尹澤成，魏惠芳，胡高山，康朔

（沈陽城市建設(shè)學(xué)院，遼寧 沈陽 110167）

機器人逐漸走進人們的視野并愈發(fā)先進，越來越多的被運用到人們的生活和工作之中。在眾多類型的機器人當(dāng)中，輪式移動機器人是一種集環(huán)境感知、動態(tài)決策與規(guī)劃、行為控制與執(zhí)行等多功能于一體的綜合系統(tǒng)，它具有良好的避障能力和運動性能，應(yīng)用范圍愈發(fā)廣泛。但是對于輪式移動機器人來說，其運行軌跡的跟蹤控制是目前研究的一個重要方向。對于移動機器人而言，它的軌跡跟蹤主要包括位置于速度跟蹤等方面。此外，隨著移動機器人被賦予的任務(wù)及其接觸的環(huán)境愈發(fā)復(fù)雜，任務(wù)執(zhí)行當(dāng)中所面臨的隨機因素越來越多，其運動性能將表現(xiàn)出更大的復(fù)雜性，其運動控制方面也有更大的挑戰(zhàn)性。所以，當(dāng)下針對輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制進行深入的研究有利于進一步提高我國移動機器人的整體性能，使其更好完成較為復(fù)雜的任務(wù)，具有深遠意義。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

為了使輪式移動機器人能夠按照預(yù)設(shè)軌跡運動到執(zhí)行任務(wù)的目的地，需要對機器人的運行軌跡進行跟蹤控制。目前大多數(shù)學(xué)者在對移動機器人進行軌跡跟蹤研究時都是采用動力學(xué)與運動學(xué)模型進行的，而且還需要根據(jù)不同的模型設(shè)計與其對應(yīng)的控制器，以便可以更好的實現(xiàn)軌跡跟蹤控制。控制器是實現(xiàn)軌跡跟蹤的核心，在對其進行設(shè)計時可以將機器人視為一個質(zhì)點，這樣不僅可以忽略一些不必要的因素，而且有利于分析機器人的運行速度及角速度等物理特性。由于是實際應(yīng)用時，機器人會受到多方面不確定因素的影響，所以對機器人進行受力分析并獲取相應(yīng)的動力學(xué)模型可以更好地實現(xiàn)對其軌跡的跟蹤控制。

本文是基于MPC算法對移動機器人進行數(shù)學(xué)模型的建立，對于MPC算法而言，它屬于反饋控制策略，一方面模型中的第一個元素在第一個周期中可以用于被控對象并進行開環(huán)求解，另一方面在下一個采樣周期中，系統(tǒng)會自動的使用下一刻的測量值進行求解下一刻的控制值，由此可見MPC算法屬于反饋控制。而且采用該算法進行求解時需要遵循預(yù)測系統(tǒng)未來動態(tài)、（數(shù)值）求解開環(huán)優(yōu)化問題、將優(yōu)化解的第一個元素（或者說第一部分）作用于系統(tǒng)三步驟原則。

本次研究的是由一個前轉(zhuǎn)向輪與兩個后驅(qū)動輪組成的輪式移動機器人，且其運動學(xué)模型如圖1所示，圖中機器人的定位都是以慣性坐標(biāo)系（X，O，Y）進行的，而（x，y，θ）代表機器人的固定坐標(biāo)系。在對機器人是時刻處于運動狀態(tài)，為避免其發(fā)生損壞，對控制器進行合理的設(shè)計并給出相應(yīng)的約束條件，即：

圖1 輪式機器人運動學(xué)模型

對于整個慣性坐標(biāo)系來說，機器人的參考軌跡為：

在改變機器人的運動軌跡時，需要對參考進行相應(yīng)的輸入?yún)?shù)。

機器人的期望線速度為：

式中，+代表機器人前進；-代表機器人后退。

參考軌跡上每個點的切線角為：

式中，k為驅(qū)動方向，且k=0表示正方向，k=1表示反方向；

對式（4）求導(dǎo)可得期望角速度為：

所以，通過集合關(guān)系變化將全局坐標(biāo)系的機器人與參考軌跡的位置誤差轉(zhuǎn)變?yōu)榫植孔鴺?biāo)系下的跟蹤誤差，即：

2 控制器設(shè)計

本次控制器的設(shè)計是基于模型預(yù)測控制原理進行的，它又被稱為滾動優(yōu)化控制，通俗地說就是充分地將先前與當(dāng)前的多個時刻參數(shù)進行合理的利用起來，借助求解優(yōu)化法則來得到滿足條件的控制參數(shù)并將其應(yīng)用到整個控制系統(tǒng)中去，所以它屬于在線優(yōu)化過程。模型預(yù)測控制的優(yōu)點在于對模型的要求不高，不用精確的模型也能進行較好的控制，它是處理約束問題最有效的方法之一。

由圖2分析可知，在當(dāng)前時刻k預(yù)測未來的Np個狀態(tài)量并借助開環(huán)優(yōu)化的方法進行函數(shù)求解，最后獲得滿足條件的最小控制參數(shù)，獲取到該參數(shù)之后將其第一個控制量應(yīng)用到被控對象上去進行下一計算。因為機器人在時刻運動時會受到不確定因素的干擾使得實際的數(shù)據(jù)與預(yù)測的數(shù)據(jù)存在一定程度的偏差。為更好的優(yōu)化此類問題，在k+1時刻需要對當(dāng)前的狀態(tài)量再次重復(fù)以上操作，以獲取更加精準(zhǔn)的未來狀態(tài)量并進行優(yōu)化分析。由于時間處于變化的過程，而預(yù)測時域N保持不變，故稱之為滾動優(yōu)化原則。

圖2 模型預(yù)測控制原理圖

對于模型預(yù)測控制原理來說，模型預(yù)測、滾動優(yōu)化、反饋矯正是其三大核心步驟，也是其基本組成要素。而對于模型的預(yù)測是預(yù)先設(shè)計一個目標(biāo)對象并用于未來狀態(tài)的預(yù)測，因此叫做預(yù)測模型。我們主要看的是模型在預(yù)測控制中的作用，而不是模型的表達形式。

由圖3分析可知，在受到不確定因素的干擾之后，使得優(yōu)化求解得到的狀態(tài)量與實際存在一定程度的偏差，所以為發(fā)生異?，F(xiàn)象，優(yōu)化求解得到的數(shù)據(jù)不能全部直接應(yīng)用到系統(tǒng)中去，而是僅僅將當(dāng)前時刻的狀態(tài)量應(yīng)用到系統(tǒng)中去。當(dāng)進行到下一個采樣周期時，為保證優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確度，先對實際測量的參數(shù)進行分析并對目標(biāo)模型進行校正，最后將校正之后的模型進行先一步優(yōu)化求解，這樣可以將偏差縮小到最小。

圖3 系統(tǒng)反饋矯正示意圖

由上述內(nèi)容可知，預(yù)測未來狀態(tài)量、優(yōu)化求解、將最優(yōu)解應(yīng)用到系統(tǒng)是模型預(yù)測控制的三大步驟，在實際操作過程中需要對每個采樣時刻都進行多次的重復(fù)操作，獲取到的最佳狀態(tài)量也就是系統(tǒng)預(yù)測的未來狀態(tài)起點，也就是說將采樣時獲取到的測量值視為模型預(yù)預(yù)測的初始條件。隨著采樣時刻不斷增加，模型預(yù)測控制也不斷地進行優(yōu)化求解。模型預(yù)測控制相比較離線優(yōu)化控制來說最大的區(qū)別就是通過采樣時刻的不斷增加，進行多次在線求解優(yōu)化問題，獲得每個采樣時刻的最優(yōu)解。這也表明了優(yōu)化求解并沒有離線計算，而是反復(fù)在線求解優(yōu)化問題。將跟蹤誤差系統(tǒng)進行離散化，得：

式中，T為采樣周期。

3 仿真驗證與分析

如圖4所示預(yù)設(shè)路徑效果圖。為了驗證模型預(yù)測控制對移動機器人軌跡跟蹤控制的有效性，針對移動機器人運動學(xué)模型所設(shè)計的未加入終端代價函數(shù)的模型預(yù)測控制進行仿真對比。圖5為移動機器人進行軌跡跟蹤時跟蹤誤差曲線。圖6為移動機器人速度和角速度控制量變化曲線，圖中上下兩條虛線分別表示執(zhí)行器約束的上下界。

圖4 預(yù)設(shè)路徑效果圖

圖5 仿真路徑結(jié)果圖

圖6 移動機器人角速度與線速度仿真結(jié)果圖

從圖5中可以看出本章所提算法能夠在2s內(nèi)完成軌跡跟蹤，而模糊跟蹤算法完成軌跡跟蹤所需要的時間大約為7s。因此，通過對比可以發(fā)現(xiàn)增加終端代價函數(shù)的模型預(yù)測控制不僅能夠進行精確地軌跡跟蹤而且收斂的速度也比較快。

由圖6可以看出移動機器人的速度和角速度都被限制飽和約束范圍之內(nèi)，并且線速度和角速度分為維持在0.4m/s和0.4rad/s。在仿真程序中，上方為各項實時數(shù)據(jù)以及各項控制數(shù)據(jù)，中間為路線軌跡跟蹤情況，下方為緯度誤差曲線，最下方為測量路徑轉(zhuǎn)向角以及控制路徑轉(zhuǎn)向角。按仿真程序如圖所示，在MPC仿真方式下，軌跡跟蹤效果良好，基本貼合預(yù)定軌跡，轉(zhuǎn)向角基本貼合預(yù)定軌跡轉(zhuǎn)向角，軌跡跟蹤維度誤差基本與水平線重合，預(yù)測控制效果良好，驗證此方法的有效性。

4 結(jié)語

本文主要研究了輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制，運用模型預(yù)測控制方法對預(yù)定軌跡進行跟蹤控制，本文主要針對輪式移動機器人軌跡跟蹤控制展開研究，采用模型預(yù)測控制方法進行主要研究與仿真，通過MATLAB實現(xiàn)仿真，對軌跡進行跟蹤控制，實現(xiàn)對算法的驗證。主要對目前軌跡跟蹤控制的現(xiàn)狀進行闡述，對各種主流軌跡跟蹤方法進行闡述分析，以及對模型預(yù)測方法優(yōu)勢進行闡述。針對模型建立進行了研究，對模型問題及進行了主要描述，以及對基礎(chǔ)知識進行了描述。針對控制器問題進行了主要研究，進行了MATLAB驗證，進行仿真分析。為了驗證所提方法的有效性，進行了MATLAB模擬仿真測試與分析，并取得了良好的跟蹤路徑曲線與誤差曲線，驗證了此方法的合理性和有效性。