潘彥江

（定西中醫(yī)藥科技中等專業(yè)學校，甘肅 定西 748100）

0 引言

農業(yè)機械設計中應用勢能法求解漸開線直齒輪嚙合剛度，能提高農機產品中的科技含量，降低生產成本，提高生產效率，是推進農業(yè)機械設計更加規(guī)范、科學智能的有效措施。因此，如何在農業(yè)機械設計中合理應用勢能法求解漸開線直齒輪嚙合剛度，是大部分研究人員關注的問題，以有效提高農業(yè)機械生產力[1]。

齒輪傳動作為機械傳動的關鍵構成部分，在傳送運動和力的過程中起著重要作用。因齒輪傳動具有傳動效率高、結構緊湊、運行安全可靠、使用周期長、傳動比穩(wěn)定等優(yōu)點，廣泛應用于農業(yè)機械的生產加工中。齒輪傳動系統(tǒng)是農業(yè)機器的主要構成部分，齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)劣決定著機器是否可正常運行以及運轉成本的高低，隨著科技的不斷發(fā)展，設計者對齒輪進行靜態(tài)分析的同時不斷延伸到動態(tài)力學研究，使齒輪傳動系統(tǒng)具有更高的承載能力、傳動性能穩(wěn)定、抗沖擊能力強，因此，在原有對齒輪失效形式分析、剛度及疲勞強度計算與校驗的基礎上，有必要進行齒輪嚙合剛度計算[2-3]。

由于齒輪在嚙合傳動時處于單雙齒交替進行，使得嚙合剛度也會隨之產生變化，而這種變化是有規(guī)律的，可以視為周期性變化。這種剛度的周期性變化也是齒輪產生振動與噪聲的主要原因，為了減少對其的影響，有必要對其嚙合過程中的剛度進行計算，以減少齒輪嚙合剛度的平均值，從而盡可能避免此現象的產生。

直齒圓柱齒輪作為齒輪的重要形式，由于具有傳動平穩(wěn)、較低的沖擊和噪聲、重合度大、承載能力強等優(yōu)點，被廣泛應用于高速和大功率的齒輪傳動中，并起到傳遞運動和動力的作用。其缺點是在其傳動的過程中齒面間會產生軸向推力，使得齒輪傳動不穩(wěn)定，產生振動，因此有必要對其進行剛度嚙合計算。

在齒輪嚙合傳動時，其時變嚙合剛度作為齒輪動力學模型關鍵參數的一部分，也是一種重要的動態(tài)激勵來源，因此，如何準確計算齒輪嚙合剛度非常重要。而直齒圓柱齒輪一般采用勢能法對其嚙合剛度進行研究，其優(yōu)點在于能夠將齒輪簡化視作懸臂梁模型來進行準確分析，可以計算出在嚙合過程中剛度的變化，又可以考慮其受力及其環(huán)境等因素的變化影響，相比于其他的分析方法有很大優(yōu)勢。

1 研究現狀

現階段，農業(yè)機械設計中漸開線直齒圓柱齒輪嚙合剛度研究，基本還在沿用傳統(tǒng)的設計理念，在設計手段和方法上無法與農業(yè)機械現有作業(yè)環(huán)境相匹配，并且形成的完整理論體系較少，大多都是定性理論，設計計算通常需要使用類比法。農業(yè)機械產品呈現出特殊性主要是由于設計方式老套、設計時間長、生產成本高。在農業(yè)機械產品設計中，需要注意機械齒輪嚙合的應力與變形，使其對產品的強度與剛度進行設計計算時提供相關可靠數據。

雖然國內外學者以齒輪嚙合為主題的研究文獻較多，但是大多數關注點集中在齒輪嚙合結構、原理、過程等分析方面，對其嚙合剛度的計算比較少。近年來，大多數研究者以分析研究為主，對于齒輪嚙合剛度計算的研究的落腳點主要集中在直齒圓柱齒輪上，具有以下不足：1）研究方法不夠深入。對于直齒圓柱齒輪的研究方法主要運用傳統(tǒng)的方法，未能將現有的直齒圓柱齒輪嚙合公式進一步推導創(chuàng)新。2）研究方法復雜。現有的方法進行直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算需要進行復雜的受力分析，計算量比較大，誤差大，需要花費大量的時間。3）研究未能形成系統(tǒng)化。通過查閱資料可知，對于直齒圓柱齒輪的研究不夠系統(tǒng)化，可供查閱參考資料很少，而直齒圓柱齒輪的研究不夠系統(tǒng)集中，雖有少量的關于嚙合時剛度計算的研究，但對于不同參數變化對嚙合剛度影響的研究比較少。

國外專家對于齒輪嚙合剛度計算的研究可以劃分為簡單表達式推導、有限元分析法理論和簡化波方法推理。但通過勢能法來研究齒輪嚙合剛度計算的較少，而勢能法是以Fakher Cheari列出的解析法為基礎，YANG 等從能量變化角度而推導出的，經常用于對齒輪發(fā)生故障時的時變嚙合剛度進行計算。勢能法經過Tian 的創(chuàng)新，可以快速計算出齒輪嚙合時的剛度，其結果與ITSO所提供的相一致[4]。

2 研究方法

2.1 文獻研究法

通過查找、收集和整理相關文獻，了解和掌握了齒輪動力學的理論基礎、研究進展和研究現狀以及未來研究的方向，并結合國內外相關文獻，分析各種類型的齒輪嚙合剛度計算方法，多角度、寬領域、系統(tǒng)性地探討齒輪嚙合的剛度計算。本研究共收集多篇參考文獻，文獻以論文為主，同時也涉及書籍、期刊，所收集的文獻主要涉及農業(yè)機械中齒輪動力學基礎、嚙合原理、齒輪嚙合的剛度計算等內容。

2.2 材料力學法

材料力學法作為固體力學的一個重要分支，主要運用于機械零部件的承載能力分析，其主要任務是將機械零部件轉化為結構簡單的維桿件，從而有利于簡化研究分析，為機械零部件的設計制造提供理論數據基礎。本研究中將直齒圓柱齒輪簡化為懸臂梁模型，進行載荷受力分析，并利用現有的直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算公式進行創(chuàng)新改進，運用相應的方法推導出適合于農業(yè)機械生產過程的齒輪嚙合剛度計算公式，進行分析處理。

3 直齒圓柱齒輪嚙合原理分析

3.1 直齒圓柱齒輪正確嚙合條件

為進一步研究直齒圓柱齒輪嚙合過程以及剛度，筆者以果樹育苗機為例應用勢能法計算出圓柱齒輪嚙合剛度。根據相關文獻可知，齒輪齒廓嚙合的過程中，要使兩齒輪達到正確的嚙合，則其瞬時傳動比需為一常數，其節(jié)點P需定為一定點。

要使齒輪進行傳動，則需使齒輪的每一個齒處于嚙合的狀態(tài)。一對或多對齒輪進行嚙合傳動時，則需使處于嚙合線上的各個輪副都處于嚙合狀態(tài)，如圖1 所示。輪1 為主動輪，輪2 為從動輪，當主動輪1的輪齒根漸開線與從動輪2 的輪齒頂漸開線在嚙合線上C1點進行接觸時，表明此齒輪進入嚙合狀態(tài)，而C1稱為初始嚙合點。同理，在齒輪進行傳動過程中，當主動輪1 的輪齒頂漸開線與從動輪2 的輪齒根漸開線在嚙合線上C2點進行接觸時，表明此齒輪退出嚙合，C2點表示嚙合終止點。由此可知，是齒輪處于嚙合中實際經過的軌跡，稱為實際嚙合線，則表示理論嚙合線。

圖1 直齒圓柱齒輪嚙合傳動

在齒輪傳動的過程中，要使一對齒輪進行正確的嚙合，則需要使其傳動比固定，即兩齒輪的法向齒距相等。其正確嚙合的條件為：

式中，m1、m2為齒輪1、2 的模數，α1、α2為齒輪1、2 的壓力角。由式（2）可得齒輪嚙合的條件應為：

3.2 直齒圓柱齒輪嚙合傳動特點

一對或者多對齒輪進行嚙合傳動時，具有以下特點：1）瞬時傳動比保持恒定不變。如圖1 所示，當齒輪處于嚙合傳動過程中，經過任意嚙合點做兩齒廓的公法線，它一定與兩齒輪基圓相內切，由于其內切線只有一條且過齒輪嚙合傳動時節(jié)點P，因此，其瞬時傳動比保持不變[5]。2）齒輪嚙合線為一條直線。由圖1 可知，為嚙合線，它是由齒輪嚙合的軌跡所組成的，其作用力的方向始終沿著公法線的方向，齒面間作用力的大小也保持不變，這就可以使齒輪進行平穩(wěn)的傳動。3）齒輪嚙合傳動重合度。當齒輪處于嚙合傳動時，之前的齒輪在C1點退出嚙合的同時，之后的齒輪在C2點開始嚙合，這就使得實際嚙合線的長度大于等于法向齒距，因此，重合度也相應≥1。

4 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算

4.1 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算模型建立

在齒輪副傳動系統(tǒng)中，因為齒輪的嚙合是相互交替進行，而造成齒輪傳動過程中產生的形變是處于周期性變化的，在此期間發(fā)生的扭轉和振動也是由于單雙齒嚙合交替所造成的。因此，有必要對齒輪嚙合的剛度變化進行計算。

通過查找文獻可知，運用勢能法計算齒輪嚙合剛度的過程中總勢能是由剪切勢能Us、彎曲勢能Ub、軸向壓縮勢能Ua、赫茲勢能Uh這四部分構成，將齒輪簡化為懸臂梁模型，并運用材料力學和彈性力學的知識可以演變出剪切剛度ks、彎曲剛度kb、壓縮剛度ka、赫茲剛度kh的表達式：

式中，F為齒輪傳動時位于嚙合點處的作用力[6]，其方向沿著的方向，且可將F沿軸向和徑向分解為軸向力Fa和切向力Fb，其表達式為：

式（5）～（8）中，E表示楊氏彈性模量，G是剪切模量，Ix表示嚙合點處距離基圓x處的輪齒之間的慣性矩，Ax表示該處的橫截面積，h表示嚙合點處到輪齒對稱中心線的長度，d表示的是嚙合點到齒輪齒根圓的長度，根據相關文獻可知：

式中，v為泊松比，L是齒輪的面齒寬度，rb表示基圓半徑，α2是齒頂圓處所對應的壓力角，其表達式為：

其中，z為齒輪的齒數。

由圖2中的幾何關系可知：

圖2 直齒圓柱齒輪受力圖

則dx可以表示為：

4.2 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算模型求解

聯立以上公式，經過推導變形可以得出直齒圓柱齒輪相應的剛度表達式：

根據以上公式則可求出一對齒輪在嚙合傳動中所儲存的總勢能為：

又有嚙合過程中各個勢能與剛度之間的相互關系式，其總勢能可表示為：

式中，1 與2 分別表示一對齒輪嚙合過程中的主動輪和從動輪[7]，由上式可知齒輪嚙合過程的總剛度k可變換為：

由上式可求得一對齒輪的嚙合剛度，但是結果與實際值偏大，由于齒輪在嚙合的過程中存在著由角撓度所引起的變形，則齒基剛度可表示為：

L*、P*、M*、Q*所代表的含義及具體計算公式見文獻[8]，uf、sf之間的關系如圖3 所示。

圖3 齒基剛度幾何參數圖

對于重合度的齒輪嚙合來說，在齒輪傳動的過程中，在一個傳動周期內可能同時存在多對齒輪的嚙合，其嚙合的總剛度為：

上式，1 和2 分別表示齒輪嚙合時的主從動輪，而n反映的是在齒輪傳動時同時處于嚙合狀態(tài)的輪齒對數[9]。

5 結束語

綜上所述，筆者通過結合材料力學、彈性力學以及齒輪動力學的相關知識，運用勢能法求解出了直齒輪的嚙合剛度，并在此基礎上進一步研究分析，進行了一系列推導研究，以此確保農機產品的設計質量和效率，為其后續(xù)工作夯實基礎[10]。另外，在農業(yè)機械設計中有效融合先進設計理念，能夠從虛擬機分析、評估、檢測、改造等環(huán)節(jié)入手，對農機產品的使用性能進行嚴格把關，將農業(yè)機械產品的研發(fā)時長縮短，并降低研發(fā)成本。