摘? 要： 離散數(shù)學(xué)是培養(yǎng)計(jì)算思維能力的核心課程，教學(xué)內(nèi)容抽象，理論性強(qiáng)。結(jié)合離散數(shù)學(xué)當(dāng)前教學(xué)存在的不足之處和新工科教育要求，探索離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革，以期提升新工科學(xué)生的離散化、抽象概括、形式推理、發(fā)散思維等計(jì)算思維能力。

關(guān)鍵詞： 新工科; 離散數(shù)學(xué); 計(jì)算思維; 教學(xué)內(nèi)容

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2022）05-82-03

Teaching content reform of discrete mathematics in the emerging engineering education

He Kun

Abstract： Discrete mathematics， which has the characteristics of abstract content and strong theory，is a core course to cultivate the ability of calculating thinking. Combining the problems existed in teaching of discrete mathematics and the requirements of emerging engineering， the reform of discrete mathematics teaching content is explored. It is expected to improve the calculating thinking abilities of students， such as discretization， abstract generalization， formal reasoning， and divergent thinking.

Key words： emerging engineering; discrete mathematics; calculating thinking; teaching content

引言

新工科以互聯(lián)網(wǎng)和工業(yè)智能為核心，培養(yǎng)學(xué)科交叉、適應(yīng)并引領(lǐng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的復(fù)合型人才，為跨界整合、解決復(fù)雜工程問題奠定基礎(chǔ)[1]。其培養(yǎng)的復(fù)合型人才不僅具有扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，還具備相關(guān)專業(yè)知識(shí)抽象表示、邏輯思維、形式化證明、模型構(gòu)建和離散求解等計(jì)算思維能力[2]，計(jì)算思維是探索和解決大型復(fù)雜工程問題的可行途徑。

離散數(shù)學(xué)是純數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的橋梁，培養(yǎng)計(jì)算機(jī)科學(xué)和軟件工程專業(yè)學(xué)生從離散對(duì)象中探究潛在的關(guān)系、構(gòu)建抽象模型、設(shè)計(jì)離散算法和解決問題可行性等能力[3]。該課程主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及關(guān)系，側(cè)重于運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述對(duì)象狀態(tài)、關(guān)系和變化過(guò)程。其涉及的基本概念、理論和推理方法有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)挖掘?qū)ο箨P(guān)系、多角度解決數(shù)值問題和完備分析問題等技能。該課程傳授的理論知識(shí)、方法和思維技能廣泛用于計(jì)算機(jī)科學(xué)和軟件工程專業(yè)的建模分析和驗(yàn)證等方面，為設(shè)計(jì)開發(fā)魯棒的、完備的和高性能的應(yīng)用軟件奠定基礎(chǔ)。

在新工科指導(dǎo)下，工科教育以多學(xué)科理論交叉為基礎(chǔ)，以工程應(yīng)用為導(dǎo)向，繼承相關(guān)專業(yè)的優(yōu)點(diǎn)以便利用人工智能、大數(shù)據(jù)分析技術(shù)解決復(fù)雜的工程問題。傳統(tǒng)工科專業(yè)與計(jì)算機(jī)的有機(jī)結(jié)合，對(duì)計(jì)算思維提出了新的要求，從而對(duì)離散數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、知識(shí)運(yùn)用和邏輯思維訓(xùn)練等內(nèi)容提出了新的挑戰(zhàn)[4]，具體包括以下四方面。

⑴ 對(duì)離散數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)提出挑戰(zhàn)。隨著傳統(tǒng)工科專業(yè)和人工智能的深度結(jié)合，加速了工科專業(yè)學(xué)生的計(jì)算思維培養(yǎng)需求，延展了集合關(guān)系的計(jì)算機(jī)表示、關(guān)系分析及其函數(shù)構(gòu)造的應(yīng)用領(lǐng)域，提高了同態(tài)和同構(gòu)思維在不同行業(yè)的創(chuàng)新應(yīng)用。同時(shí)，降低了部分知識(shí)的重要性如數(shù)論和組合數(shù)學(xué)。

⑵ 對(duì)離散數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用提出了高要求。新工科理念驅(qū)使的學(xué)科交叉歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)模型和可行計(jì)算方法的有機(jī)結(jié)合，這促使離散數(shù)學(xué)應(yīng)適當(dāng)減少純理論知識(shí)，致力于培養(yǎng)學(xué)生探索自身專業(yè)的離散對(duì)象內(nèi)在關(guān)系、關(guān)系分析和多角度解決實(shí)踐問題的能力。繼承傳統(tǒng)工科學(xué)生對(duì)解的存在性和表示等優(yōu)點(diǎn)，探索解的可行性分析，促使理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐。

⑶ 跨學(xué)科計(jì)算思維能力培養(yǎng)。新工科建設(shè)要求學(xué)生在掌握專業(yè)理論知識(shí)的前提下，實(shí)現(xiàn)專業(yè)術(shù)語(yǔ)的符號(hào)化、定理數(shù)據(jù)化，推理過(guò)程化和模型離散化，結(jié)合人工智能解決本專業(yè)大型復(fù)雜的工程問題。

⑷ 跨學(xué)科發(fā)散思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)。跨學(xué)科創(chuàng)新需繼承傳統(tǒng)相關(guān)學(xué)科的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)相關(guān)學(xué)科知識(shí)和技能的互補(bǔ)。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，各行業(yè)相互滲透，這造成了憑借單一專業(yè)知識(shí)難以解決的行業(yè)問題日益增多，如海量數(shù)據(jù)的信息挖掘和解空間遷移。為了解決新出現(xiàn)的行業(yè)難題，這需要整合相關(guān)學(xué)科的知識(shí)體系、將相關(guān)學(xué)科的先進(jìn)技術(shù)融于一體、培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

1 傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容缺陷

目前離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要包括數(shù)理邏輯、集合論、圖論和代數(shù)系統(tǒng)，有些還涉及數(shù)論、組合數(shù)學(xué)和概率論等內(nèi)容[5]。其數(shù)理邏輯主要研究自然語(yǔ)句的符號(hào)表示、形式證明和驗(yàn)證推理，從簡(jiǎn)單語(yǔ)句的共性出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)離散對(duì)象的概括能力;集合論以集合元素為研究對(duì)象，探索集合元素的二元關(guān)系、計(jì)算機(jī)表示和關(guān)系性質(zhì)，以數(shù)據(jù)聚類為實(shí)例延伸集合論的實(shí)踐環(huán)節(jié);圖論是二元關(guān)系的一種直觀表示和推廣，有利于從局部和整體出發(fā)挖掘集合關(guān)系。在圖論知識(shí)的教學(xué)中以計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)路徑尋優(yōu)為實(shí)例，鍛煉學(xué)生分析問題的能力。代數(shù)系統(tǒng)的教學(xué)中以運(yùn)算為出發(fā)點(diǎn)，揭示不同運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系和構(gòu)造新運(yùn)算，以支持向量機(jī)的多項(xiàng)式核函數(shù)和徑向基函數(shù)為實(shí)例，展示新運(yùn)算解決問題的有效性。傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容及其實(shí)踐均是以計(jì)算機(jī)科學(xué)和軟件工程專業(yè)為基石，致力于培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象能力、邏輯推理能力和歸納創(chuàng)新能力。但面對(duì)跨專業(yè)的計(jì)算思維培養(yǎng)，其教學(xué)內(nèi)容過(guò)于理論化、知識(shí)點(diǎn)分散而獨(dú)立、相關(guān)專業(yè)的應(yīng)用實(shí)例較少。這些缺陷使得該課程的教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)和技能運(yùn)用能力難以在其他工科實(shí)踐中得到體現(xiàn)。

⑴ 教學(xué)內(nèi)容過(guò)于理論化[6]。離散數(shù)學(xué)具有多概念、多符號(hào)、強(qiáng)理論、高度抽象等特點(diǎn)，這使得教師在授課過(guò)程中傾向概念定義、符號(hào)說(shuō)明和理論演繹推理，側(cè)重于數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)密性，強(qiáng)調(diào)理論結(jié)論和證明技巧。忽略了離散數(shù)學(xué)的工業(yè)應(yīng)用背景，使得學(xué)生被動(dòng)地灌注了大量概念、證明技能，推理方法和定理結(jié)論，但因缺乏與專業(yè)具體問題的有機(jī)結(jié)合，造就了“學(xué)而不用”的現(xiàn)象，從而難以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自身專業(yè)知識(shí)的概括能力、分析推理能力和靈活運(yùn)用能力。

⑵ 教學(xué)內(nèi)容過(guò)于專業(yè)化。傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及關(guān)系，它為計(jì)算機(jī)科學(xué)和軟件工程專業(yè)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析、 編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、人工智能等課程提供數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)例主要來(lái)源于機(jī)器學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和通信編碼等專業(yè)領(lǐng)域，而涉及跨行業(yè)知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐環(huán)節(jié)較弱，如離散數(shù)學(xué)中關(guān)于圖細(xì)化僅以概念形成給出，沒有具體闡述細(xì)化方法和及其優(yōu)缺點(diǎn)，這限制了圖細(xì)化在有限元分析方法（物理專業(yè)）的拓展應(yīng)用。薄弱的實(shí)踐環(huán)節(jié)不能有效激發(fā)跨專業(yè)學(xué)生對(duì)該課程學(xué)習(xí)的興趣，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。

⑶ 教學(xué)知識(shí)點(diǎn)過(guò)于獨(dú)立分散[7]。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容主要涉及自然語(yǔ)句、集合、圖論和運(yùn)算等對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象分別對(duì)應(yīng)各自獨(dú)立的、自成體系的知識(shí)模塊。其中數(shù)理邏輯根據(jù)簡(jiǎn)單語(yǔ)句的共性，對(duì)命題進(jìn)行命題符號(hào)化表示，結(jié)合推理規(guī)則進(jìn)行符號(hào)推理演算和證明;集合側(cè)重于闡述元素關(guān)系的存在與否，關(guān)系的共性及其應(yīng)用;圖論以二元關(guān)系的直觀表示為基礎(chǔ)，借助鄰接矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣分析圖的道路、連通分支數(shù)和子圖。代數(shù)系統(tǒng)根據(jù)運(yùn)算的可交換性、可結(jié)合性、幺元和逆元的存在性，講述半群、群和布爾代數(shù)及其應(yīng)用。這些對(duì)象及其內(nèi)容自成體系，強(qiáng)調(diào)知識(shí)模塊的獨(dú)立性和完備性，使得學(xué)生支離破碎地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，缺乏系統(tǒng)掌握相關(guān)內(nèi)容。各自獨(dú)立的知識(shí)模塊削弱了離散數(shù)學(xué)與專業(yè)課程的關(guān)聯(lián)，使得相關(guān)內(nèi)容在工程問題分析、模型構(gòu)建、模型離散化和求解的可行性等方面未充分發(fā)揮其作用。同時(shí)每個(gè)知識(shí)模塊具有多概念、多公式，強(qiáng)理論、強(qiáng)抽象和強(qiáng)邏輯等特點(diǎn)，這種“兩多三強(qiáng)”的特性導(dǎo)致大部分學(xué)生將離散數(shù)學(xué)當(dāng)作一門純數(shù)學(xué)理論課程，難以將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐。

2 離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革

跨學(xué)科交叉專業(yè)應(yīng)以多學(xué)科交叉理論為基礎(chǔ)，實(shí)踐教學(xué)為重點(diǎn)，培養(yǎng)工程實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力和智能化應(yīng)用能力，達(dá)到自主創(chuàng)新解決業(yè)界問題。對(duì)此，學(xué)生需具有多學(xué)科專業(yè)語(yǔ)句符號(hào)化，專業(yè)相關(guān)的形式化推理、演繹和證明能力，挖掘?qū)ο箨P(guān)系、計(jì)算機(jī)表示、模型創(chuàng)新構(gòu)建和可行計(jì)算等思維能力。面向跨學(xué)科計(jì)算思維的培養(yǎng)需求，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)繼承傳統(tǒng)工科教學(xué)優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合計(jì)算機(jī)科學(xué)和工業(yè)智能，培養(yǎng)交叉專業(yè)學(xué)生的歸納能力、概括能力、計(jì)算思維和工程實(shí)踐能力。

2.1 教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化

傳統(tǒng)工科專業(yè)課程普遍具有研究對(duì)象明確、知識(shí)模塊聯(lián)系緊密等特點(diǎn)。如電力系統(tǒng)規(guī)劃課程以電網(wǎng)為對(duì)象，僅僅圍繞電網(wǎng)規(guī)劃和建設(shè)，分析不確定因素對(duì)電網(wǎng)的負(fù)面影響和電力預(yù)測(cè)等內(nèi)容。面對(duì)學(xué)生習(xí)慣于接受系統(tǒng)性的知識(shí)內(nèi)容，離散數(shù)學(xué)的知識(shí)模塊需要重組優(yōu)化，突出知識(shí)模塊間的潛在聯(lián)系，彌補(bǔ)其獨(dú)立性。如在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，以自然語(yǔ)句為對(duì)象，根據(jù)語(yǔ)義將語(yǔ)句分為命題（對(duì)象外在屬性判斷）或謂詞（對(duì)象內(nèi)在關(guān)系的判斷），分析命題和謂詞的共性以及兩者的差異性;結(jié)合謂詞邏輯研究對(duì)象的內(nèi)在關(guān)系，引申出集合和二元關(guān)系表示、關(guān)系性質(zhì)分析等知識(shí)，分析二元關(guān)系的不同表示之優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)關(guān)系的有向圖表示進(jìn)行延續(xù)講述圖論相關(guān)概念。綜合分析離散數(shù)學(xué)中各個(gè)知識(shí)模塊間的關(guān)系在多學(xué)科交叉教學(xué)中具有以下優(yōu)點(diǎn)：

⑴ 有助于激發(fā)學(xué)生持續(xù)不斷地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí);

⑵ 在分析過(guò)程中有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力，探究傳統(tǒng)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生從不同角度提出創(chuàng)新思想;

⑶ 有助于學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)、掌握離散數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。

2.2 教學(xué)內(nèi)容側(cè)重于抽象概括和形式推理能力培養(yǎng)

傳統(tǒng)工科專業(yè)課程中涉及大量專業(yè)術(shù)語(yǔ)和定理，這些術(shù)語(yǔ)和定理均利用自然語(yǔ)句描述連續(xù)對(duì)象。為了運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決定理相關(guān)的工程問題，對(duì)專業(yè)術(shù)語(yǔ)和定理的數(shù)據(jù)離散化處理是首要環(huán)節(jié)。結(jié)合離散數(shù)學(xué)命題符號(hào)表示的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度對(duì)專業(yè)術(shù)語(yǔ)和定理進(jìn)行數(shù)據(jù)離散化表示能力。從數(shù)據(jù)表示方面鼓勵(lì)學(xué)生在本專業(yè)領(lǐng)域的創(chuàng)新，如集合的特征函數(shù)表示彌補(bǔ)了經(jīng)典集合的不足。

離散數(shù)學(xué)的代數(shù)系統(tǒng)摒棄運(yùn)算差異性，將注意力集中于運(yùn)算的基本性質(zhì)，揭示運(yùn)算更一般的規(guī)律性。以此為例，在教學(xué)內(nèi)容上應(yīng)致力于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)不同問題高度抽象能力，使學(xué)生把握事物本質(zhì)并反過(guò)來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐中的深入應(yīng)用。借助此模塊知識(shí)講授，分析不同專業(yè)的研究對(duì)象和具體問題的共性，培養(yǎng)學(xué)生概括能力，為引領(lǐng)業(yè)界奠定基礎(chǔ)。

2.3 教學(xué)內(nèi)容注重發(fā)散思維能力培養(yǎng)

離散數(shù)學(xué)應(yīng)有助于培養(yǎng)跨專業(yè)學(xué)生多角度分析解決具體問題的能力，如數(shù)理邏輯學(xué)模塊運(yùn)用直接法、CP規(guī)則法、反證法和機(jī)械消元法等進(jìn)行形式證明同一問題。以此為基礎(chǔ)，借助數(shù)學(xué)符號(hào)推理訓(xùn)練學(xué)生分析問題的能力，總結(jié)不同方法可解決問題的前提條件，提升學(xué)生解決問題的靈活性;比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性地提出新方法，以便彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)。以集合的二元關(guān)系表示為例，分析其集合表示、圖表示和矩陣表示等方法各自優(yōu)點(diǎn)，如集合表示具有緊湊性;矩陣表示有利于計(jì)算機(jī)分析關(guān)系性質(zhì);圖表示有助于主觀分析元素間的局部性和整體性。在交叉專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)的指導(dǎo)下，培訓(xùn)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

2.4 教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)分析問題的完備性

離散數(shù)學(xué)中大多數(shù)定理均具有前提條件，這類似于不同專業(yè)理論結(jié)論的邊界條件。類比分析前提和邊界條件兩者共性，模擬離散數(shù)學(xué)中對(duì)不滿足定理前提條件問題的解決方法。結(jié)合專業(yè)結(jié)論的邊界條件和專業(yè)知識(shí)應(yīng)用條件的多樣性，培養(yǎng)交叉專業(yè)學(xué)生分析問題的完備性能力。

3 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)工科與計(jì)算機(jī)科學(xué)的有機(jī)結(jié)合延伸了離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在交叉學(xué)科的廣泛應(yīng)用。在傳統(tǒng)工科專業(yè)理論基礎(chǔ)上，繼承傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的探索創(chuàng)新學(xué)習(xí)，擴(kuò)展專業(yè)知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域。 面對(duì)交叉專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具有知識(shí)系統(tǒng)性、適當(dāng)減少理論知識(shí)和增加實(shí)例分析環(huán)節(jié)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)內(nèi)容過(guò)于理論化的不足。特別是引入專業(yè)相關(guān)的問題分析、模型可行計(jì)算和工程實(shí)踐，側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、發(fā)散思維能力和全面分析問題能力，使離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在新工科理念驅(qū)使的交叉專業(yè)應(yīng)用型人才培養(yǎng)中發(fā)揮重要作用。

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收稿日期：2021-09-16

*基金項(xiàng)目：四川大學(xué)新世紀(jì)教育教學(xué)改革工程研究項(xiàng)目“計(jì)算思維能力培養(yǎng)在離散數(shù)學(xué)課程建設(shè)中之探索與實(shí)踐”（SCU9245）

作者簡(jiǎn)介：何坤（1972-），男，四川巴中人，博士，副教授，主要研究方向：計(jì)算機(jī)圖像處理和模式識(shí)別。