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        一類多項(xiàng)式系統(tǒng)的中心條件

        2022-05-30 08:36:00諸慧
        科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2022年16期
        關(guān)鍵詞:結(jié)式約化單項(xiàng)式

        諸慧

        (溫州科技職業(yè)學(xué)院 公共教學(xué)部,浙江 溫州325000)

        1 概述

        微分方程模型是反映變量之間變化率的關(guān)系式,它可以幫助人們精準(zhǔn)地刻畫宏觀和微觀世界,已廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。因此,微分方程的定性理論和應(yīng)用成為眾多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一,而中心焦點(diǎn)判定就是微分方程中極為重要的一塊內(nèi)容,它與Arnold 問題和Hilbert第16 問題的解決聯(lián)系密切??紤]平面多項(xiàng)式微分方程系統(tǒng),當(dāng)線性部分為中心型時(shí),可寫成如下形式:

        其中P(x,y)和Q(x,y)是多項(xiàng)式,原點(diǎn)可能為系統(tǒng)(1)的中心焦點(diǎn)判定問題,目前主要的研究方法有形式級(jí)數(shù)法、后續(xù)函數(shù)法、形式積分因子法、不變曲線法、奇點(diǎn)量法、V 函數(shù)法等[1]。這些研究結(jié)果為中心焦點(diǎn)的探索提供了重要判斷方法。但是當(dāng)P(x,y)和Q(x,y)的次數(shù)增多時(shí),焦點(diǎn)量的階數(shù)也隨之增加,無論用何種方法約化焦點(diǎn)量都會(huì)產(chǎn)生巨大的計(jì)算量,從而使中心焦點(diǎn)的判定及其不易,因此如何讓運(yùn)算效率提高是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展,不少研究者借助符號(hào)計(jì)算軟件Maple 輔助證明微分系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)問題,涌現(xiàn)出不少高效通用的焦點(diǎn)量計(jì)算算法[2-3]。因而微分方法的定性理論研究取得不少重要的成果,且發(fā)表在國際主流數(shù)學(xué)期刊上。本文考慮系統(tǒng)(1)的一個(gè)特例,即如下系統(tǒng):

        當(dāng)n=3 時(shí),Gine 和Santallusia[4]得到了原點(diǎn)是系統(tǒng)(2)中心的充要條件。

        定理1.1[4]如下系統(tǒng)

        原點(diǎn)是系統(tǒng)(3)的中心充要條件是以下之一條件成立

        本文繼續(xù)考慮系統(tǒng)(2)的中心焦點(diǎn)判定問題,借助符號(hào)計(jì)算軟件Maple 給出了n=4 時(shí),原點(diǎn)為系統(tǒng)(2)中心的充要條件及細(xì)焦點(diǎn)的階數(shù),根據(jù)同一算法,陸續(xù)演算了當(dāng)n = 5,6,7 時(shí),原點(diǎn)為系統(tǒng)(2)中心的充分條件。

        2 預(yù)備知識(shí)

        本文利用二維微分系統(tǒng)的焦點(diǎn)量算法[4]——形式級(jí)數(shù)法,這里設(shè)Li為系統(tǒng)(2)的第i 階焦點(diǎn)量,按照Hilbert 基定理,存在唯一的正整數(shù)N,使得結(jié)式消元后的新焦點(diǎn)量Li=0(i=1,2,…,N),就可保證原點(diǎn)是中心。因此只要具體分析前N 個(gè)Li,我們就可得到原點(diǎn)為系統(tǒng)(2)中心的充要條件,同時(shí)得到系統(tǒng)(2)的至多小擾動(dòng)極限環(huán)個(gè)數(shù)。通閱文獻(xiàn),Hilbert 基定理并沒給出N 的具體計(jì)算方法,一般情況下,我們先計(jì)算前一個(gè)低階焦點(diǎn)量,并不斷約化高階焦點(diǎn)量,從而得到原點(diǎn)為中心的必要條件,再通過其它途徑證明這些條件是充分的,從而得到充要條件[5]。

        引理2.1[3](Poincaré 對(duì)稱原理)如果系統(tǒng)(2)

        右側(cè)的向量場關(guān)于x 軸或y 軸對(duì)稱,即函數(shù)P(x,y),Q(x,y)滿足P(x, -y) =-P(x,y),Q(x, -y) =Q(x,y)或P(-x,y) =P(x,y),Q(-x,y) =-Q(x,y),因此原點(diǎn)必為系統(tǒng)(2)的中心。

        3 主要結(jié)果及證明

        首先考慮系統(tǒng)(2)n = 4 時(shí)的情形,系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為

        定理3.1 原點(diǎn)為系統(tǒng)(4)的中心,充要條件是下述四組條件之一成立

        證明:(充分性)

        其中

        雖然P(u,v)和Q(u,v)項(xiàng)數(shù)比較多,借助Maple 比較容易判斷出新系統(tǒng)滿足P(u, -v) =-P(u,v),Q(u,-v)=Q(u,v)。根據(jù)Poincare 對(duì)稱原理,原點(diǎn)為中心。

        其中P(m,n)和Q(m,n)都是含36 個(gè)單項(xiàng)式的多項(xiàng)式,同理利用Maple 驗(yàn)證系統(tǒng)滿足P(m,-n) =-P(m,n),Q(m,-n)=Q(m,n)。根據(jù)Poincare 對(duì)稱原理,原點(diǎn)為中心。

        (必要性)

        利用Maple 計(jì)算出系統(tǒng)(4)的前8 個(gè)焦點(diǎn)量。

        另外L3,L4,…,L8是含有8 個(gè)變量{ai,bi,i=1,2,3,4}的多項(xiàng)式,它們所含的單項(xiàng)式個(gè)數(shù)分別為26,73,166,340,651,1176。只要一直對(duì)低階焦點(diǎn)量進(jìn)行結(jié)式消元來約化高階焦點(diǎn)量,最終我們就可得到原點(diǎn)為系統(tǒng)(4)中心的條件。

        Step 1:令L1=0,即b2=-a2,借助Maple 將b2=-a2迭代到上述的焦點(diǎn)量L2,L3,…,L8中,L2則約化為

        其他約化后的高階焦點(diǎn)量L3,L4,…,L8所含有的單項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)減少為15,44,90,175,307,524,跟原先的焦點(diǎn)量相比,多項(xiàng)式的增長速度減緩不少,說明這種計(jì)算方法是有效的。

        Step 3:令L3=0,觀察這個(gè)多項(xiàng)式,a3和b3的最高次為一次,同理,利用Maple 計(jì)算得

        Step 4:令L4=0,繼續(xù)利用Maple 輔助證明,這里分類討論:

        (A) 若80a+ 57a2b1- 36a1b≠0

        再分3 種情況討論:

        (1)a1-b1=0時(shí),迭代到高階的焦點(diǎn)量,得L5=L6=L7=L8= 0,繼續(xù)將a1-b1=0代入到前面所求的條件式b3、b4中,即可得a1-b1=a2+b2=a3-b3=a4+b4=0條件(1)證畢。

        (2)a1+b1=0時(shí),迭代到高階的焦點(diǎn)量,得L5=L6=L7=L8=0,繼續(xù)將a1+b1=0代入到前面所求的條件式b3、b4中,即可得

        a1+b1=a2+b2=a3+b3=a4+b4=0. 條件(2)證畢。

        (B)若80a+ 57a2b1- 36a1b=0

        將上述多項(xiàng)式分類討論:

        (1) 若b1=0 時(shí),則a1=0

        (2) 若b1≠0時(shí),解得

        ii)若a2≠0,則

        這時(shí)將L3,L4,…,L8做結(jié)式運(yùn)算,最終得只含系數(shù)b1的單項(xiàng)式,因b1≠0,故焦點(diǎn)量L3,L4,…,L8之間沒公共解,這是說明系統(tǒng)了(4)具有4 階細(xì)焦點(diǎn),證明完畢。

        4 討論

        當(dāng)n=5,6,7 時(shí),本文繼續(xù)對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)這類系統(tǒng)以原點(diǎn)為中心的充要條件有著以下的規(guī)律,結(jié)果的形式與定理1.1 和定理3.1 相似,于是有下述的猜想:

        猜想:原點(diǎn)為系統(tǒng)(4)的中心的充要條件為以下條件之一成立

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