王云飛 趙繼云 滿家祥 丁海港

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 安全工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116；3.徐州工程機(jī)械集團(tuán)有限公司，江蘇 徐州 221116)

隨著社會(huì)的發(fā)展，工業(yè)設(shè)備朝著大型化和重型化方向發(fā)展以提高生產(chǎn)效率，但受制造工藝的限制，單執(zhí)行器的尺寸往往無法滿足大型設(shè)備的工作要求，因此多執(zhí)行器協(xié)同系統(tǒng)在近幾年得到了越來越多的關(guān)注[1- 3]。電液系統(tǒng)由于單位質(zhì)量輸出功率大和布置空間靈活的優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)常被用于多執(zhí)行器系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中。當(dāng)前多執(zhí)行器系統(tǒng)的電液控制系統(tǒng)主要采用同步控制，包括位置同步控制、速度同步控制和力同步控制，并已廣泛應(yīng)用于壓鑄機(jī)、盾構(gòu)機(jī)等大型工程機(jī)械中[4- 5]。

最初的同步控制采用機(jī)械剛性連接的方法，但是存在精度差、安裝困難的缺點(diǎn)。采用分流集流閥等液壓元件實(shí)現(xiàn)同步控制具有安裝方便的優(yōu)點(diǎn)，但是抗擾能力差、執(zhí)行器數(shù)量少[6]。隨著控制理論的發(fā)展，眾多學(xué)者開始利用電液控制策略來提高多執(zhí)行器系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度和同步精度。根據(jù)Lorenz等[7]和Koren[8]提出的兩大同步控制理論，多執(zhí)行器系統(tǒng)同步控制技術(shù)一般被劃分為基于單通道模型的同步控制技術(shù)和基于多通道模型的同步控制技術(shù)?；趩瓮ǖ赖耐娇刂萍夹g(shù)主要有“等同方式”和“主從方式”,其中“等同方式”是指多個(gè)需要同步控制的執(zhí)行元件同時(shí)跟蹤同一理想輸入，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制方便的特點(diǎn)，在實(shí)際中得到了推廣及廣泛應(yīng)用[9- 10]。基于多通道模型的同步控制技術(shù)可以分為多通道解耦同步技術(shù)和交叉耦合同步技術(shù)，具有同步精度高的優(yōu)點(diǎn)，但由于要對(duì)多執(zhí)行器進(jìn)行解耦分析，因此控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，不適合應(yīng)用在執(zhí)行器數(shù)量較多的系統(tǒng)中[11- 12]。

此外，電液系統(tǒng)自身的強(qiáng)非線性、多執(zhí)行器系統(tǒng)的偏載問題和外來干擾也給系統(tǒng)的精確控制帶來了困難。目前，處理不確定問題和外干擾問題應(yīng)用較多的是自適應(yīng)魯棒控制和干擾觀測(cè)器控制[13- 14]。自適應(yīng)魯棒控制通過對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，并利用魯棒項(xiàng)來補(bǔ)償外干擾，從而提高系統(tǒng)的控制精度。干擾觀測(cè)器則將系統(tǒng)的參數(shù)不確定性和外干擾視為一個(gè)集成擾動(dòng)項(xiàng)，通過設(shè)計(jì)觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制精度高的優(yōu)點(diǎn)。為了進(jìn)一步提高控制精度，學(xué)者們提出了對(duì)最大輸出誤差進(jìn)行限制的輸出受限控制方法[15- 16]。

結(jié)合以上分析，文中針對(duì)一類多缸同步控制系統(tǒng)，提出了基于等同控制的同步控制策略，設(shè)計(jì)了干擾觀測(cè)器對(duì)每一路執(zhí)行器回路的集成力擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，通過對(duì)每個(gè)液壓缸的輸出位置誤差和速度誤差進(jìn)行限制來提高多缸之間的運(yùn)動(dòng)同步度和整體的跟蹤精度，利用魯棒項(xiàng)來補(bǔ)償系統(tǒng)中的壓力-流量擾動(dòng)，并利用障礙李雅普諾夫理論對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 系統(tǒng)模型

文中以液壓支架群同步拉架過程為模型，其原理如圖1所示。液壓支架的推移油缸系統(tǒng)實(shí)質(zhì)為閥控非對(duì)稱缸，由于其在同步拉架過程中不存在相互耦合關(guān)系，而且每個(gè)液壓缸的尺寸型號(hào)都相同，因此可以一起對(duì)其進(jìn)行討論。系統(tǒng)無桿腔的油液壓力p1、有桿腔的油液壓力p2和輸出位移y通過信號(hào)傳感器進(jìn)行測(cè)量，并反饋到控制器中?？刂破魍ㄟ^輸出電壓u來改變伺服閥的主閥芯位移，從而使得質(zhì)量塊(其質(zhì)量為m)的軌跡盡可能地跟隨期望軌跡。

圖1 液壓支架群同步拉架示意圖

非對(duì)稱缸的力學(xué)方程為

(1)

式中，A1和A2分別為非對(duì)稱缸無桿腔和有桿腔的作用面積，b為黏性阻尼系數(shù)，fc為外負(fù)載力，F(xiàn)d為系統(tǒng)的建模誤差(包括不確定參數(shù)、未建模摩擦力等)。

比例伺服閥的流量方程為

(2)

式中，Q1和Q2分別為非對(duì)稱缸無桿腔和有桿腔的流量，kq為比例伺服閥的流量增益系數(shù)，xv為比例伺服閥的主閥芯位移，ps為系統(tǒng)供液壓力，符號(hào)函數(shù)sgn(*)可以進(jìn)一步表示成

(3)

由于比例伺服閥的響應(yīng)頻率比整個(gè)電液伺服系統(tǒng)的響應(yīng)頻率快得多，因此將比例伺服閥的主閥芯位移與控制器的輸入電壓視為一階比例關(guān)系：

xv=kvu

(4)

式中，kv為伺服閥主閥芯的位移-電壓增益系數(shù)。

隨著密封技術(shù)的提高，外泄漏系數(shù)在建模時(shí)通?？梢员缓雎?，因此非對(duì)稱缸的流量連續(xù)性方程為

(5)

式中，βe為液壓油的體積彈性模量，V01和V02分別為非對(duì)稱缸無桿腔和有桿腔的初始體積，Ct為系統(tǒng)內(nèi)泄露系數(shù)，Qe1和Qe2為非對(duì)稱缸無桿腔和有桿腔流量的建模誤差(包括不確定參數(shù)、未建模動(dòng)態(tài)等)。

將系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義為

則式(1)-(5)可以重新整理成以下形式：

(6)

式中，

2 控制器設(shè)計(jì)

控制器的設(shè)計(jì)原理如圖2所示。首先設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的集成力擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，然后利用障礙李雅普諾夫函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的位置誤差和速度誤差進(jìn)行限制，并引入動(dòng)態(tài)面對(duì)整個(gè)控制器的設(shè)計(jì)過程進(jìn)行簡(jiǎn)化，最后對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)證。

圖2 同步拉架時(shí)多缸位置控制器的設(shè)計(jì)原理示意圖

2.1 干擾觀測(cè)器

定義文中所設(shè)計(jì)的非線性干擾觀測(cè)器的估計(jì)誤差為

(7)

設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器為[17]

(8)

式中，ε1為干擾觀測(cè)器的增益。

由式(8)可知，若想抑制干擾觀測(cè)器的變化，需要為其設(shè)計(jì)一個(gè)相對(duì)高的增益，但由于式(8)中存在系統(tǒng)狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)，較大的增益同時(shí)放大了傳感器的測(cè)量噪音。為了降低測(cè)量噪音的影響，引入如下輔助變量：

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo)，則有

(10)

由式(10)可以看出，引入輔助變量后，在計(jì)算輔助變量的導(dǎo)數(shù)時(shí)可以避免對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行求導(dǎo)，從而降低了放大測(cè)量噪音的風(fēng)險(xiǎn)。

對(duì)干擾觀測(cè)器的估計(jì)誤差求導(dǎo)，則有

(11)

可以將式(11)視為一個(gè)典型的一階線性非齊次微分方程，其通解可以表示成

(12)

式中，d1(0)為擾動(dòng)的初始值，d1max為擾動(dòng)的最大值。

可以發(fā)現(xiàn)，ε1的值越小，擾動(dòng)最終值的界值就越小，因此可以通過適當(dāng)選取干擾觀測(cè)器的參數(shù)來改變其觀測(cè)性能。

2.2 動(dòng)態(tài)面控制器

由于液壓支架的數(shù)量眾多，而且多缸拉架過程中并無耦合作用，所以多缸系統(tǒng)的同步控制采用同等控制。此外，多缸拉架是典型的多閥控多缸系統(tǒng)，因此仍可以以其中第j號(hào)缸為例進(jìn)行動(dòng)態(tài)面控制器的設(shè)計(jì)。

步驟1定義位置/輸出跟蹤誤差e1j為

e1j=x1j-yd

(13)

式中，yd為多缸系統(tǒng)同步運(yùn)動(dòng)的期望軌跡。對(duì)式(13)求導(dǎo)，則有

(14)

為了保證多缸系統(tǒng)與期望軌跡之間的準(zhǔn)確跟蹤，設(shè)置最大位置跟蹤誤差值為kb1j，且有|e1j|≤kb1。

定義障礙李雅普諾夫函數(shù)為

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)，則有

(16)

為了保證式(16)的負(fù)定性，選取x2j的虛擬輸入α1j為

(17)

式中，k1j為正常數(shù)增益。

(18)

定義濾波器的輸出值和原始虛擬輸出值之間的誤差為

(19)

該誤差的動(dòng)態(tài)方程為

(20)

步驟2定義第2個(gè)動(dòng)態(tài)面的誤差為

(21)

求e2j的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，則有

(22)

為了進(jìn)一步提高多缸系統(tǒng)的位置跟蹤精度，并提高其速度的控制精度，對(duì)速度跟蹤誤差也引入1個(gè)最大誤差限制kb2，選取障礙李雅普諾夫函數(shù)V2j為

(23)

對(duì)式(23)求導(dǎo)，則有

(24)

與步驟1相似，為了保證式(24)的負(fù)定性，選取x3j的虛擬輸入α2j為

(25)

式中，k2j為正常數(shù)增益。

(26)

定義兩者之間的誤差為z2j，則

(27)

誤差的動(dòng)態(tài)方程可以表示成

(28)

步驟3定義動(dòng)態(tài)面的最后一個(gè)誤差為e3j，則有

(29)

式(29)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(30)

選取李雅普諾夫函數(shù)V3j為

(31)

選取整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)際輸入為

(32)

式中，d2jmax為系統(tǒng)壓力-流量擾動(dòng)的最大值。

根據(jù)液壓系統(tǒng)的實(shí)際工況，反步控制中的各項(xiàng)虛擬輸入α1j和α2j都是有界的，而且其經(jīng)過一階濾波器的輸出同樣有界。此外，它們的各項(xiàng)微分也是有界的。

2.3 穩(wěn)定性證明

為了保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取第j號(hào)缸的李雅普諾夫函數(shù)為

(33)

結(jié)合上述公式，對(duì)式(33)求導(dǎo)，則有

(34)

根據(jù)式(20)，有以下不等式成立：

(35)

所以，有下式成立：

(36)

根據(jù)楊不等式，可以推導(dǎo)出以下不等式成立：

(37)

式中，M1j和M2j分別為虛擬輸入導(dǎo)數(shù)的最大值。

此外，根據(jù)楊不等式，由式(34)中的其他各項(xiàng)可以推導(dǎo)出以下不等式：

(38)

又因?yàn)?/p>

e3jd2j-d2jmax|e3j|≤|d2j|·|e3j|-d2jmax|e3j|≤0

(39)

式(34)可以重新整理成

(40)

式(40)可以寫成標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次微分方程的形式：

(41)

式(41)中，各項(xiàng)的詳細(xì)表述為

aj=min{K1j,K2j,K3j,Γ1j,Γ2j,N1j}

(42)

式(42)的通解可以表示成

(43)

由式(43)可以看出，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，Vj將收斂于一較小值μj，而μj的值取決于δj/(2aj)。如果選取aj≥δj/(2μj)，則式(41)為負(fù)定的，也就說明整個(gè)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因此，通過合理地選取干擾觀測(cè)器及動(dòng)態(tài)面控制器的各項(xiàng)參數(shù)，可以保證多缸同步拉架系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 仿真驗(yàn)證

表1 仿真模型的主要參數(shù)Table 1 Main parameters of the simulation model

C1控制器(對(duì)比控制器1)：比例-積分控制器，比例增益kp=300，積分增益ki=10。

C3控制器：基于非線性干擾觀測(cè)器的位置速度受限魯棒動(dòng)態(tài)面控制器，其控制參數(shù)與C2控制器完全相同，額外的位置最大誤差kb1=0.005，速度最大誤差kb2=0.2。

圖3示出了在C1控制器控制下，不同負(fù)載力時(shí)運(yùn)動(dòng)雙缸的軌跡跟蹤情況和跟蹤誤差情況?？梢钥闯觯篊1控制器控制下，兩個(gè)推移油缸的最大跟蹤誤差都在25 mm左右，而且兩個(gè)缸的最大跟蹤誤差都出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)速度最快的時(shí)候，此時(shí)產(chǎn)生了略微的抖動(dòng)；此外，不同的負(fù)載力對(duì)液壓缸的控制精度會(huì)產(chǎn)生影響。

圖4和圖5分別示出了C2和C3控制器的控制情況。C2和C3控制器具有非線性干擾觀測(cè)器，它們對(duì)未知負(fù)載力進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并反饋給主控制器進(jìn)行補(bǔ)償，因此最大跟蹤誤差較小。C2控制器控制下，兩個(gè)缸的跟蹤誤差都在3 mm左右，不僅跟蹤曲線在整體上與期望軌跡的曲線相重合，而且誤差曲線也十分接近，說明同步運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)推移油缸的同步精度較高。而加了位置限制和速度限制的魯棒動(dòng)態(tài)面控制器C3的跟蹤誤差進(jìn)一步減小，兩個(gè)缸的跟蹤誤差都僅有0.04 mm，位置控制精度進(jìn)一步提高，而且由于運(yùn)動(dòng)速度誤差受到限制，同樣提高了兩個(gè)缸的運(yùn)動(dòng)同步度，但是誤差曲線略有抖動(dòng)，這是由位置速度的受限控制引起的。

圖6示出了不同控制器下兩個(gè)缸的同步誤差。從圖中可以看出：C1控制器的同步誤差最大，約為5 mm，而且整體的震蕩很大。C2控制器的同步誤差約為0.4 mm，而C3控制器的同步誤差約為0.06 mm。這是因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)雙缸不僅位置誤差受到限制，運(yùn)動(dòng)速度也受到了限制，這保證了運(yùn)動(dòng)雙缸的一致性。通過分析運(yùn)動(dòng)雙缸的軌跡跟蹤誤差圖和同步誤差圖可見，在所提出的同等控制策略下，基于非線性干擾觀測(cè)器的位置速度雙受限動(dòng)態(tài)面控制器是有效的，它不僅大大簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)，而且提高了單缸的位置控制精度和兩個(gè)缸的同步控制精度，同時(shí)提高了系統(tǒng)的抗擾能力和魯棒性。

圖6 不同控制器的同步誤差Fig.6 Synchronization error of different controllers

圖7示出了運(yùn)動(dòng)雙缸的干擾觀測(cè)器觀測(cè)結(jié)果?？梢钥闯觯m然不同推移油缸受到的負(fù)載力不同，但是非線性干擾觀測(cè)器都能比較準(zhǔn)確地對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而反饋給控制器進(jìn)行補(bǔ)償，從而提高了系統(tǒng)的抗擾能力，并提高了推移油缸的位置控制精度。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步說明文中提出的多缸拉架控制算法的優(yōu)越性，搭建了圖8所示的多缸系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)(具體參數(shù)如表2所示)，設(shè)計(jì)了2個(gè)對(duì)比控制器來進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。下文給出了控制器的參數(shù)設(shè)置。

圖8 多缸系統(tǒng)模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.8 Simulation test bench of multi-cylinder system

PI控制器(對(duì)比控制器1)：比例-積分控制器，比例增益kp=150，積分增益ki=20。比例增益影響PI控制器的響應(yīng)速度，雖然比例增益越大系統(tǒng)響應(yīng)越迅速，但是過大的比例增益會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的震蕩，積分增益有助于調(diào)節(jié)、改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

NOBR控制器(對(duì)比控制器2)：基于非線性干擾觀測(cè)器的魯棒控制器，其中非線性干擾觀測(cè)器的觀測(cè)增益ε1=200，魯棒控制器的控制參數(shù)k1=100、k2=60、k3=60，魯棒項(xiàng)幅值d2max=5。

表2 試驗(yàn)臺(tái)的主要物理參數(shù)Table 2 Main physical parameters of the test bench

由于實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)作較慢，因此選擇低頻信號(hào)作為期望軌跡，這樣即使在動(dòng)態(tài)情況下，由于干擾觀測(cè)器對(duì)外來干擾的實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償作用，也能提高系統(tǒng)的抗擾能力和控制精度。圖9分別示出了在PI控制器控制下，不同負(fù)載力時(shí)運(yùn)動(dòng)雙缸的軌跡跟蹤情況和跟蹤誤差情況?？梢钥闯?，PI控制器控制下，兩個(gè)缸的最大跟蹤誤差均約為7 mm，都出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)速度最快的時(shí)候，而且不同的負(fù)載力對(duì)液壓缸的控制精度影響較大。

圖10和圖11分別示出了NOBR和NOBECR控制器的控制情況。NOBR和NOBECR控制器具有非線性干擾觀測(cè)器，它們對(duì)未知負(fù)載力進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并反饋給主控制器進(jìn)行補(bǔ)償，因此最大跟蹤誤差較小。NOBR控制器控制下，兩個(gè)缸的跟蹤誤差均約為6 mm，跟蹤曲線整體上與期望軌跡的曲線相重合。而加了位置限制和速度限制的魯棒動(dòng)態(tài)面控制器NOBECR的跟蹤誤差僅約2 mm，位置控制精度進(jìn)一步提高，而且由于運(yùn)動(dòng)速度誤差受到限制，同樣提高了兩個(gè)缸的運(yùn)動(dòng)同步度。

圖12顯示的是3種控制器下運(yùn)動(dòng)雙缸的同步誤差?？梢郧宄乜闯?，兩個(gè)缸的同步誤差相差不大，其中PI控制器下的同步誤差最大約為2.2 mm，NOBR控制器下的同步誤差約為1.4 mm，NOBECR控制器下的同步誤差約為0.8 mm。雖然同步誤差的數(shù)值相差不大，但是采用NOBECR控制器時(shí)具有更小的波動(dòng)，因此跟蹤效果更好，精確度更高。圖13所示為非線性干擾觀測(cè)器對(duì)雙缸系統(tǒng)的力擾動(dòng)估計(jì)，由于缸1的加載力稍大，因此在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)有個(gè)較大的跳躍性，之后的估計(jì)值較為平穩(wěn)。

圖12 運(yùn)動(dòng)雙缸的同步誤差Fig.12 Synchronization errors of the two pulling cylinders

圖13 運(yùn)動(dòng)雙缸對(duì)集成擾動(dòng)力的估計(jì)

5 結(jié)語

針對(duì)多缸同步控制系統(tǒng)，文中提出了一種基于干擾觀測(cè)器的位置速度雙受限魯棒動(dòng)態(tài)面等同控制方法；利用干擾觀測(cè)器對(duì)集成力干擾進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，采用障礙李雅普諾夫函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的位置和速度誤差進(jìn)行限制，并驗(yàn)證控制器的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，文中所設(shè)計(jì)的多缸同步控制器的系統(tǒng)波動(dòng)更小，兩個(gè)缸的同步誤差約為0.8 mm，具有更強(qiáng)的抗擾能力和更高的控制精度。文中研究了一類多執(zhí)行器的同步控制問題，在許多場(chǎng)合均有應(yīng)用。下一步的研究將集中在改善控制器的性能和加強(qiáng)控制器的實(shí)際應(yīng)用方面。