鄧小波，趙軍瑞，宋 勝

(1.中國(guó)人民解放軍61711部隊(duì)，新疆 喀什 844000；2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

地磁場(chǎng)是地球本身固有的基本物理場(chǎng)[1]。在主地磁場(chǎng)基礎(chǔ)上，不同位置的地形和組成物質(zhì)不同，導(dǎo)致局部的異常場(chǎng)[2-4]，而且異常場(chǎng)與空間地理位置存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?；诋惓?chǎng)匹配的地磁匹配導(dǎo)航是一種無源、自主的導(dǎo)航方式，具有良好的應(yīng)用前景[5-8]。

在地磁導(dǎo)航算法的研究中，穆華等人[9]采用了擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法研究了慣性/地磁組合導(dǎo)航技術(shù)在船舶導(dǎo)航方面的應(yīng)用，仿真結(jié)果證明慣性/地磁導(dǎo)航魯棒性好，可實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)航時(shí)工作；楊功流等[10]研究了基于Sigma點(diǎn)采樣的UKF方法構(gòu)建慣性/地磁卡爾曼濾波器，相比于使用EKF方法避免了非線性系統(tǒng)的線性化誤差；朱占龍等[11]研究了使用新息正交法的自適應(yīng)濾波方法，仿真結(jié)果證明該方法提高了組合導(dǎo)航系統(tǒng)對(duì)野值的適應(yīng)能力，提高了系統(tǒng)的可靠性；劉睿[12]研究了慣性/地磁/天文的組合導(dǎo)航方法，綜合了多種導(dǎo)航方式的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)造了長(zhǎng)航時(shí)高精度的組合導(dǎo)航系統(tǒng)。上述研究主要針對(duì)地面、水下以及低空域進(jìn)行地磁匹配算法研究，然而高空高速飛行器由于地磁場(chǎng)環(huán)境和運(yùn)動(dòng)特性有所不同，需要對(duì)其導(dǎo)航方法進(jìn)行針對(duì)性研究。

地磁圖的準(zhǔn)確性和包含可用信息量的大小是影響地磁匹配導(dǎo)航精度的重要因素。而不同位置地磁異常場(chǎng)特性不同，能用于匹配導(dǎo)航的信息量也不同。因此，進(jìn)行地磁匹配導(dǎo)航前需要選擇適合匹配的區(qū)域[13-16]。同時(shí)，穿越地磁區(qū)域的航跡方向也會(huì)影響到地磁匹配的效果，這也是進(jìn)行載體航跡規(guī)劃的重要依據(jù)[17-18]。

本文根據(jù)對(duì)高空地磁圖特性的分析，利用高空大范圍地磁梯度呈現(xiàn)趨勢(shì)性的特點(diǎn)，提出了地磁方向熵的概念，由此給出了一種高空高速飛行器的地磁匹配軌跡選取方法。

1 高空地磁圖匹配的特性分析

目前，高空地磁異常場(chǎng)測(cè)量在實(shí)現(xiàn)上面臨較大困難，通常通過采集地面或低空地磁異常場(chǎng)數(shù)據(jù)，然后通過延拓方法得到高空地磁場(chǎng)的方案[19]。這使得高空地磁異常場(chǎng)的特性與地面或低空地磁異常場(chǎng)有所不同[20]。取1 000 m高度地磁圖和30 000 m高度地磁圖繪制三維曲面圖，如圖1所示。

(a) 1 000 m

(b) 30 000 m圖1 同一區(qū)域不同高度的地磁場(chǎng)三維曲面圖Fig.1 3D surface map of the geomagnetic field at different altitudes in the same area

通過對(duì)比圖1不同高度的地磁三維圖可以看出，高空地磁異常場(chǎng)的變化相比低空更加平滑。因此，高空地磁匹配算法需要適應(yīng)高空地磁圖的特點(diǎn)。地磁異常場(chǎng)的削弱意味著對(duì)地磁傳感器測(cè)量精度的要求比地面地磁匹配要高。而高空地磁場(chǎng)這種平滑有明顯趨勢(shì)性變化的特性也會(huì)對(duì)地磁匹配方法提出新的要求和需要解決的問題，即飛行器飛入方向和飛行軌跡問題。高空地磁異常圖的波動(dòng)較小，起伏變化具有明顯的與地理位置有關(guān)的趨勢(shì)性，這使得飛行軌跡的航向和等值線變化趨勢(shì)的角度會(huì)影響到匹配的性能。飛行軌跡與地磁等值線處于近平行狀態(tài)時(shí)，匹配性能較好，而處于近垂直狀態(tài)時(shí)匹配誤差增大，且匹配概率大大降低?；谝陨霞夹g(shù)背景，提出地了磁梯度網(wǎng)絡(luò)和地磁方向熵結(jié)合的地磁匹配航跡選擇方法。

2 數(shù)字地磁圖的地磁梯度向量場(chǎng)

然而，實(shí)測(cè)的地磁圖一般都是離散的，以二維數(shù)組的形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中。二維數(shù)組可以以更加簡(jiǎn)單的方式計(jì)算地磁梯度，即使用地磁矩陣的數(shù)值梯度(Numerical Gradient)來計(jì)算數(shù)字地磁圖沿著x方向和y方向的地磁場(chǎng)梯度。

矩陣的數(shù)值梯度的定義為二維函數(shù)在x方向和y方向的偏導(dǎo)，其值為：

(1)

對(duì)于矩陣這種離散數(shù)據(jù)，可以通過計(jì)算差分的方式來取代求偏導(dǎo)。例如對(duì)于單位間距的矩陣A，其內(nèi)部的數(shù)據(jù)可以采用中心差分的方式計(jì)算梯度。內(nèi)部梯度值G(:,j)為：

G(:,j)=0.5×(A(:,j+1)-A(:,j-1))，

(2)

式中，j∈(2～N-1)，對(duì)于矩陣邊緣的數(shù)據(jù)，可以采用單邊差分的方法計(jì)算梯度：

(3)

通過差分計(jì)算的方法可以得到離散的數(shù)字地磁矩陣關(guān)于x方向和y方向的梯度分量。其向量和為當(dāng)前位置的地磁梯度向量，該向量的方向即為地磁場(chǎng)強(qiáng)度增大的方向。該向量的角度可利用x梯度與y梯度按照四象限反正切的方法計(jì)算出來：

(4)

式中，Y和X表示地磁場(chǎng)y方向和x方向地磁場(chǎng)梯度值;θ表示該向量按照北偏東為正方向的角度。將地磁梯度向量以箭頭的形式，在地磁圖內(nèi)繪制出來，就稱為向量場(chǎng)地磁圖，或向量網(wǎng)格地磁圖。以高空30 000 m地磁圖的一個(gè)區(qū)域?yàn)槔?，其梯度向量?chǎng)地磁圖如圖2所示，向量場(chǎng)地磁圖中的網(wǎng)格數(shù)為100×100，橫縱坐標(biāo)分別表示網(wǎng)格的序號(hào)。因較為密集，圖中給出了部分區(qū)域的放大。

圖2 高空30 000 m區(qū)域的梯度向量場(chǎng)地磁圖Fig.2 Gradient vector magnetic field map at 30 000 m altitude

可以看出，向量場(chǎng)中的向量箭頭指向的是地磁場(chǎng)強(qiáng)度增大的反向，即由深藍(lán)色等值線變化到黃色等值線，與右側(cè)色標(biāo)相對(duì)應(yīng)。通過將式(1)中的四象限反正切公式改為：

(5)

由此畫出的地磁梯度網(wǎng)格如圖3所示。

圖3 高空30 000 m區(qū)域的平行等值線向量場(chǎng)地磁圖Fig.3 Parallel isoline vector magnetic field map at 30 000 m altitude

相比式(4)，式(5)求解出的θ結(jié)果相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，變?yōu)榕c地磁場(chǎng)強(qiáng)度梯度垂直、與地磁等值線平行的曲線；同樣，可以從圖3放大部分看出，由式(5)繪制出的向量場(chǎng)地磁圖中的箭頭與等值線方向平行。

隨著高空地磁場(chǎng)隨高度衰減，地磁等值線的變化趨勢(shì)也逐漸趨于平緩。換言之，地磁場(chǎng)等值線就是高空地磁圖中逐漸在大范圍內(nèi)趨于平行的直線。高空30 000 m的最大地磁信息熵區(qū)塊中地磁圖區(qū)塊的地磁圖等值線就符合這種特性，整個(gè)圖內(nèi)的等值線幾乎都沿著一個(gè)方向呈現(xiàn)平行分布的趨勢(shì)。因此，在該地磁區(qū)域內(nèi)，地磁匹配方法應(yīng)當(dāng)適應(yīng)這種特性。常用的MSD方法在航跡與等值線呈現(xiàn)過大角度，例如接近垂直于等值線時(shí)，平行于等值線方向的軌跡的慣導(dǎo)誤差較大，但這些誤差無法通過MSD方法匹配到真實(shí)位置附近，地磁匹配幾乎失效。而當(dāng)航跡平行于等值線方向時(shí)，慣導(dǎo)誤差就能通過MSD方法匹配到，匹配的精度就能大大提高。

3 地磁方向熵

向量場(chǎng)地磁圖表現(xiàn)了地磁數(shù)據(jù)中每個(gè)位置地磁場(chǎng)等值線的方向情況。實(shí)際上，為了衡量一個(gè)地磁圖區(qū)域內(nèi)整體性的地磁場(chǎng)等值線的復(fù)雜程度，可以構(gòu)建出地磁方向熵的概念，其公式為：

(6)

該式的物理意義為：通過式(4)和式(5)可以計(jì)算出向量場(chǎng)中每個(gè)地磁梯度或等值線平行矢量的方向(該方向以北為起點(diǎn)，北偏東順時(shí)針為正，范圍為-180°～180°)。將這些矢量的角度排序后成為矢量角度數(shù)據(jù)集，將-180°～180°的范圍劃分為K個(gè)等跨度區(qū)間。矢量角度數(shù)據(jù)集落在對(duì)應(yīng)K個(gè)等跨度區(qū)間內(nèi)，每個(gè)區(qū)間的數(shù)量為ni。按照式(6)計(jì)算得出的Hdir就是對(duì)應(yīng)地磁場(chǎng)區(qū)域的地磁方向熵。

從地磁方向熵的物理意義來看，地磁方向熵反映出地磁場(chǎng)內(nèi)等值線的變化復(fù)雜程度。地磁方向熵越小，地磁矢量角的分布越集中，這意味著該區(qū)域內(nèi)的地磁場(chǎng)等值線在大范圍內(nèi)呈現(xiàn)出平行直線的形狀，其角度方向統(tǒng)一。地磁方向熵越大，說明地磁場(chǎng)等值線在大范圍內(nèi)呈現(xiàn)出較為豐富的形狀變化，或大范圍內(nèi)地磁等值線形成閉環(huán)。對(duì)高空地磁圖來說，其本身伴隨著地磁等值線峰值的削弱，地磁等值線越平直，越適合降低地磁匹配算法的匹配誤差。

4 仿真與分析

仿真實(shí)驗(yàn)在圖2所示的地磁區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。通過地磁方向熵計(jì)算方法，將地磁區(qū)域內(nèi)的所有地磁矢量角劃分為36個(gè)等跨度區(qū)間，計(jì)算得到地磁方向熵值為0.126 6。這個(gè)值意味著地磁等值線中的地磁矢量角高度集中于跨度區(qū)間[40°，50°]，即和等值線近似平行的角度。根據(jù)預(yù)測(cè)，航向角屬于該區(qū)間內(nèi)的軌跡的匹配效果更好。為了證明這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果，設(shè)計(jì)3條航跡，分別為平行等值線、呈45°和垂直等值線來驗(yàn)證仿真結(jié)果。根據(jù)地磁方向上設(shè)定3條運(yùn)動(dòng)軌跡的飛入點(diǎn)都在(38.39°N,115.45°E)，飛行速度為3 400 m/s。地磁等值線的方向大約為北偏東45°，本文選擇的3條運(yùn)動(dòng)軌跡由飛入點(diǎn)進(jìn)入后的飛行方向與地磁等值線間的初始夾角分別選為：航跡① 0°(近平行狀態(tài))、航跡② 45°(中間狀態(tài))和航跡③ 90°(近垂直狀態(tài))；對(duì)應(yīng)的航向分別為：航跡① 北偏東50°、航跡② 北偏東90°和航跡③ 北偏東130°。3條運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

圖4 3條預(yù)設(shè)仿真軌跡Fig.4 Three preset simulation tracks

與3條運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)應(yīng)，設(shè)定的慣導(dǎo)系統(tǒng)初始誤差、慣性器件誤差和地磁誤差如表1所示。

表1 仿真誤差設(shè)置Tab.1 Simulation error setting

飛行器的仿真導(dǎo)航算法采用慣性/地磁匹配松組合，將MSD法計(jì)算得到的匹配位置輸入松組合卡爾曼濾波器，用以修正慣導(dǎo)軌跡。

飛行器分別按照以上3條運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中匹配定位結(jié)果分別如圖5、圖6和圖7所示。

(a) 原始大小

(b) 部分放大圖5 軌跡1的匹配效果圖Fig.5 Matching result of track 1

(a) 原始大小

(b) 部分放大

(a) 原始大小

(b) 部分放大

圖5、圖6和圖7的(a)圖為匹配區(qū)域內(nèi)的航跡的匹配定位圖，(b)圖為相應(yīng)3幅圖中黑色細(xì)實(shí)線框內(nèi)小段軌跡的放大示意圖。各幅圖中，紅色圓圈為軌跡真值位置，綠色實(shí)線為純慣導(dǎo)輸出位置，黑色星號(hào)點(diǎn)為地磁匹配定位結(jié)果，藍(lán)色細(xì)實(shí)線為地磁匹配算法校正慣性導(dǎo)航后輸出的軌跡。

圖5中，軌跡①匹配效果良好，定位結(jié)果基本和真值重疊，匹配誤差為530.19m(1σ)。軌跡②匹配結(jié)果接近真實(shí)位置，但其定位誤差較大，匹配誤差為2 051.11m(1σ)。軌跡③地磁匹配定位結(jié)果逐漸偏離真值，呈發(fā)散趨勢(shì)，仿真中匹配定位誤差達(dá)到4 162.34m(1σ)。

5 結(jié)束語

針對(duì)高空地磁圖等值線呈現(xiàn)趨勢(shì)性和全局隨機(jī)性下降的現(xiàn)象，本文結(jié)合地磁信息熵與地磁方向熵2種量化指標(biāo)，研究了高空地磁匹配區(qū)域飛行航跡選取方法。由仿真可見，在軌跡與等值線呈近平行狀態(tài)時(shí)，其匹配定位誤差較小，隨著運(yùn)動(dòng)軌跡與等值線夾角增加，匹配定位誤差加大，且在近垂直狀態(tài)時(shí)其匹配結(jié)果可信度很差。數(shù)據(jù)處理結(jié)果說明了應(yīng)用地磁方向熵選擇飛行軌跡方向?qū)μ岣叩卮牌ヅ涠ㄎ痪染哂兄匾饔煤托Ч?/p>