陳 龍

(福建省福安市第一中學 福建 福安 355000)

引言

數(shù)形結(jié)合思想在高中物理解題中有著較高的應用率與較為廣闊的應用面。教師在解題教學中，應加強對學生數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)，引導學生將幾何圖像與數(shù)理表達式結(jié)合在一起，對物理問題實施形象化、直觀化、簡化處理，將數(shù)理關系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，或?qū)D形解析為簡單的數(shù)理關系，把握物理問題的本質(zhì)，快速找到正確的解題思路，實現(xiàn)高效解題。期望本文能夠為廣大物理教學工作者帶來一定的參考作用。

1.高中物理與數(shù)形結(jié)合的關聯(lián)

高中物理教學中，處處可見數(shù)形結(jié)合思想的影子。如師生對一系列物理現(xiàn)象的分析，通常需建立在物理模型之上，而圖形與數(shù)字是表現(xiàn)物理模型的重要工具，這便體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在物理課堂中的滲透。如教學“動能定理”習題時，教師會引導學生以作圖、標點、標量的形式，表達狀態(tài)變化過程、狀態(tài)量與過程量，等等，尤其是在教學“動量守恒定律”時，教師會要求學生借助數(shù)形結(jié)合方式，表達矢量的大小及方向，這也體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化?？傊?，數(shù)形結(jié)合在高中物理課堂中的滲透既是廣泛的，又是深刻的，為培養(yǎng)學生的物理素養(yǎng)、強化學生的物理解題能力，在教學過程中，教師應重視為學生滲透數(shù)形結(jié)合思想，為學生傳授一些科學的數(shù)形轉(zhuǎn)化方法，以促進學生學習能力的持續(xù)發(fā)展[1]。

2.數(shù)形結(jié)合思維在高中物理解題中的價值

2.1 數(shù)形結(jié)合可幫助學生實現(xiàn)高效解題。實踐解題中，數(shù)形結(jié)合不失為一種行之有效的解題工具，學生可利用這一工具，完成高效解題。具體而言，相較于初中物理題目，高中物理題目的抽象性、嚴謹性與邏輯性陡增，很多學習基礎尚可的學生，在解答一些抽象性強的問題時，都會頻頻出錯。分析學生的解題現(xiàn)狀可知，難以理清題干、分析清楚物理量、數(shù)量之間的關系，是阻礙學生實現(xiàn)高效解題的重要因素。而培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思維，無疑能夠幫助學生更好地解決如上問題。例如，學生可利用數(shù)形結(jié)合思想，以數(shù)形轉(zhuǎn)換的方式，對一些抽象的物理量進行直觀化、形象化處理，以更好地梳理題干，快速找到解答問題的正確思路，這與高中生本身的認知特點也是相符合的。

2.2 數(shù)形結(jié)合可增強學生的學習興趣、學習信心。高中生的抽象思維尚在發(fā)育，形象、直觀的事物，對他們而言仍然有著較強的親近感，學習起來較為容易。因此在解題教學中，教師也可借助數(shù)形結(jié)合思想，激活學生的學習主動性，鼓勵學生自主尋找物理解題點，讓學生自覺感受到物理題目并非是晦澀難懂的，而是充滿趣味的，進而幫助學生樹立更為堅定的物理學習信心，這與課程改革倡導的“學生是課堂的主體，教師是課堂的組織者、參與者與引導者”的教育理念不謀而合[2]。久而久之，學生的物理思維也會得到長足的發(fā)展。

3.數(shù)形結(jié)合思維與高中物理解題教學的融合

教師可從如下四角度出發(fā)，理清數(shù)形結(jié)合思維與高中物理解題的關系，之后循序漸進地為學生滲透這種解題思想，潛移默化增強學生的解題能力：

3.1 把握數(shù)形結(jié)合與物理題的關聯(lián)。為實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與高中物理解題的深度融合，教師應當理清數(shù)形結(jié)合與高中物理解題之間的關系，即數(shù)形結(jié)合在物理題中的具體體現(xiàn)，以有的放矢地培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思維。這要求教師在平時吃透教材，加強習題歸納，形成系統(tǒng)性的解題教學思路，為解題教學的順利進行打下良好的鋪墊[3]。以高一物理為例，學生在解題過程中，對數(shù)形結(jié)合思維的運用集中于如下三種圖：

(1)速度時間圖像(v-t圖)。

解析：本題條件過少，采用公式進行解決難度過大，且耗費時間過長，因此在考場上不建議學生如此解題。但條件過少的物理題目，往往暗示著我們可以借助數(shù)形結(jié)合思想，以畫圖的方式解決。如圖1，可借用中間時刻速度與初末速度的關系，學生在畫圖時，通常會畫出勻變速直線運動的圖像，將線條畫至C點，但題目給出B點是位移中點，為保證前后位移一致，圖線只能移至A點，則可判斷a1及a2的大小關系是a1

圖1

(2)矢量圖。

【例2】小船在靜水中速度為u，水速為v，且v>u，若需以最短航線渡過寬度為L的河流，應如何行駛？求最短航線長。

解析：題目給出了v>u的條件，未給出小船的速度方向，學生在解題時，可使用數(shù)學中的圓工具和矢量合成的三角形法則，以v右端點為圓心，u的大小為半徑畫出半圓圖，航線最短時，小船合速度應盡可能靠攏垂直于岸的方向，如圖2所示，v合與u垂直時，小船航線最短，cosɑ=u/v，船身應以偏向上游ɑ=arccos(u/v)行駛，最短航線長度為smin=L/cosθ=L/cosɑ=vL/u。

(3)運動示意圖。

在實踐教學中不難發(fā)現(xiàn)，在解答物理習題特別是追逐類問題時，學生繪出運動示意圖后，往往能夠較為清晰地察覺物體間的位移關系，即線段長度的關系，解題難度迅速降低，結(jié)合運動圖像，可實現(xiàn)高效解題。

在實踐教學的解題過程中，常遇到的可以用數(shù)形結(jié)合思想進行解題的題目，或繪制的圖像的類型做出歸納，在課堂中，引導學生初步構建起以數(shù)形結(jié)合解決物理問題的系統(tǒng)化框架，之后再循序漸進地培養(yǎng)學生對以數(shù)轉(zhuǎn)形、以形轉(zhuǎn)數(shù)、數(shù)形互補三種具體解題方法的了解。

3.2 滲透“以數(shù)轉(zhuǎn)形”思想，簡化物理題目。學生在解答物理題目時，面對題目中給出的復雜的代數(shù)量，往往會產(chǎn)生迷茫的心態(tài)，找不到解題的正確切入點[4]。此時物理教師便可不失時機地引導學生轉(zhuǎn)變自己的思維，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，利用形象、直觀的圖形，梳理題目中的代數(shù)關系，簡化題目，以實現(xiàn)高效解題。這種“以數(shù)轉(zhuǎn)形”的解題方式，也是數(shù)形結(jié)合思想應用于高中物理解題的最為基礎的形式。

【例3】百米賽跑中，計時員聽到槍響后，開始記錄運動員的跑步成績。當計時員看到第一個運動員到達終點后，暫停秒表，得出該運動員的賽跑成績是12.2s。請問，這種計時方法合理嗎？若不合理，應如何計時才能夠保證計時結(jié)果的準確性？

解析：依據(jù)圖中信息，我們簡單地繪出圖形，用AB代表兩名運動員的百米賽跑跑道，A為起點，B為終點，持槍者與運動員一同站在A點位置，計時員站在B點位置，忽略運動員的反應時間，可將槍響與運動員起跑視作在同一時間點上發(fā)生的行為，但槍聲傳至B點，還需經(jīng)歷一段的時間，運動員已在這段時間內(nèi)跑了一定的距離，從這一角度上來看，題目所述的計時方法是不合理的。學生結(jié)合生活經(jīng)驗不難判斷出，合理的計時方法是看到槍響冒出的煙開始計時，即現(xiàn)實中百米跑比賽最常用的計時方法，這一方法主要借助了光的傳播原理，即光在空氣中的傳播速度比聲音快。

3.3 滲透“以形轉(zhuǎn)數(shù)”思想，歸納數(shù)據(jù)關系。實際解題中，有的物理題是帶有圖像的，包括運動狀態(tài)圖、實物圖等，但題目卻并未給出詳細的數(shù)據(jù)信息，此時，學生就應仔細觀察題目，歸納數(shù)據(jù)關系之后做出正確的計算，這便是“以形轉(zhuǎn)數(shù)”。

【例4】一個半徑R=0.8m的1/4光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，其下端切線是水平的，軌道下端離地h=1.25m?，F(xiàn)有質(zhì)量m=0.1kg的小物塊A由軌道頂點從靜止開始釋放，落至B點，忽略空氣阻力，其重力加速度g取10m/s2，求A落至軌道下端時的速度大小。

3.4 滲透“數(shù)形互補”思想，培養(yǎng)綜合思維。分析學生常做的高中物理習題可知，很多物理習題有著較強的綜合性，在應用數(shù)形結(jié)合思維進行解題時，學生需綜合考慮數(shù)、形之間的關系，以“數(shù)形互補”思想，找到正確的解題思路[5]。因此實踐教學中，教師也應加強對學生綜合思維的培養(yǎng)，讓學生能夠從更寬廣的視角出發(fā)，思考物理習題，結(jié)合題目給出的條件，理清圖形、數(shù)量之間的關系。

【例5】現(xiàn)有一長木板運動于水平面上，t=0時，放置一個靜止物體至木板上方，之后長木板運動時間與運動速度之間的關系如圖2所示。若靜止物體的質(zhì)量與長木板質(zhì)量相等，同時水平面、長木板、靜止物體之間皆有摩擦力，靜止物體與長木板的最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，整個運動期間，該物體都保持在長木板上，求長木板與物體及長木板與水平面的動摩擦因數(shù)。

圖2

解析：解答此題時，學生需先分析小物塊與長木板的受力，進而判斷其運動情況。0s至0.5s階段，長木板與物體間、長木板與地面間皆有摩擦力，小物塊做勻加速運動，長木板做勻減速運動，直至0.5s，二者速度相等。該階段可用加速度定義式算出小物塊加速度大小，再結(jié)合牛頓第二定律，求出小物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)，計算圖中0s至0.5s圖像斜率可得出長木板加速度，再以牛頓第二定律計算長木板與水平面之間的動摩擦因數(shù)。在進行對這道題的解題教學時，教師應重視引導學生繪制受力分析圖，判斷物體運動情況，找到正確的解題思路，之后利用方程求出答案。

4.如何培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思維

4.1 概念教學入手，滲透數(shù)形思維。以對“力學”相關知識內(nèi)容的教學為例。在講解新內(nèi)容時，教師可為學生舉“足球”這一實例：球員在罰點球時，足球由靜止狀態(tài)轉(zhuǎn)為運動狀態(tài)，守門員接住球時，足球又從運動狀態(tài)轉(zhuǎn)回靜止狀態(tài)。教師可引導學生以畫圖方式，分析這一例子，探究物體狀態(tài)為何而改變。當學生察覺到，是力的作用引發(fā)了物體運動狀態(tài)的改變時，教師就可為學生引入力的示意圖，以帶箭頭的有向線段表示力，讓力的概念變得直觀而具體，并以線段長度表示力的大小。顯然，相較于常規(guī)教學方式，上述畫圖教學方式，更有利于幫助學生全面理解物理概念、形成初步的數(shù)形結(jié)合思維。再如，在教學電場、磁場時，教師也可在黑板上繪出電場線、磁場線，以表達物理概念，讓學生形成在學習物理知識、解答物理問題時畫圖的習慣。

4.2 鼓勵自主探究，培養(yǎng)數(shù)形思維。在教學過程中，對于一些難度不高的知識內(nèi)容，教師可將課堂自主權交由學生，引導學生以數(shù)形結(jié)合思維進行探究，以深化學生對這一思想方法的了解，長此以往，學生必然能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想熟練地應用到物理解題中，物理素養(yǎng)也能夠獲得長足的發(fā)展。

以對“力的合成”相關知識內(nèi)容的教學為例。教師可為學生引出如下情境：現(xiàn)有一根橡皮筋，原長5cm，重力忽略不計，上端固定。利用彈簧測力計拉伸橡皮筋至15cm，之后再測一次，用兩個彈簧測力計，將橡皮筋拉伸至同一位置，兩個彈簧測力計成一定角度。教師可引導學生結(jié)合這一案例，繪制示意圖，分析得出F單獨作用與F1、F2共同作用的效果是相同的。在此基礎上，教師就可為學生直觀地引出合力、分力、等效替代等概念了。

4.3 結(jié)合生活情境，培養(yǎng)應用能力。物理知識來源于實際生活、回歸于實際生活、服務于實際生活，進行物理教學的主要目的是培養(yǎng)學生以物理知識，解決生活中的實際問題的能力。因此，當學生對數(shù)形結(jié)合思想有了充足的了解后，教師應鼓勵學生以數(shù)形結(jié)合思想，構建生活化的問題情境；反之，在形成一定的物理素養(yǎng)后，學生在實際生活中，也可借助數(shù)形結(jié)合思想，將真實的場景轉(zhuǎn)化為物理問題，之后深入分析物理問題，找到正確的解題思路。這便是所謂的“物理抽象”，是學生將生活經(jīng)驗與學習經(jīng)驗結(jié)合在一起的過程。

結(jié)語

綜上所述，在現(xiàn)階段的高中物理解題教學中，數(shù)形結(jié)合思想有著較高的應用率與較為廣闊的應用面。在日常教學中，教師應堅持為學生滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導學生利用這一思想，更好地判斷物理題隱藏的數(shù)理條件，高效地找到正確的解題思路。同時，教師在平時也應引導學生做好對物理習題的歸納總結(jié)，分析解題規(guī)律，形成數(shù)形結(jié)合思維，以更為得心應手地解決物理問題。長此以往，學生的物理學科核心素養(yǎng)必將得到突飛猛進的成長。