方潤(rùn)根 張舒程 陳 諾(杭州學(xué)軍中學(xué) 浙江 杭州 310012)

在近兩年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題中，36屆的階躍型光纖耦合問題以及37屆的光纖陀螺儀模型都涉及到了階躍型光纖的光路問題，而在實(shí)際光纖通信中，一般使用具有較高數(shù)值孔徑的漸變型光纖進(jìn)行通信，使光具有強(qiáng)匯聚效果與較小的畸變.分析變折射率光纖中光傳播路徑是很有必要的.由理論力學(xué)的分析思路出發(fā)[1]，利用哈密頓原理由歐拉方程出發(fā)建立了哈密頓光學(xué)理論，最后得到哈密頓正則方程來(lái)求解光線在變折射率介質(zhì)中的軌跡方程，作為現(xiàn)代光纖通信的基礎(chǔ).但是對(duì)于高中物理競(jìng)賽學(xué)生而言無(wú)疑要求過高，本文由哈密頓光學(xué)理論出發(fā)，用一種規(guī)避復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算的方式去類比粒子在勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，并通過幾個(gè)模型更加直觀地理解并使用該方法解決變折射率光纖中的光傳輸問題.

哈密頓在早年發(fā)現(xiàn)理論力學(xué)的分析方法可以遷移到幾何光學(xué)中，費(fèi)馬原理與哈密頓原理驚人的相似[2].哈密頓原理具有高度的概括性，作為物理學(xué)的最高原理，不論怎樣的物理系統(tǒng)，只要確定其拉格朗日函數(shù)，就可用哈密頓原理來(lái)推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)方程[3].具體的數(shù)學(xué)處理過程可參照理論力學(xué)教材及相關(guān)文獻(xiàn)[1,4].

1 高中階段的類比理解與解題策略

本文采用類比的方法將光線在徑向變折射率介質(zhì)n(r)中的傳播軌跡看作是實(shí)物粒子在有勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡.

其中左式積分代表光傳播的路徑是光程取極值的路徑，右式是莫培督原理的表達(dá)式，通過對(duì)坐標(biāo)函數(shù)的作用量采用最小作用量原理，對(duì)一個(gè)不顯含時(shí)間t的系統(tǒng)，通過能量守恒將作用量S進(jìn)行變分處理得到，其中p為廣義動(dòng)量，q為廣義坐標(biāo).

通過將費(fèi)馬原理與能量守恒時(shí)的莫培督定理進(jìn)行類比定義了等效實(shí)物粒子的動(dòng)量p=n(r)，當(dāng)我們將實(shí)物粒子的質(zhì)量定為1,可以得到該粒子的速度為v=n(r)，該粒子的動(dòng)能為

由能量守恒定律，我們定義總能量為零，則等效勢(shì)能場(chǎng)

該粒子在勢(shì)場(chǎng)中的受到的保守力

這里構(gòu)建類比雖然缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)性分析，但是與由程函方程出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的光線方程具有一致性，由此，可以作為變折射率光學(xué)問題的一種解題手段.本文將光在介質(zhì)中的傳輸問題轉(zhuǎn)化為研究該粒子在該勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題.

1.1 折射率在直角坐標(biāo)系中沿y軸變化

光的折射定律可以看作粒子在通過兩個(gè)法向方向分布的勢(shì)場(chǎng)時(shí)粒子在經(jīng)過折射面時(shí)的切向速度vτ不變進(jìn)行推導(dǎo).本文著重分析變折射率問題.

光線軌跡如圖1所示，其中初狀態(tài)光線和水平方向的夾角記為θ0，所處位置的折射率為n0，則粒子在運(yùn)動(dòng)過程中x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)

vx=n0cosθ0

在軌跡上任意一點(diǎn)的速度大小由n決定，即

v=n(y)

則在軌跡上任意一點(diǎn)的y方向的速度大小為

光線的軌跡方程可以用x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與y方向的變速運(yùn)動(dòng)合成來(lái)進(jìn)行分析，軌跡中任一點(diǎn)的斜率

圖1 光在沿y軸變化變折射率介質(zhì)中傳播軌跡示意圖

下面我們以第32屆中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽第8題的前兩問為例進(jìn)行具體分析.

圖2 激光傳播路徑示意圖

(2)假定目標(biāo)A位于第一象限.當(dāng)目標(biāo)A的高度為ya時(shí),求激光發(fā)射器可照射到的目標(biāo)A的最大x坐標(biāo)值xa-max.

vx=n0sinθ0

軌跡中高度為y處粒子的y方向的速度為

則在該點(diǎn)的斜率

移項(xiàng)積分處理

即

利用初始條件x=0時(shí)，y=0可得

代入化簡(jiǎn)可得軌跡方程

第(2)問從力學(xué)角度思考當(dāng)粒子沿x軸方向入射時(shí)達(dá)到y(tǒng)a高度在水平方向運(yùn)動(dòng)距離最遠(yuǎn).即θ0=90°，代入軌跡方程，由

解得

1.2 當(dāng)折射率在極坐標(biāo)系下沿徑向r變化

實(shí)際生活中，例如地球表面的大氣變折射率分布問題，經(jīng)常會(huì)遇到折射率沿徑向變化，對(duì)于該類問題，從粒子的角度，我們采取如圖3所示的極坐標(biāo)進(jìn)行分析.

由于其勢(shì)能場(chǎng)

故其為一個(gè)有心勢(shì)場(chǎng)，可以利用角動(dòng)量守恒來(lái)求解，在運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)有

rpsinφ=r0p0sinφ0

其中r0,p0,φ0是初狀態(tài)的動(dòng)量以及速度與位矢間的夾角，即

rn(r)sinφ=r0n0sinφ0

又

可得極坐標(biāo)中軌跡的斜率與r的關(guān)系

仍然可以利用力學(xué)方法處理光線模型，下面我們看一個(gè)實(shí)際例子作為分析.

【例2】(高中物理奧賽指導(dǎo)P377例4)某行星上大氣的折射率隨著行星表面的高度h按照n=n0-αh的規(guī)律而減小，行星的半徑為R，行星表面某一高度h0處有光波道，它始終在恒定高度，光線沿光波道環(huán)繞行星傳播，試求高度h0.

移項(xiàng)后可解得

2 在變介質(zhì)光纖傳播中的應(yīng)用

第36和37屆復(fù)賽的光學(xué)題都考到了階躍型光纖，可見光纖模型的重要性.階躍型光纖在傳輸過程中不同入射角進(jìn)入的光線在均勻介質(zhì)中傳輸?shù)穆窂讲煌?，易得入射角越大，光程越大，因此?duì)于固定周期的脈沖信號(hào)，由于入射角的差異使得光纖中的傳輸時(shí)間不同，產(chǎn)生的時(shí)間差會(huì)導(dǎo)致光脈沖信號(hào)出現(xiàn)展寬.所以該類光纖會(huì)導(dǎo)致高色散，傳輸頻帶寬度受限，在長(zhǎng)距離信號(hào)傳輸中已經(jīng)被淘汰，取而代之的是漸變型的光纖[5].

因此，對(duì)漸變型光纖的光路進(jìn)行定量分析是必要的.相較于階躍型的光纖，特殊的徑向折射率分布使其具有自聚焦特性，具體可分為拋物線型和雙曲割線兩種類型的折射率分布[6].其中拋物線型的折射率介質(zhì)問題在高中競(jìng)賽中也有出現(xiàn).本文用哈密頓光學(xué)模型從力學(xué)角度分析拋物線型折射率光纖的軌跡，從而說明其自聚焦性.

圖4 圓柱形光纖傳輸示意圖

vx=n0cosφ0

軌跡上某點(diǎn)r方向的速度為

在r方向運(yùn)動(dòng)的能量關(guān)系式滿足

即

則粒子在r方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的角頻率ω為

當(dāng)vr=0時(shí)

則振幅A為

則r方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

光線方程為

表明光線是正弦曲線，O點(diǎn)出射后，光線與x軸的第k個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為

式中φ0為小角度時(shí)，cosφ0=1，則

圖5 拋物線型折射率光纖自聚焦光線圖像

通過該例我們也可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于自聚焦性的光纖，入射角不僅要滿足內(nèi)外纖層的全反射條件，還需要滿足小角度以實(shí)現(xiàn)在不同角度入射的光線與x軸的交點(diǎn)近似一致，最終獲得良好的聚焦特性，減小由于傳輸時(shí)間不同導(dǎo)致的色散，避免了光信號(hào)的畸變，其光線圖像如圖5所示.

3 光纖傳輸過程中的擴(kuò)展分析

上例我們通過力學(xué)方法分析了拋物線型折射率分布的光纖模型，其折射率分布函數(shù)滿足

通過分析發(fā)現(xiàn)其需要滿足小角度入射才能保證所有的子午射線都具有相同的周期.其小角度的限制條件仍然是一個(gè)缺點(diǎn).由此，引入雙曲正割型折射率分布的介質(zhì)，其折射率分布函數(shù)滿足

通過級(jí)數(shù)展開可以得到

式中En為n級(jí)歐拉數(shù)，當(dāng)小角度入射時(shí)r為小量，雙曲正割型與拋物線型相同.

通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)運(yùn)算，在雙曲正割媒質(zhì)中，從一點(diǎn)發(fā)出的子午光線無(wú)論其孔徑角的大小，其在一個(gè)周期中走過的光程是嚴(yán)格相等的[6]，所以在這種媒質(zhì)中，一軸外點(diǎn)發(fā)出的子午光線又可以聚焦于一點(diǎn).

4 總結(jié)

本文用哈密頓光學(xué)的方法通過將光線的傳播類比于粒子在特殊勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)來(lái)解決漸變型折射率中光線傳輸?shù)膯栴}，對(duì)最為典型的折射率沿直角坐標(biāo)系y軸變化以及極坐標(biāo)系極軸r軸結(jié)合實(shí)際例題進(jìn)行了分析.在此基礎(chǔ)上，對(duì)于最重要的光纖傳輸模型進(jìn)行了深入分析，用該思路分析了折射率呈現(xiàn)拋物線型的自聚焦模型.在此基礎(chǔ)上，筆者為了讓學(xué)生更好地理解光纖傳輸?shù)难芯克悸?，深入介紹了在不滿足小入射角時(shí)引起的時(shí)間延遲效應(yīng)從而導(dǎo)致的信號(hào)的畸變，并且通過雙曲割線型折射率分布來(lái)得以解決.哈密頓光學(xué)法在解決變折射率光的傳播路徑等問題中擁有簡(jiǎn)單快速的優(yōu)點(diǎn)，且對(duì)于今后學(xué)生在從事光纖傳輸?shù)确较虻难芯恳约皩?duì)光線光學(xué)理論的學(xué)習(xí)時(shí)，具有事半功倍的引導(dǎo)作用.