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        結(jié)式循環(huán)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)

        2019-12-31 06:07:04劉興祥
        關(guān)鍵詞:結(jié)式特征向量特征值

        劉興祥,張 宇,王 姣

        (1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000;2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 咸陽 712000;3.西安建筑科技大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院,陜西 西安 710000)

        循環(huán)矩陣是一類特別重要的特殊矩陣,它的應(yīng)用[1-5]也極其廣泛,因?yàn)檠h(huán)矩陣的特殊性質(zhì)以及特殊結(jié)構(gòu),所以對(duì)循環(huán)矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用的研究及推廣[6-8]非常有必要。結(jié)式循環(huán)矩陣作為循環(huán)矩陣的一種,在此之前,不少學(xué)者已經(jīng)研究了結(jié)式循環(huán)矩陣的逆與廣義逆。本文將結(jié)式循環(huán)矩陣與多項(xiàng)式理論結(jié)合起來,進(jìn)一步研究結(jié)式循環(huán)矩陣的更多性質(zhì),給出了結(jié)式循環(huán)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)。

        1 預(yù)備知識(shí)

        f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)。

        2 結(jié)式循環(huán)矩陣的性質(zhì)

        定義2.1 矩陣A,B具有相同的循環(huán)因子,稱矩陣A,B為同型結(jié)式循環(huán)矩陣。

        定義2.2 設(shè)矩陣A,B均為結(jié)式循環(huán)矩陣,其中

        矩陣A+B=

        定義2.3 設(shè)矩陣A,B均為結(jié)式循環(huán)矩陣,其中

        矩陣A-B=

        定義2.4 設(shè)矩陣A,B均為結(jié)式循環(huán)矩陣,其中

        性質(zhì)2.1 設(shè)矩陣A,B為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣,則矩陣A+B仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        由定義2.2得矩陣

        則矩陣A+B的特征多項(xiàng)式為

        由定義2.2得

        a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1+

        b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

        (a0+b0)E+(a1+b1)P+(a2+b2)P2+…

        +(an-1+bn-1)Pn-1,

        所以矩陣A+B為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        性質(zhì)2.2 設(shè)矩陣A,B為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣,則矩陣A-B仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        由定義2.3得矩陣

        則矩陣A-B的特征多項(xiàng)式為

        由定義2.3得

        a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1-

        b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

        (a0-b0)E+(a1-b1)P+(a2-b2)P2+…

        +(an-1-bn-1)Pn-1,

        所以矩陣A-B為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        推論2.2 設(shè)矩陣A1,A2,…,An為同型結(jié)式循環(huán)矩陣,則矩陣A1-A2-…An仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        性質(zhì)2.3 設(shè)矩陣A為結(jié)式循環(huán)矩陣,則矩陣kA仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        由定義2.5得矩陣

        ka0E+ka1P+ka2P2+…+kan-1Pn-1=

        (ka0)E+(ka1)P+(ka2)P2+…+

        (kan-1)Pn-1,

        所以矩陣kA仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        推論2.3 設(shè)矩陣A1,A2,…,An為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣,k1,k2,…,kn為實(shí)數(shù),則矩陣k1A1±k2A2±…±knAn仍為結(jié)式循環(huán)矩陣。

        證明由推論2.1、推論2.2及性質(zhì)2.3可得。

        性質(zhì)2.4 設(shè)矩陣A,B為n階同型結(jié)式循環(huán)矩陣,則矩陣AB也是結(jié)式循環(huán)矩陣,且AB=BA。

        且Pn=E,Pn+1=P,…,P2n-2=Pn-2。

        由引理1.2得

        A=a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1,

        B=b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1,

        則AB=(a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1)·

        (b0E+b1P+b2P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

        (a0b0)E+(a0b1+a1b0)P+…+

        (an-1bn-1)P2n-2=

        =(b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1)(a0E+

        a1P+a2P2+…+an-1Pn-1)=BA,

        所以矩陣AB也是結(jié)式循環(huán)矩陣,且AB=BA。

        設(shè)ω0,ω1,…,ωn-1為g(x)=0的n個(gè)根,即矩陣P的n個(gè)特征值,記向量ni(i=0,1,…,n-1)是屬于特征值ωi(i=0,1,…,n-1)的特征向量,

        令Q=(n0,n1,…,nn-1),

        所以Q-1PQ=diag(ω0,ω1,…,ωn-1)。

        由引理1.2得

        A=f(P)=a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1,

        則Q-1AQ=Q-1f(P)Q=a0Q-1Q+a1Q-1PQ

        +a2Q-1P2Q+…+an-1Q-1Pn-1Q=

        diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1)),

        即在復(fù)數(shù)域上存在可逆矩陣Q使得

        B=Q-1AQ=

        diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1))。

        證明由性質(zhì)2.5得矩陣

        B=Q-1AQ=

        diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1)),

        記矩陣Q=(n0,n1,…,nn-1),其中向量ni(i=0,1,…,n-1)是屬于特征值ωi的特征向量,

        所以(Q-1AQ)-1=Q-1A-1Q=

        diag(f-1(ω0),f-1(ω1),…,f-1(ωn-1)),

        即A-1=h(P)=

        l0E+l1P+l2P2+…+ln-1Pn-1。

        證明由性質(zhì)2.5得矩陣

        B=Q-1AQ=

        diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1)),

        記矩陣Q=(n0,n1,…,nn-1),其中向量ni(i=0,1,…,n-1)是屬于特征值ωi的特征向量,

        則(Q-1AQ)T=QTA-1(QT)-1=

        (diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1)))T=

        diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1)),

        所以AT=

        (Q-1)Tdiag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1))QT,

        由性質(zhì)2.5得,存在可逆矩陣Q,使得

        B=Q-1AQ=diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1)),

        即矩陣A與矩陣B相似,則有

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