鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

1 歸納有效勢(shì)能的性質(zhì)

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)，在極坐標(biāo)系中的總能量為

由于質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，則L=mvθr保持不變，因此總能量為[1]

因此,可把第二項(xiàng)與第三項(xiàng)之和稱為徑向運(yùn)動(dòng)的“有效勢(shì)能”，記為[1]

有效勢(shì)能函數(shù)關(guān)于矢徑的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中受到的徑向合力.當(dāng)有效勢(shì)能的一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在徑向受力為零，在平衡位置處于相對(duì)平衡狀態(tài)，此時(shí)徑向速度達(dá)到最大，則徑向動(dòng)能取最大值，因此有效勢(shì)能取最小值.

有效勢(shì)能的公式、有效勢(shì)能的取值范圍、有效勢(shì)能的極值條件、有效勢(shì)能函數(shù)關(guān)于矢徑的一階導(dǎo)數(shù)的物理意義以及有效勢(shì)能函數(shù)在平衡點(diǎn)關(guān)于矢徑的二階導(dǎo)數(shù)的物理意義，實(shí)際都是物理學(xué)中的二級(jí)結(jié)論，若直接用來(lái)解答有關(guān)的物理問(wèn)題，則可省略某些推導(dǎo)過(guò)程，由此起到化繁為簡(jiǎn)的作用.

2 應(yīng)用有效勢(shì)能的性質(zhì)

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的某些物理問(wèn)題，可利用有效勢(shì)能的表達(dá)式把復(fù)雜的二維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)解決.這種方法獨(dú)特新穎，簡(jiǎn)便快捷.下面以兩道物理競(jìng)賽題為例進(jìn)行分析[4].

圖1 例1題圖

(2)方法1：利用回復(fù)力求周期

若以轉(zhuǎn)動(dòng)的極徑為參考系，則質(zhì)點(diǎn)受到慣性力的大小為F′=mrω2，方向從力心沿矢徑向外.由于角動(dòng)量為L(zhǎng)=mωr2，可得慣性力大小為

圖2 粒子運(yùn)動(dòng)分析圖

當(dāng)粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個(gè)很小的角度β時(shí)，粒子偏離徑向平衡位置的位移x很小，即x?R，可知

同理

可得

由此可知等效勁度系數(shù)為

所以,徑向運(yùn)動(dòng)的周期為

利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子從初始位置運(yùn)動(dòng)到交點(diǎn)P經(jīng)歷的時(shí)間為半個(gè)周期，即

粒子橫向運(yùn)動(dòng)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度近似為

可知P點(diǎn)的方位角即粒子橫向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為

因此,對(duì)于很小的β角，粒子束可在P點(diǎn)準(zhǔn)確聚焦，該位置與β無(wú)關(guān).

點(diǎn)評(píng)：只有求出徑向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，才能求出橫向運(yùn)動(dòng)的路程所對(duì)的圓心角.為了求徑向運(yùn)動(dòng)周期，關(guān)鍵是選擇轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)受到徑向回復(fù)力的關(guān)系式，利用近似計(jì)算公式求出等效勁度系數(shù).徑向運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，屬于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一部分，相繼兩次經(jīng)過(guò)徑向運(yùn)動(dòng)平衡位置的時(shí)間恰好等于半個(gè)周期.

方法2：利用有效勢(shì)能求周期[4]

粒子只受徑向電場(chǎng)力的作用，對(duì)O點(diǎn)的力矩為零，因此粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角動(dòng)量守恒，即

L=mv0Rcosβ≈mv0R

關(guān)于矢徑的一階導(dǎo)數(shù)為

由于粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個(gè)很小的角度β，則粒子在r=R附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

有效勢(shì)能關(guān)于矢徑的二階導(dǎo)數(shù)為

點(diǎn)評(píng)：由于其他粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個(gè)很小的角度β，則粒子運(yùn)動(dòng)軌跡將偏離半圓軌道，那么曲線運(yùn)動(dòng)不是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度將發(fā)生變化，但由于粒子只受到有心力的作用，則角動(dòng)量守恒，因此可利用有效勢(shì)能公式進(jìn)行解答，但前提條件是徑向運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，即滿足x?R，這樣，對(duì)有效勢(shì)能的一階導(dǎo)數(shù)才能化簡(jiǎn)為線性力的形式.

【例2】在真空中有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m和M，帶電荷量分別為+q1和-q2，開(kāi)始相距為l，其中質(zhì)點(diǎn)M的初速度為零，質(zhì)點(diǎn)m的初速度大小為v，方向垂直于二者的連線，已知兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離存在最小值，不計(jì)萬(wàn)有引力，求：(1)它們?cè)谝院筮\(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離的最小值；(2)質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)于M運(yùn)動(dòng)的周期.

解法1：利用等效勢(shì)能和機(jī)械能守恒定律

方向由質(zhì)點(diǎn)m指向M.

由此可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)m受到有心力的作用，由于初速度方向與作用力方向垂直，而且兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離存在最小值，因此，質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)M做橢圓運(yùn)動(dòng).由于有心力為平方反比力，則力心位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)能為零，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，與衛(wèi)星的機(jī)械能總量表達(dá)式進(jìn)行類比，可知質(zhì)點(diǎn)m在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為

由能量守恒定律可知

由此得

已知最大距離為r1=l，可知最小距離為

(2)由開(kāi)普勒第三定律可知，橢圓運(yùn)動(dòng)的周期等于以半長(zhǎng)軸為半徑的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，則有

可知

由此得

即

點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用能量守恒定律列方程時(shí)，利用了橢圓運(yùn)動(dòng)的總能量公式，這樣可省略角動(dòng)量守恒方程.值得注意的是，衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能總量公式成立的條件是中心天體的質(zhì)量比環(huán)繞天體的質(zhì)量大得多，即只有在衛(wèi)星的質(zhì)量比地球的質(zhì)量小得多的條件下，才可認(rèn)為地球固定不動(dòng).但對(duì)于題中的兩個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)而言，沒(méi)有給出質(zhì)量相差懸殊的條件，若認(rèn)為其中一個(gè)固定不動(dòng)，則需對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)添加慣性力.

解法2：利用徑向有效勢(shì)能的極值條件

剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)初速度方向與矢徑垂直，由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒，可知

L=m′vl

考慮到橢圓運(yùn)動(dòng)的總能量小于零，可得關(guān)于r的方程

利用一元二次方程的求根公式可知

由此得距離的最大值為r1=l，最小值為

下面求半長(zhǎng)軸a，對(duì)系統(tǒng)由能量守恒定律有

可得

可知橢圓運(yùn)動(dòng)的周期為

(1)

已知兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的最大距離為r1=l，則可直接得到最小距離r2.

對(duì)于第(2)問(wèn)求周期，不能利用對(duì)有效勢(shì)能取導(dǎo)數(shù)的方法，因?yàn)閺较蜻\(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).或者說(shuō)，若對(duì)有效勢(shì)能取導(dǎo)數(shù)為

則由U′eff=0可得平衡點(diǎn)為

來(lái)計(jì)算周期，則可得

(2)

顯然，式(2)與式(1)不相同.若令兩式相等，則可推出kq1q2=m′v2l，那么此時(shí)機(jī)械能總量為

這表明，機(jī)械能總量等于動(dòng)能的負(fù)值，只有在平方反比力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)才滿足這個(gè)關(guān)系，而對(duì)于平方反比力作用下的橢圓運(yùn)動(dòng)，不可能滿足這個(gè)關(guān)系，則式(2)不成立，是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果.因此,要注意特殊結(jié)論和方法的適用條件，只有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，或者說(shuō)徑向運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，才能利用有效勢(shì)能取二階導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求等效勁度系數(shù)以及徑向運(yùn)動(dòng)的周期.

綜上可見(jiàn)，在有心力作用下的徑向“有效勢(shì)能”具有一系列特殊的性質(zhì)，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的某些曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，除了一般的解法，有時(shí)還可利用有效勢(shì)能的性質(zhì)進(jìn)行解答，不僅拓展了解題思路和方法，還可化繁為簡(jiǎn)，顯得巧妙快捷.