引導(dǎo)要有誘發(fā)性，學(xué)生愿意去思考。

（作者單位：江蘇省溧水高級中學(xué)附屬初級中學(xué)）