尤旭洋

（四川省社會科學(xué)院，四川 成都 610072）

一、引言

預(yù)測在日常生活中十分常見。采用科學(xué)方法預(yù)測，可以使人們掌握事物發(fā)展趨勢，進而規(guī)避許多風(fēng)險。小到衣食住行，大到國家政治經(jīng)濟決策，預(yù)測貫穿哲學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)、人口學(xué)等多方面，如何做到精確預(yù)測是非常重要的工作。GDP作為衡量一個國家或地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的重要指標(biāo)，研究其變化規(guī)律尤為重要，本文采用時間序列等方法研究GDP增長趨勢。經(jīng)濟生活中的大部分時間序列是非平穩(wěn)的，GDP數(shù)據(jù)就是典型的非平穩(wěn)時間序列，它的變化受許多因素的影響，很多因素對GDP有長期性、決定性作用，使時間序列變化呈某種趨勢和一定規(guī)律性，還有很多因素，則起到短期的非決定性作用，使時間序列變化呈隨機的不規(guī)則性。GDP預(yù)測具有很強的時效性，本文采用最新數(shù)據(jù)，用多種方法預(yù)測四川省GDP的變化趨勢。

二、利用ARIMA模型預(yù)測四川省GDP

時間序列數(shù)據(jù)預(yù)處理。先從時間序列的平穩(wěn)性及隨機性方面進行預(yù)處理。根據(jù)四川省歷年GDP總量時序圖，可以看出GDP有明顯的增長趨勢，因此判定該時間序列不滿足平穩(wěn)性。對其進行一階差分預(yù)處理，結(jié)果如圖1所示，仍然不平穩(wěn)，做進一步的差分處理，結(jié)果如圖2所示，二階差分后的序列一直圍繞均值波動，于是判定其為二階差分平穩(wěn)序列。

圖1 四川省GDP一階差分時序圖

圖2 四川省GDP二階差分時序圖

白噪聲檢驗。二階差分之后的序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖分別如圖3、圖4所示，自相關(guān)系數(shù)圖顯示序列有短期相關(guān)性，說明差分后序列隱藏了很多可供提取的數(shù)據(jù)信息，所以二階差分后序列為平穩(wěn)非白噪聲序列。通過平穩(wěn)性及白噪聲檢驗之后，進行ARIMA模型的定階。

圖3 四川省GDP自相關(guān)系數(shù)

由圖3、圖4可知，自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖都符合正弦震蕩衰減的拖尾形態(tài)。接下來進一步確定模型參數(shù)，根據(jù)BIC準(zhǔn)則，BIC函數(shù)定義如下：

圖4 四川省GDP偏自相關(guān)系數(shù)

N是時間序列的序列長度，擬合的參數(shù)一般不超過N/10，隨著不斷提升模型的參數(shù)p和q，BIC函數(shù)中的第一項序列殘差平方估計量的自然對數(shù)值會減小，第二項會增大，存在某一數(shù)值使得BIC值最小，R2更接近1，盡量選取BIC信息量值最小的參數(shù)，建立ARIMA模型?？梢杂^察到二階差分后序列的自相關(guān)圖表現(xiàn)出自相關(guān)系數(shù)迅速衰減到零，自相關(guān)圖表現(xiàn)出典型的一階截尾性，即q=1，而偏自相關(guān)系圖表現(xiàn)出非截尾的性質(zhì)。原序列二階差分后平穩(wěn)，差分次數(shù)為d=2，因此用 ARIMA（0，2，1）模型擬合原序列。

部分模型效果如表1所示，選擇建立 ARIMA（0，2，1）模型。可以看出，模型的參數(shù)顯著性較高，預(yù)測值為40046，真實值為40678，誤差百分比為1.6%，預(yù)測效果較好。

表1 模型不同參數(shù)比較

三、利用BP模型預(yù)測四川省GDP

（一）構(gòu)建BP模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模仿的是大腦神經(jīng)元功能，是一種智能仿生模型，可以通過學(xué)習(xí)和訓(xùn)練掌握大量知識，從而對變量進行預(yù)測，得到給定精度下的預(yù)測值。神經(jīng)元的默認(rèn)激勵函數(shù)通常如下：

單個神經(jīng)元的功能非常有限，但是大量神經(jīng)元相互連接，每一層的神經(jīng)元狀態(tài)都會影響下一層的神經(jīng)元，具有十分強大的功能，并且能夠很好地進行預(yù)測分析。輸入層m個神經(jīng)元節(jié)點到輸出層的n個神經(jīng)元節(jié)點，可以形成從m個自變量映射到n個需要預(yù)測的因變量的函數(shù)。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有很多模型，但應(yīng)用最廣泛、最直觀的是多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和誤差反向傳播學(xué)習(xí)算法，即BP網(wǎng)絡(luò)。輸出層用于輸出網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的結(jié)果向量，輸出向量的尺寸應(yīng)根據(jù)具體的應(yīng)用要求進行設(shè)計。設(shè)計時，應(yīng)盡量減少系統(tǒng)的規(guī)模，以減少系統(tǒng)的復(fù)雜性。m個變量就是輸入層選定的自變量輸入信號，然后通過隱藏層的不停處理反饋，進而得出輸出層所需的變量預(yù)測值。因此，需要選取多個可能會對預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生影響的自變量指標(biāo)。

（二）訓(xùn)練數(shù)據(jù)的選擇及預(yù)處理

選取訓(xùn)練數(shù)據(jù)時，必須基于正確的宏觀經(jīng)濟學(xué)理論，否則選取的自變量也許僅僅有一定的相關(guān)關(guān)系，但并不適宜用這些變量進行預(yù)測。

GDP的核算方法有生產(chǎn)法、支出法、收入法，其中支出法為：

GDP=C+I+G+NX

公式中的I主要與固定資產(chǎn)投資和存貨投資有關(guān)，而C與各行各業(yè)的消費購買金額有關(guān)，G代表政府購買，NX代表凈出口。

表2 選擇的自變量指標(biāo)含義

首先，對原始數(shù)據(jù)進行歸一化處理：

部分?jǐn)?shù)據(jù)的歸一化處理結(jié)果如表3所示：

表3 數(shù)據(jù)歸一化

特別說明本文的創(chuàng)新點之一在于，一般情況下BP網(wǎng)絡(luò)為了增強映射能力和泛化能力都會采用非線性函數(shù)，實際上BP模型就是一種非線性預(yù)測的強手段。但是GDP、從業(yè)人口增長等實際生活中的經(jīng)濟指標(biāo)，通常更趨向于線性，而不會呈現(xiàn)為指數(shù)形式。從GDP核算公式可以看出兩者是符合某種線性關(guān)系的。因此輸入層和隱藏層的擬合函數(shù)本文均選擇線性擬合函數(shù)purelin，而沒有選用普通的默認(rèn)函數(shù)。下文對線性擬合函數(shù)purelin與默認(rèn)函數(shù)預(yù)測效果進行比較。

圖5 預(yù)測值與真實值對比

圖6 GDP誤差變化曲線

表4 神經(jīng)元節(jié)點數(shù)為15時的一次B P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GDP預(yù)測結(jié)果

圖7 學(xué)習(xí)效果曲線圖

由結(jié)果可知在訓(xùn)練到第8次時，誤差表現(xiàn)已經(jīng)達到訓(xùn)練精度要求，此時停止訓(xùn)練，預(yù)測值誤差穩(wěn)定在2%左右，相關(guān)度R均大于0.99，非常接近1。

（三）擬合函數(shù)變化對預(yù)測的影響

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進程圖

采用默認(rèn)函數(shù)預(yù)測，與上文線性函數(shù)預(yù)測效果進行比較?？梢钥闯霎?dāng)采用BP模型默認(rèn)的節(jié)點激活函數(shù)進行預(yù)測時，預(yù)測效果很差，不僅預(yù)測值與真實值相差極大，預(yù)測的誤差不降反升，一度達到20.1%，學(xué)習(xí)次數(shù)達到44次，學(xué)習(xí)效果不佳，所以采用線性函數(shù)效果更好。

圖9 非線性函數(shù)預(yù)測值與真實值對比

圖10 非線性函數(shù)預(yù)測誤差變化曲線

表5 神經(jīng)元節(jié)點為非線性函數(shù)時的一次預(yù)測結(jié)果

（四）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化對預(yù)測的影響

由于初始輸入層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)是通過經(jīng)驗公式確定，并不一定是最優(yōu)的。所以為進一步探究隱含層神經(jīng)元節(jié)點個數(shù)以達到學(xué)習(xí)效果相對最優(yōu)，接下來保持預(yù)測精度、最大迭代次數(shù)、學(xué)習(xí)率等參數(shù)不變，改變節(jié)點個數(shù)，比較學(xué)習(xí)次數(shù)多少和誤差大小，結(jié)果如表6所示，不同神經(jīng)元節(jié)點個數(shù)下的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型學(xué)習(xí)效果存在一定差別。

表6 不同神經(jīng)元節(jié)點個數(shù)的學(xué)習(xí)結(jié)果比較

神經(jīng)元節(jié)點個數(shù)為5-10時，學(xué)習(xí)次數(shù)偏多，學(xué)習(xí)效果不好，誤差偏大，處于欠擬合狀態(tài)。神經(jīng)元節(jié)點個數(shù)大于20時，學(xué)習(xí)次數(shù)良好，但誤差偏大，處于過擬合狀態(tài)。在神經(jīng)元節(jié)點個數(shù)為15左右時，誤差相對最小，學(xué)習(xí)次數(shù)相對較少，能達到預(yù)測誤差要求。

由此可見，BP預(yù)測的效果雖好但是要基于大量多維的數(shù)據(jù)，需要利用所有的歷史數(shù)據(jù)提高人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，實際上這種預(yù)測方法適合短期預(yù)測。

四、利用GA-BP模型預(yù)測四川省GDP

（一）構(gòu)建GA-BP模型

BP模型有一些固有的缺點。首先，BP模型的隱含層神經(jīng)元數(shù)量結(jié)構(gòu)是事先規(guī)定好的，僅僅是試出來的最優(yōu)解。其次，BP模型網(wǎng)絡(luò)的初始閾值以及權(quán)值是隨機產(chǎn)生的，沒有選擇的原理，隨著算法不斷迭代更新。最后，BP模型采用梯度下降法，容易陷入局部最優(yōu)解，而找不到全局最優(yōu)解。為解決這些問題，進一步引入GA-BP模型（遺傳-誤差反向傳播算法Genetic Algorithm-Error Back Propagation）進行預(yù)測。遺傳算法（GA）是一種從自然界中的進化過程得到啟發(fā)的算法，是人工智能的一種算法，本質(zhì)上是一種并行處理的全局搜索算法。搜索過程中不斷優(yōu)化，尋求最優(yōu)解。通過類似基因遺傳、片段交叉、基因突變、自然選擇的作用下產(chǎn)生更新迭代，具體操作如下：

選擇操作：類似于自然選擇過程，更加適應(yīng)要求的個體特征，被遺傳的概率更大。反之，不太適應(yīng)的個體會逐漸被淘汰。

交叉操作：類似基因交叉，可以產(chǎn)生新的，與之前個體特征都不一樣的新個體，產(chǎn)生的新個體通常相對原個體更先進。為了判斷構(gòu)建的染色體進化效果，必須要引入一個評價方式，我們稱為適應(yīng)度函數(shù)，它保證了算法向好的方向進行下去，模擬了物競天擇自然選擇的過程。不同問題需要專門設(shè)計不同的適應(yīng)度函數(shù)，最直接的設(shè)定方式是采用問題的目標(biāo)函數(shù)，但這個函數(shù)必須基于原來的算法，與原來的誤差有關(guān)，實際應(yīng)用時通常?。?/p>

分母與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的殘差平方和（SSE）相關(guān)，誤差越大，適應(yīng)函數(shù)值越小，表示該個體適應(yīng)度越差，反之，適應(yīng)度良好的個體可以被保留。適應(yīng)度函數(shù)會影響遺傳算法的迭代停止條件?，F(xiàn)實中，對于遺傳算法何時停止迭代的理論研究還不成熟。但是，當(dāng)采用與原來的誤差有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度度量時，可以發(fā)現(xiàn)種群中的個體已趨于穩(wěn)定的狀態(tài)為算法停止迭代條件。遺傳算法迭代的停止條件要視情況而定，何時停止要具體問題具體分析。某種程度上，適應(yīng)度驅(qū)動了遺傳算法的進化。但現(xiàn)實中有些求解問題含有約束條件，而適應(yīng)度缺乏明確表示約束條件的能力。當(dāng)然，目前為止也有一些解決該問題的辦法，但考慮到本文不涉及約束條件，不再深入闡述該問題。

（二）預(yù)測結(jié)果

用matlab實現(xiàn)GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測算法結(jié)果如圖11、圖12所示。

圖11 GA-BP預(yù)測值與真實值對比

圖12 GA-BP預(yù)測誤差變化曲線

表7 神經(jīng)元節(jié)點數(shù)為15時的一次GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GDP預(yù)測結(jié)果

訓(xùn)練到第8次時，誤差表現(xiàn)達到訓(xùn)練精度要求，此時停止訓(xùn)練，預(yù)測值誤差穩(wěn)定在2%左右，相關(guān)度R均大于0.99，非常接近1。與原來的BP模型相比，GA-BP模型誤差更小，最為明顯的是誤差下降速度更快。

（三）GA-BP算法與BP算法對比

為了進一步比較GA-BP算法與BP算法的預(yù)測效果，改變神經(jīng)元個數(shù)，對比兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差是否達到要求的精度，比如要求均方誤差MSE小于0.01。

由表8可知，設(shè)置目標(biāo)MSE為最大0.01，最大迭代次數(shù)參數(shù)均為1000次，但神經(jīng)元個數(shù)分別為5和10時，BP模型并不能在規(guī)定次數(shù)內(nèi)達到要求精度，此時對應(yīng)的GA-BP模型的預(yù)測達標(biāo)次數(shù)已經(jīng)分別達到21次和24次，達標(biāo)率分別為72%和80%?？梢缘贸鼋Y(jié)論：在神經(jīng)元個數(shù)低于經(jīng)過試驗檢驗的最優(yōu)個數(shù)15時，GA-BP模型的預(yù)測效果好于BP模型。設(shè)定神經(jīng)元個數(shù)為20時，也就是高于經(jīng)過試驗檢驗的最優(yōu)個數(shù)15時，GA-BP模型的達標(biāo)率為90%，也高于BP模型75%。綜上所述，在規(guī)定誤差精度時，用GA-BP模型進行預(yù)測可以比BP模型更快速地達到目標(biāo)，迭代次數(shù)更少。除此之外，在隱藏層神經(jīng)元個數(shù)增加時，兩種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測效果都在變好，但此時是否已經(jīng)處于過擬合狀態(tài)還有待考察。

表8 兩種算法預(yù)測效果對比

采用Wilcoxon秩和檢驗比較兩種算法的性能，結(jié)果如表9所示，隱藏層神經(jīng)元個數(shù)相同時，GA-BP算法的調(diào)整R2的中位數(shù)比BP算法的調(diào)整后R2要高，說明前者的擬合效果更好。還可以觀察到神經(jīng)元個數(shù)不是經(jīng)驗最優(yōu)15時，通常是GA-BP算法更優(yōu)，但是在神經(jīng)元個數(shù)是15時，調(diào)整R2的中位數(shù)差距很小，且在0.9以上，非常接近1，即兩者的效果已經(jīng)沒有統(tǒng)計學(xué)上的差異，因此更推薦GA-BP模型。

表9 兩種算法預(yù)測R2對比

五、利用灰色預(yù)測模型預(yù)測四川省GDP

為了進一步比較其他方法的預(yù)測效果，引入灰色算法預(yù)測模型GM（Gray Model）?；疑惴ㄊ窃跀?shù)據(jù)比較簡單、結(jié)構(gòu)比較單一且不完備的情況下，數(shù)據(jù)的不確定性很強、約束條件很弱，此時需要在原來的基礎(chǔ)上，按照實際屬性和特征進行灰色預(yù)測?；疑珕栴}在現(xiàn)實生活中有很廣泛的應(yīng)用。

解決實際問題時，一維的灰色預(yù)測通常用GM（1，1），它的灰色微分方程的解是在初始條件基礎(chǔ)上求得的，擬合曲線在坐標(biāo)平面上必然通過[1，x（1）]也就是第一個數(shù)據(jù)點。但由最小二乘法原理可知的，擬合曲線不一定通過第一個點，所以基于初始條件的預(yù)測結(jié)果不一定是精確的。

圖13 灰色算法預(yù)測GDP值

后驗差比值為0.1097，系統(tǒng)預(yù)測精度更好。但2015年的預(yù)測值誤差百分比為8.2%，傳統(tǒng)灰色算法預(yù)測GDP的誤差相對傳統(tǒng)的BP算法預(yù)測誤差還是偏大。但灰色算法預(yù)測結(jié)果簡單明了，且相對BP算法更為簡單，適用于相對要求不太精確的預(yù)測過程。

表10 灰色算法預(yù)測GDP結(jié)果

六、結(jié)論

本文在之前研究的基礎(chǔ)上，利用時間序列分析方法、BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對四川省GDP進行預(yù)測。分析各種方法的優(yōu)越性和不足，探究結(jié)構(gòu)對預(yù)測的影響。時間序列分析預(yù)測方法軟件功能成熟、操作簡單、結(jié)果直觀，有嚴(yán)密的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)，相對傳統(tǒng)方法預(yù)測誤差較小，現(xiàn)實中應(yīng)用廣泛。時間序列預(yù)測需要大量的歷史數(shù)據(jù)，且預(yù)測基于數(shù)據(jù)慣性，很難對拐點變化進行預(yù)測，ARIMA模型很難實現(xiàn)自序列匹配。BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測相對時間序列分析方法更加精確，但算法相對復(fù)雜，容易陷入局部極小值，不具有較強的全局搜索能力。GA-BP算法在BP算法的基礎(chǔ)上，在權(quán)值和閾值的更新迭代上加入遺傳算法，更加優(yōu)化，且算法穩(wěn)定性相對BP算法更高。灰色預(yù)測算法雖然較為容易，對數(shù)據(jù)要求較低，但精度不如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可以應(yīng)用于較為粗略的預(yù)測。盡管很多統(tǒng)計軟件都有自帶的建模預(yù)測方法，但都不可能是完美的，預(yù)測過程中需要不斷測試和調(diào)整，甚至建立多個模型加以比較，從而選出最佳參數(shù)和模型。