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        合理設(shè)計(jì)探究問題,用數(shù)學(xué)的方式育人

        2022-05-30 20:28:03余葉軍楊廣清
        關(guān)鍵詞:數(shù)是數(shù)軸距離

        余葉軍 楊廣清

        大部分教師往往采用有序評講的方式進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué),這種方式缺少知識的重新架構(gòu)、宏觀的視角、整體的思維,與當(dāng)下大單元教學(xué)的觀念背道而馳。要想切實(shí)地解決這些問題,習(xí)題課教學(xué)就要在知識的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上做文章,讓學(xué)生既見樹木也見森林;要以知識為載體,思想方法為核心,提高解決問題的能力為切入點(diǎn),最大限度地讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中承擔(dān)主人翁角色,有效體現(xiàn)思維的生長性、深刻性、靈活性、創(chuàng)造性,從而落實(shí)立德樹人的根本任務(wù),彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價(jià)值。

        一、教學(xué)背景

        本節(jié)課是一節(jié)“鄉(xiāng)村共同體”聯(lián)合示范課,教學(xué)對象為一所學(xué)校的七年級學(xué)生。本節(jié)示范課教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生通過對數(shù)軸的再認(rèn)識,感受數(shù)形結(jié)合的思想,建立方程的模型,提升數(shù)學(xué)思考能力,為后續(xù)平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)作鋪墊。由此明確了本節(jié)課的教學(xué)理念是在活動中生成,在生成中成長。本節(jié)課的教學(xué)主線是讓學(xué)生說一說、畫一畫、算一算,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、歸納總結(jié)方法,最后進(jìn)行相關(guān)知識的應(yīng)用。

        二、教學(xué)過程

        師:同學(xué)們,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)軸的相關(guān)知識,請你說說你心中的數(shù)軸是什么樣子的。

        生1:一條有正方向的直線。

        生2:還有原點(diǎn)和單位長度。

        師:請你畫一條數(shù)軸,說說數(shù)軸可以幫助我們解決什么問題。

        生3:正數(shù)、0、負(fù)數(shù)可以在數(shù)軸上有序排列。

        生4:可以利用數(shù)軸比較數(shù)的大小。

        設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過想一想數(shù)軸的樣子,在腦海中直觀感受數(shù)軸的形象;再通過畫一畫讓這種感受成為現(xiàn)實(shí),也提高了作圖的能力;最后,通過說一說,進(jìn)一步體現(xiàn)理性思維。

        活動探究1? 讀圖(圖1)獲取信息:

        師:我們能從圖1中得到哪些信息?

        生5:我能得出A、B、C、D四個點(diǎn)表示的數(shù)分別是-3、-1、2、3。

        生6:這四個數(shù)的大小關(guān)系從圖中能直接看出。

        生7:能求出每個數(shù)的絕對值。

        師:絕對值的定義是什么?

        生8:絕對值表示數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

        師:那么數(shù)軸上點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是多少?

        生9:點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是2。

        師:你是怎么得出的?

        生9:我是從圖中直接看出來的。

        師:非常棒!借助數(shù)軸,直接看出,幾何直觀,一目了然。請同學(xué)們看圖2,此時數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離是多少?還能直接看出來嗎?

        學(xué)生一臉茫然,隨后陷入沉思,小組交流,教師巡視。

        師:有想法了嗎?

        生10:AB=b-a。

        師:把你的想法和同學(xué)們分享一下。

        生10:我是借助于圖1,多舉幾個特殊的例子,然后由特殊到一般,歸納出一般性的結(jié)論。

        師:我發(fā)現(xiàn)了有部分同學(xué)的結(jié)果是a-b,正確嗎?

        生11:正確,因?yàn)閍-b是負(fù)數(shù)了,距離不能為負(fù)數(shù)。

        師:距離可以用之前學(xué)的什么知識來表達(dá)?

        生12:絕對值。我們可以求a-b的絕對值。

        師:那么,我們可不可以把結(jié)論的形式統(tǒng)一呢?

        生13:AB=[a-b]或[b-a]。

        設(shè)計(jì)意圖:看圖說話是學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言的重要途徑。這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一個開放性的獲取圖形信息的問題,既是對學(xué)生數(shù)軸知識的再一次喚醒,又是對學(xué)生思維能力的再一次提升。教師讓學(xué)生用代數(shù)式表示線段長,展現(xiàn)不一樣的思考方式,最后通過一個一致性的表達(dá)去統(tǒng)一思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論之美。在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時,也為后續(xù)解決問題提供了生長點(diǎn)。

        活動探究2 觀察圖3,回答下列問題:

        (1)[4-1]表示哪兩個點(diǎn)之間的距離?[4-(-1)]呢?

        (2)你會用式子表示A、C兩點(diǎn)之間的距離嗎?

        (3)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,另有一點(diǎn)P表示的數(shù)是x,你會用式子表示A、P兩點(diǎn)之間的距離嗎?

        (4)你能說說[x+1]表示的含義嗎?

        (5)若x表示一個有理數(shù),你能說說[x-1]+[x+3]表示的含義嗎?觀察數(shù)軸,你還有什么想法?

        師:同學(xué)們對哪一個問題疑惑最大?

        生14:我們小組對問題(5)疑惑最大。

        師:其他小組是否也有同樣的疑惑?舉手示意。

        師:問題(5)與問題(4)有聯(lián)系嗎?我們的經(jīng)驗(yàn)在哪里?可以怎樣變形呢?

        生15:式子[x-1]+[x+3]可以變化為[x-1]+[x-(-3)]。

        師:很好,離成功不遠(yuǎn)了,這樣我們就可以用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)這個式子的含義了。

        生16:從數(shù)軸上看,我們可以理解為x到1和x到-3之間的距離和。

        師:表達(dá)得非常準(zhǔn)確。我們再用變化的眼光去直觀感受一下,在x變化的過程中,x到1和x到-3之間的距離和怎么變化呢?

        生17:利用數(shù)軸,我發(fā)現(xiàn)x在1和-3之間時距離和最小,最小值為4。所以[x-1]+[x+3]最小值為4,沒有最大值。

        師:問題(5)從數(shù)的角度很難解決,因?yàn)樯婕捌撸ㄏ拢┑囊辉淮尾坏仁胶头诸愑懻摰臄?shù)學(xué)思想,難度較大。因此,我們可以根據(jù)式子的特征聯(lián)想到數(shù)軸,通過幾何直觀,利用數(shù)形結(jié)合來解決。

        設(shè)計(jì)意圖:活動探究2以問題串的形式給學(xué)生搭建思維的“腳手架”,讓不同層次的學(xué)生都能體會到成功的喜悅,實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值。教師以問題串的形式,讓探究走向縱深,體現(xiàn)了深度教學(xué),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生高階思維,讓學(xué)生在已有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,積極思考,主動利用類比去探究、去構(gòu)建,激發(fā)數(shù)學(xué)思維活力。

        活動探究3 觀察圖4,獲取信息:

        師:AC+BC等于多少?

        生18:AC+BC=8。

        師:若點(diǎn)P在線段AB上,則PA+PB等于多少?

        生19:PA+PB等于8。

        師:若點(diǎn)P在數(shù)軸上,且PA+PB=10,你能求出點(diǎn)P表示的數(shù)嗎?

        生20:PA+PB=10時,點(diǎn)P有兩個位置。若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè),則點(diǎn)P表示的數(shù)是-4;若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè),則點(diǎn)P表示的數(shù)是6。

        生21:借助前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),我可以設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x,因?yàn)镻A+PB=10,可以得出[x-(-3)]+[x-5]=10,然后分類討論求解。

        師:兩位同學(xué)經(jīng)過思考都形成了自己的解題方法,成功利用本節(jié)課的知識解決了問題。同學(xué)們能否根據(jù)圖4,在剛才的基礎(chǔ)上再提出一個問題呢?

        生22:若點(diǎn)P在數(shù)軸上,求PA+PB的最小值。

        生23:若點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x,當(dāng)PA+PB有最小值時,這個x的位置確定嗎?

        生24:若點(diǎn)P在數(shù)軸上,PA+PB+PC有沒有最值?

        師:同學(xué)們的問題都非常具有創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性。請同學(xué)們利用課后時間相互交流,解決問題。

        設(shè)計(jì)意圖:通過活動探究3的學(xué)習(xí),學(xué)生感受到由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想,進(jìn)一步體會知識間的聯(lián)系,建立方程的模型。教師讓學(xué)生利用自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出問題,培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神,讓學(xué)生自己分析問題,解決問題,帶著問題走向課后,實(shí)現(xiàn)由課堂走向課后的教學(xué)評價(jià)體系,讓評價(jià)體系更加完整。

        三、教學(xué)反思

        1.合理設(shè)計(jì)探究問題,促進(jìn)學(xué)生整體領(lǐng)悟

        “雙減”背景下,如何讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中獲得更多,在課后自我發(fā)展,構(gòu)建生長型習(xí)題課就尤為重要。生長型習(xí)題課需要學(xué)生對所學(xué)的知識有著很好的整體領(lǐng)悟能力,而合理設(shè)計(jì)探究問題是促進(jìn)學(xué)生整體領(lǐng)悟的一個有效路徑。如活動探究1,教師通過一系列的問題串,不斷地讓學(xué)生去回憶數(shù)軸的定義、用途,為后續(xù)深度探究奠定了堅(jiān)實(shí)的知識基礎(chǔ)。學(xué)生通過自己的合理探究,得出了數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離表達(dá)式,歸納出后續(xù)應(yīng)用的結(jié)論。在有序的思考中,學(xué)生經(jīng)歷問題解決的完整思維生長過程,從而達(dá)到數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)化、能力化、成長化。

        2.合理設(shè)計(jì)探究問題,促進(jìn)學(xué)生深度思考

        促進(jìn)學(xué)生深度思考要以學(xué)生的實(shí)際能力為出發(fā)點(diǎn),設(shè)計(jì)能引領(lǐng)學(xué)生思考、有梯度、有價(jià)值的問題,讓問題成為思維提升的有效著力點(diǎn)。如活動探究2,以問題串的形式呈現(xiàn),問題設(shè)計(jì)層層遞進(jìn),探究難度逐步增加,思維要求逐步提升,能力要求逐步提高,一系列的問題全方位地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。探究問題時,不僅要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察,會用數(shù)學(xué)的思維去思考,更要會用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)。比如“你能說說[x+1]表示的含義嗎?”這就需要學(xué)生有聯(lián)系地去學(xué),整體地去想,在活動中去深度探究,在深度學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)內(nèi)部是相互聯(lián)系的。

        3.合理設(shè)計(jì)探究問題,促進(jìn)學(xué)生質(zhì)疑評價(jià)

        學(xué)生的質(zhì)疑是課堂教學(xué)寶貴的財(cái)富。對于同一個問題,不同的學(xué)生往往會用不同的方法去思考,這就需要教師合理設(shè)計(jì)探究問題,引導(dǎo)學(xué)生去提煉、概括,尋找普適性的方法,然后舉一反三,產(chǎn)生遷移。在遷移過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生對這種方法進(jìn)行再加工,從中提煉出可以適用于一般的、具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想方法。如活動探究3,在前兩個活動探究的基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題——“若點(diǎn)P在數(shù)軸上,求PA+PB的最小值?!薄叭酎c(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x,當(dāng)PA+PB有最小值時,這個x的位置確定嗎?”這樣的質(zhì)疑不是一開始就具備的,而是在本節(jié)課一個個活動層層探究后產(chǎn)生的,充分說明本節(jié)課前面兩個活動探究的學(xué)習(xí)是有價(jià)值的,體現(xiàn)了合理設(shè)計(jì)探究問題的必要性。學(xué)生能夠有效地從數(shù)量特征聯(lián)想到幾何特征,從而把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題,創(chuàng)造性地利用形來解決數(shù)的問題。在此過程中,學(xué)生感受到了成功的喜悅,培養(yǎng)了創(chuàng)新才能,激發(fā)創(chuàng)新意識,也進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)育人的方式。

        (作者單位:1.江蘇省儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué);2.江蘇省儀征市教師發(fā)展中心)

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