張霞霞

進(jìn)入新時(shí)期，我國社會(huì)對人才類型的需求更加傾向于邏輯強(qiáng)、思維靈敏的復(fù)合型人才，而思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要長期的引導(dǎo)和科學(xué)的運(yùn)用。初中階段作為思維初步成型且不斷發(fā)展的重要時(shí)期，需要融入素質(zhì)教育理念，幫助學(xué)生形成良好的思維邏輯，從而在學(xué)習(xí)和思考問題時(shí)能游刃有余。在實(shí)際應(yīng)用過程中，數(shù)形結(jié)合能幫助初中生形成思維建模，具有一定的邏輯性和系統(tǒng)性，與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)理念相一致。

一、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)原則

（一）雙向性原則

雙向性原則是落實(shí)數(shù)形結(jié)合法的基礎(chǔ)性原則，需要教師針對某一抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行幾何分析，實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)，將復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成圖形，再針對其內(nèi)涵進(jìn)行精準(zhǔn)解讀；同時(shí)，利用幾何圖形來重新縷清代數(shù)關(guān)系，降低數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的難度，形成系統(tǒng)化的解題思路，既要做到“以形助數(shù)”，又要做到“以數(shù)思形”，久而久之形成抽象思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，這類方式主要見于初中數(shù)學(xué)完全平方公式和幾何圖形類知識(shí)點(diǎn)。

（二）由繁化簡原則

由繁化簡原則，顧名思義就是利用數(shù)形結(jié)合，將抽象的內(nèi)容進(jìn)行直觀演示，在“數(shù)”與“形”的變換中更加清晰、具體地展示圖形，將煩瑣且長篇幅的數(shù)字關(guān)系逐一轉(zhuǎn)換成圖像語言，加深記憶，在腦海中形成思維建模，簡化分析流程。在由繁化簡的過程中需要注意數(shù)形結(jié)合方式的運(yùn)用，若題目過于煩瑣，可以用圖形來加以解讀，若是圖像不細(xì)致，則要利用數(shù)字關(guān)系解讀圖形，切忌本末倒置。

（三）等價(jià)性原則

等價(jià)性原則要求教師在解讀幾何性質(zhì)與代數(shù)時(shí)要充分反映二者的關(guān)系，確保做到無偏差、互補(bǔ)。在初中數(shù)學(xué)中有很多圖形關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)問題，或一些示數(shù)不規(guī)范，使圖像理解存在歧義的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生思維空白?；诘葍r(jià)性原則的數(shù)形結(jié)合法能有效彌補(bǔ)這一缺陷，確保幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系所表達(dá)內(nèi)涵的一致性，降低解題失誤率。

二、數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)核心素養(yǎng)的途徑

（一）導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合思想完善思維

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是新時(shí)期初中數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重點(diǎn)任務(wù)，這一過程中要求教師將側(cè)重點(diǎn)放在思維方面的培養(yǎng)上，然而核心素養(yǎng)的養(yǎng)成需要長期的積累與循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，因此教師可以在教育初始階段引入數(shù)形結(jié)合思想，提升學(xué)生認(rèn)知，在其腦海中構(gòu)建一個(gè)完整的輪廓，再進(jìn)行接下來的針對性引導(dǎo)，重塑思維邏輯，形成完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，在學(xué)到新知識(shí)時(shí)能自然而然地利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換。

代數(shù)是初中數(shù)學(xué)中比較基礎(chǔ)的部分，但其知識(shí)點(diǎn)在后續(xù)教學(xué)中所涉及的部分很多，需要教師打下良好基礎(chǔ)。例如，在華師大版初一數(shù)學(xué)第二章“有理數(shù)”的學(xué)習(xí)過程中，首先需要詳細(xì)講解有理數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等內(nèi)容的具體概念。為了在學(xué)生思維中建立數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，教師可以運(yùn)用具體圖像來幫助其強(qiáng)化理解，適當(dāng)融入以往教學(xué)過程中的知識(shí)點(diǎn)，如小數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)等。在授課過程中可以采用問題式引導(dǎo)，根據(jù)圖1橫軸示數(shù)的內(nèi)容提出以下問題：0點(diǎn)兩邊的數(shù)值有什么區(qū)別和共性？a與b之間存在多少有理數(shù)，多少整數(shù)？|a|與|b|誰大？A和B誰大？

圖1 橫軸示數(shù)

有理數(shù)中比較容易混淆的知識(shí)點(diǎn)在于數(shù)值的正負(fù)性比較和絕對值比較，通過數(shù)形結(jié)合的方式能有效規(guī)避這類問題，讓學(xué)生了解和掌握數(shù)形結(jié)合的基本運(yùn)用方式，提升思想認(rèn)知，若遇到類似問題能巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從而掌握有理數(shù)、正負(fù)數(shù)的規(guī)律。

（二）由“數(shù)”到“形”的分類討論法

邏輯思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重點(diǎn)部分，而數(shù)形結(jié)合思想理念正是培養(yǎng)邏輯思維的最佳路徑?，F(xiàn)階段，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)理念已經(jīng)在各個(gè)中學(xué)普及，但部分初中教育工作者在授課過程中仍舊存在偏離理念、過于重視成績的現(xiàn)象，導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量和效率始終保持在原本水平，無法實(shí)現(xiàn)突破。此外，還存在不知如何深度落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想的現(xiàn)象?；诖?，可以選擇最基本的分類討論法來落實(shí)數(shù)形結(jié)合理念，從“數(shù)”到“形”優(yōu)化課堂內(nèi)容，不僅能提高學(xué)習(xí)效率，還能培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

函數(shù)是初中生公認(rèn)的一大數(shù)學(xué)難點(diǎn)，很多學(xué)生對其望而卻步，甚至一看到有關(guān)函數(shù)的題目直接跳過，畏難心理較重，而初中數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)的知識(shí)占比很大，造成的直接影響就是數(shù)學(xué)成績一落千丈，還有部分學(xué)生會(huì)因此厭倦數(shù)學(xué)科目，而數(shù)形結(jié)合思想剛好可以打破這一教學(xué)困境。以華師大版初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”為例，首先需要明確二次函數(shù)的難點(diǎn)是哪部分，從而對癥下藥，一般情況下基礎(chǔ)二次函數(shù)的難點(diǎn)在于規(guī)定某一范圍，求取最大最小值的部分。例如，這道題目：已知-1≤x≤a（a為大于-1的常數(shù)），求函數(shù)y=x2的最大值M和最小值m。在解題之初需要教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)分析，首先，需要明確二次函數(shù)y=x2的圖像；其次需要明確能夠決定y=x2變化的因素在于“a”的取值范圍，判斷最值時(shí)可以借助函數(shù)圖像，并將幾個(gè)數(shù)值節(jié)點(diǎn)“-1”“0”“1”視為關(guān)鍵點(diǎn)，可以歸納出四個(gè)范圍，即“-1≤a≤0”“01”；最后，需要秉持直觀性原則畫出圖像進(jìn)行分類討論（如圖2）。

圖2 二次函數(shù)圖像

根據(jù)函數(shù)圖像能讓學(xué)生清楚地了解到a的不同范圍會(huì)得到不同的結(jié)果，為了確保不會(huì)出現(xiàn)漏項(xiàng)的問題，教師要按照圖像依次進(jìn)行分類討論：

（1）-1≤a≤0時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，y最大為1，當(dāng)x=0時(shí)，y最小值為a2；

（2）0

（3）a=1時(shí)，當(dāng)x=-1或1時(shí)，y最大為1，當(dāng)x=0時(shí)，y最小為0；

（4）a>1時(shí)，當(dāng)x=a時(shí)，y最大為a2，當(dāng)x=0時(shí)，y最小為0。

綜上，能夠直觀地向?qū)W生傳達(dá)解題思路，在其腦海中形成完整的思維邏輯，再遇到類似的題目時(shí)他們也會(huì)采用同樣的方法來進(jìn)行作畫。在此過程中需要強(qiáng)調(diào)最后的總結(jié)部分，確保不要丟項(xiàng)漏項(xiàng)，書寫時(shí)務(wù)必將圖像與分類討論項(xiàng)對照，注明各個(gè)圖像范圍所對應(yīng)的內(nèi)容，尤其區(qū)分“＜”“≤”“=”以及范圍的正負(fù)性。

（三）由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的圖像解析法

除了由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”外，教師還可以舉一反三，利用由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”方式來幫助學(xué)生提升思維靈活性。對初中生來說，幾何類圖形具有一定的抽象性特點(diǎn)，往往伴隨著長篇幅的定義，經(jīng)常出現(xiàn)點(diǎn)位混亂的現(xiàn)象，導(dǎo)致思維模棱兩可，無法形成完整的記憶鏈。以往幾何圖形類教學(xué)只是在黑板上畫出圖形進(jìn)行講解，有時(shí)涉及的圖形很多，讓人眼花繚亂，分不清線與線的具體關(guān)系，基于此，數(shù)形結(jié)合思想剛好能起到輔助作用。

由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的圖像解析法主要針對一些復(fù)雜的圖形問題，可以合理引入直角坐標(biāo)系來直觀展示圖形之間的數(shù)量關(guān)系，做到化繁為簡。以此題為例：在矩形ABCD上的CD邊存在一點(diǎn)P（與C、D點(diǎn)不重合），連接A、P兩點(diǎn)形成線段AP，并過點(diǎn)A做一條垂直線與CB延長線交于點(diǎn)Q，連接PQ，選PQ的中點(diǎn)為M。在此圖中AD=10，AB=a，PD=8，a的值會(huì)發(fā)生大小變化，M點(diǎn)位置也會(huì)隨之變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部后，求取a值范圍。

根據(jù)材料內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)題目十分煩瑣，若直接畫圖可能會(huì)更加混亂，思維無法拓展，尤其涉及動(dòng)點(diǎn)知識(shí)，因此可以以直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)完成圖像的繪制，從而直觀地展示數(shù)字關(guān)系（如圖3），建立以B點(diǎn)為0軸的坐標(biāo)系，BA為y軸，BC為x軸，根據(jù)題意可知A為（0，a），P為（10，a-8），AP的斜率kAP=-4/5，因此可以得出AQ的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=4/5x+a，由于AQ與X軸相較于點(diǎn)Q，因此Q坐標(biāo)為（-4/5a，0），M作為QP中點(diǎn)，坐標(biāo)為（5-2/5a，a/2-4），當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)處于第二象限，可列出關(guān)系式5-2/5a<0和a/2-4>0，最終解得a>12.5。

圖3 利用直角坐標(biāo)系繪制的幾何圖形

數(shù)形結(jié)合的圖像解析法能化繁為簡，更加清晰地展示圖形之間的函數(shù)關(guān)系，尤其針對一些比較復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)問題很有成效，同時(shí)還能起到調(diào)動(dòng)興趣、引領(lǐng)思維的作用，使其思維始終貫穿于課堂，即使在中途存在思維偏離的現(xiàn)象，也能根據(jù)圖像及時(shí)回到課堂，跟上教師思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（四）信息技術(shù)引導(dǎo)思維建模

相比于以往的教學(xué)模式，數(shù)形結(jié)合更加注重?cái)?shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)，通過圖形與數(shù)值轉(zhuǎn)換的方式強(qiáng)化對知識(shí)點(diǎn)的理解，從而讓學(xué)生深度了解圖形關(guān)系，在腦海中建立系統(tǒng)的解題思路和學(xué)習(xí)體系，在遇到新問題時(shí)能根據(jù)數(shù)值自然而然地帶入。仍以上述的動(dòng)點(diǎn)問題為例，初中生的抽象思維尚未成熟，在利用由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的過程中很難在腦海中形成動(dòng)態(tài)的模型，教師可以利用信息技術(shù)的可操作性將標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)輸入在教學(xué)系統(tǒng)中，通過動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)感受其與之相關(guān)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)軌跡，從而在頭腦中形成思維建模。

除了解決實(shí)際問題外，還可以將其運(yùn)用于教學(xué)中，例如，在教學(xué)華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”時(shí)，由于教材中的關(guān)系類型很多，且圖形變換中涉及的數(shù)值也很多，若仍舊采用“黑板+粉筆”的方式會(huì)浪費(fèi)更多課堂時(shí)間，且不符合由繁化簡原則，無法直觀地展示動(dòng)態(tài)變化過程，在繪制的過程中學(xué)生思維也會(huì)出現(xiàn)中斷，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。基于此，教師可以采用信息技術(shù)的可操作性來進(jìn)行數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)，利用多媒體技術(shù)展示動(dòng)態(tài)的效果，為了提升整體效果，可以選擇坐標(biāo)軸的方式。以“圓與直線的位置關(guān)系”為例，在授課過程中教師可以在課件中作出直角坐標(biāo)系和圓，將圓心點(diǎn)放在y軸上，圓的半徑為r，圓心點(diǎn)到垂直于x軸的距離為d，通過對d輸入不同數(shù)值來展示圓和直線的位置關(guān)系，并讓學(xué)生觀察規(guī)律。此外，還可以利用教學(xué)軟件形成動(dòng)態(tài)的移動(dòng)軌跡，當(dāng)?shù)竭_(dá)臨界點(diǎn)時(shí)停頓，引導(dǎo)學(xué)生分析影響直線與圓關(guān)系的因素，并歸納為以下幾點(diǎn)：1.當(dāng)d>r，直線和圓相離；2.當(dāng)d=r，直線和圓相切；3.當(dāng)d

（五）數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析能力

初中階段是養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維的重要時(shí)期，教育工作者在選擇教學(xué)方法時(shí)務(wù)必要結(jié)合該階段學(xué)生的思想規(guī)律，從實(shí)際情況出發(fā)。數(shù)據(jù)分析能力要求學(xué)生具備認(rèn)真的態(tài)度和縝密的思維，確保在書寫過程中不會(huì)出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象和書寫錯(cuò)誤現(xiàn)象，一般情況下被統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)會(huì)相類似，直接排列數(shù)值會(huì)造成視覺疲勞，導(dǎo)致最終結(jié)果偏離正確答案，尤其是帶有小數(shù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，因此可以采用繪制統(tǒng)計(jì)圖表的方式直觀展示數(shù)值的變化趨勢。在實(shí)際授課過程中，教師可以以組為單位開展統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，將學(xué)生分為3～4個(gè)小組，每組人數(shù)控制在8～10人左右，為了突出學(xué)生的主體地位，可以采用組內(nèi)合作的方式，通過討論選擇一個(gè)話題進(jìn)行組內(nèi)統(tǒng)計(jì)，如短跑成績、掰手腕堅(jiān)持的時(shí)間、平板支撐堅(jiān)持的時(shí)間等，盡可能選擇能夠以秒為計(jì)數(shù)單位的內(nèi)容，以此來調(diào)動(dòng)課堂氛圍，提高學(xué)生的課堂參與度，使學(xué)生快速進(jìn)入課堂狀態(tài)。在完成統(tǒng)計(jì)圖后需要計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。通過這種方式能直觀地看到數(shù)值的差異，引導(dǎo)學(xué)生注意細(xì)節(jié)變化，以數(shù)形結(jié)合的方式提升初中生的數(shù)據(jù)分析能力，做到認(rèn)真仔細(xì)，避免出現(xiàn)丟項(xiàng)漏項(xiàng)的問題，間接培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總的來看，數(shù)形結(jié)合對初中生來說是效率較高的教育方法，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有一定的促進(jìn)作用，通過圖像引導(dǎo)、思維導(dǎo)圖、對比等方式強(qiáng)化理解，提高記憶效果。作為新時(shí)期的數(shù)學(xué)教育工作者要不斷創(chuàng)新思維，探索更有深度的教學(xué)模式，加強(qiáng)思想引導(dǎo)，充分利用客觀條件采用多樣化的教學(xué)手段，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力。

（宋行軍）