任美睿 郭龍江

（陜西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119）

2017 年教育部發(fā)布《高校思想政治工作質(zhì)量提升工程實(shí)施綱要》，提出充分發(fā)揮課程、科研、實(shí)踐、文化等方面工作的育人功能，挖掘育人要素，完善育人機(jī)制［1］。同年，教育部積極推進(jìn)“新工科建設(shè)”，對(duì)復(fù)合型工程人才的培養(yǎng)提出更高要求，以培養(yǎng)德學(xué)兼修、德才兼?zhèn)涞母咚刭|(zhì)工程人才為目標(biāo)，強(qiáng)化工科學(xué)生的家國(guó)情懷、國(guó)際視野、法治意識(shí)、生態(tài)意識(shí)和工程倫理意識(shí)等，著力培養(yǎng)“精益求精、追求卓越”的工匠精神，提升學(xué)生的工程科技創(chuàng)新、創(chuàng)造能力［2－4］?！熬€性代數(shù)”課程是高等學(xué)校理工科各專業(yè)的重要學(xué)科基礎(chǔ)課程，它在工程技術(shù)、科學(xué)研究等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，也是培養(yǎng)科技創(chuàng)新能力的載體。但是，由于當(dāng)前線性代數(shù)課程的教學(xué)中普遍強(qiáng)調(diào)理論和解題方法的講授，往往忽略了抽象概念的起源、本質(zhì)、實(shí)際意義以及行列式、矩陣等工具在實(shí)際專業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，同時(shí)也忽略了課程的育人功效。這樣的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)完后知道了許多新的概念，也掌握了解題方法和技巧，但仍然不知道這些知識(shí)到底有什么用？即“只知其然，未必知其所以然也”。因此，在“新工科”背景下，應(yīng)該積極探索線性代數(shù)課程的創(chuàng)新教學(xué)模式，加強(qiáng)工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)與專業(yè)需求的結(jié)合，同時(shí)實(shí)現(xiàn)思政育人功效，促進(jìn)科學(xué)教育、人文教育、工程教育的有機(jī)融合，培養(yǎng)科學(xué)基礎(chǔ)厚、工程能力強(qiáng)、綜合素質(zhì)高的人才，掌握我國(guó)未來(lái)技術(shù)和產(chǎn)業(yè)發(fā)展主動(dòng)權(quán)［2］10。

本文以計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)（師范）專業(yè)為例，依據(jù)線性代數(shù)課程在專業(yè)培養(yǎng)體系中的定位與學(xué)生的畢業(yè)要求，以學(xué)生為中心，構(gòu)建了思政＋專業(yè)育人融合的線性代數(shù)教學(xué)模式。

一、線性代數(shù)課程教學(xué)現(xiàn)狀剖析

線性代數(shù)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、人工智能等相關(guān)專業(yè)重要的學(xué)科基礎(chǔ)課程，是計(jì)算機(jī)技術(shù)所需的解決實(shí)際問(wèn)題線性化的有力工具，是數(shù)值計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)、密碼學(xué)等技術(shù)的理論基礎(chǔ)，更是人工智能、數(shù)據(jù)科學(xué)等新興領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)工具。事實(shí)上，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的所有參數(shù)都被存儲(chǔ)在矩陣中，訓(xùn)練模型的過(guò)程涉及大量的矩陣運(yùn)算。因此線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)中的作用是不言而喻的。

線性代數(shù)是面向計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)大學(xué)一年級(jí)新生開(kāi)設(shè)的課程。在高中學(xué)習(xí)階段，學(xué)生們?cè)诟呖贾笓]棒的指引和家長(zhǎng)的監(jiān)督下，將大部分時(shí)間和精力都花在重復(fù)性地“刷題”上，導(dǎo)致學(xué)生缺乏獨(dú)立思考能力和創(chuàng)新意識(shí)。上了大學(xué)以后，脫離了家長(zhǎng)的監(jiān)督，升學(xué)壓力小了，表現(xiàn)出學(xué)習(xí)動(dòng)力不足，主動(dòng)性明顯下降。所以，針對(duì)低年級(jí)學(xué)生，在線性代數(shù)課程中開(kāi)展課程思政教育，讓學(xué)生樹(shù)立正確的理想信念、價(jià)值觀和責(zé)任意識(shí)顯得尤為重要［5］。另外，目前國(guó)內(nèi)的線性代數(shù)教學(xué)普遍存在著教學(xué)內(nèi)容偏重于數(shù)學(xué)的定義、定理、運(yùn)算規(guī)則等理論介紹，課程的建設(shè)缺少對(duì)專業(yè)內(nèi)容的思考和理解，結(jié)合專業(yè)領(lǐng)域的內(nèi)容欠缺，導(dǎo)致與專業(yè)需求脫節(jié)［6－7］。然而，當(dāng)教學(xué)脫離其知識(shí)的歷史形成過(guò)程、文化背景和應(yīng)用場(chǎng)景，學(xué)生不了解學(xué)習(xí)內(nèi)容與專業(yè)之間的聯(lián)系，勢(shì)必會(huì)影響其學(xué)習(xí)態(tài)度，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情［8－9］，與其他專業(yè)課孤立的“線性代數(shù)”的學(xué)習(xí)就如同在黎明前的黑暗中摸索的人，看不到即將到來(lái)的曙光［10］。因此，正如《禮記·文王世子》中所言：“師也者，教之以事而喻諸德者也”。在線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中不僅要授學(xué)生“謀事之才”，也要傳“立世之德”。

二、線性代數(shù)課程教學(xué)模式設(shè)計(jì)

要解決線性代數(shù)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，在課程建設(shè)和教學(xué)模式設(shè)計(jì)中，既要考慮課程對(duì)學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的作用，又要考慮德育功效，做到“育才”與“育德”的有機(jī)統(tǒng)一。一致性建構(gòu)原則是課程理論中課程設(shè)計(jì)的一條重要指導(dǎo)性原則，該原則是指教師在進(jìn)行課程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)首先確立課程預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)，再依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)確定相應(yīng)的學(xué)習(xí)成效評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，并設(shè)計(jì)能夠促進(jìn)學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)的教學(xué)活動(dòng)［11］。

（一）線性代數(shù)課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系

線性代數(shù)課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)要首先考慮其對(duì)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)和畢業(yè)要求的支撐，再依據(jù)課程目標(biāo)設(shè)計(jì)其教學(xué)活動(dòng)和效果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，然后基于效果評(píng)價(jià)反饋進(jìn)行課程目標(biāo)和課程活動(dòng)的改進(jìn)，從而形成完整的教學(xué)閉環(huán)。本文基于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)（師范）專業(yè)的畢業(yè)要求，設(shè)計(jì)了線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)對(duì)畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的支撐關(guān)系，本專業(yè)畢業(yè)要求共8 個(gè)指標(biāo)，每個(gè)指標(biāo)又被分解為3個(gè)指標(biāo)點(diǎn)，線性代數(shù)課程主要對(duì)指標(biāo)點(diǎn)1－3、3－1、3－2 和7－2 具有支撐作用（如表1 所示）。

表1 線性代數(shù)課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系

（續(xù)表1）

（二）“線性代數(shù)”教學(xué)架構(gòu)與教學(xué)模式設(shè)計(jì)

本課程基于課程目標(biāo)設(shè)計(jì)了線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容與思政元素、專業(yè)應(yīng)用拓展相融合的三維立體教學(xué)架構(gòu)，圖1 給出了基于課內(nèi)12 個(gè)主要知識(shí)點(diǎn)以及課外活動(dòng)與思政內(nèi)容和專業(yè)拓展內(nèi)容間的關(guān)系。

在教學(xué)實(shí)施中，采用“1 ＋2 ＋3 ＋4”的教學(xué)模式，即1 個(gè)中心：以學(xué)生為中心。2 個(gè)融合：線性代數(shù)知識(shí)與專業(yè)育人融合、與思政育人融合。3個(gè)平臺(tái)：雨課堂、QQ 討論群、微信公眾號(hào)。4 個(gè)策略：以唯物辯證法為方法論，指導(dǎo)教學(xué)；以現(xiàn)代信息技術(shù)和教學(xué)法為支撐，設(shè)計(jì)教學(xué)；以兩個(gè)“融合”為特色，實(shí)施教學(xué)；以協(xié)作學(xué)習(xí)活動(dòng)為依托，延伸教學(xué)。具體策略介紹如下：

1. 基于唯物辯證法，厘清課程主線、構(gòu)建知識(shí)體系——培養(yǎng)學(xué)生思辨能力和科學(xué)精神

線性代數(shù)知識(shí)蘊(yùn)含了大量的辯證關(guān)系，如具體與抽象、變與不變、特殊與普遍、現(xiàn)象與本質(zhì)、部分與整體、聯(lián)系與發(fā)展、理論與實(shí)踐等等，深刻剖析線性代數(shù)中蘊(yùn)含的辯證思想，不僅可以加深對(duì)線性代數(shù)概念與理論的理解，而且有助于發(fā)展和提高學(xué)生的思辨能力，對(duì)提高學(xué)生的實(shí)際工作能力會(huì)起到重要作用。教學(xué)過(guò)程中，基于具體與抽象、特殊與普遍、現(xiàn)象與本質(zhì)的關(guān)系，采用由簡(jiǎn)而繁，由淺入深，利用幾何的直觀理解抽象的代數(shù)的教學(xué)手段，例如對(duì)行列式、矩陣（2、3 階→n 階）、線性方程組解存在性判別（2 元→n 元）、特征值與特向量、對(duì)角化問(wèn)題（2 階方陣→n 階方陣）等，都是從簡(jiǎn)到繁，借助幾何圖形的直觀發(fā)揮學(xué)生的想象空間，使研究?jī)?nèi)容向更高維空間進(jìn)行拓展?；谧兣c不變的關(guān)系，首先分析矩陣的初等變換對(duì)矩陣的變化與如何利用初等變換求行最簡(jiǎn)形、求矩陣的秩、解矩陣方程、求矩陣的逆，再進(jìn)一步研究矩陣初等變換中的不變因素——秩，正是因?yàn)檫@種“不變”，才使得初等變換帶來(lái)的“變”有更為廣泛的應(yīng)用。利用聯(lián)系的觀點(diǎn)，以線性方程組求解為主線，順次引入行列式、矩陣和向量3 個(gè)重要工具，基于這3 個(gè)工具進(jìn)一步討論線性方程組解的存在性、解的結(jié)構(gòu)及求解方法。之后的相似矩陣與矩陣對(duì)角化以及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，可以看做行列式、矩陣、線性方程組的應(yīng)用。讓學(xué)生通過(guò)歸納、對(duì)比和思考將知識(shí)之間的聯(lián)系繪制成思維導(dǎo)圖，形成對(duì)知識(shí)的識(shí)記與理解?；诶碚撆c實(shí)踐的關(guān)系，在教學(xué)過(guò)程中結(jié)合教材的知識(shí)點(diǎn)拓展相關(guān)的專業(yè)知識(shí)與應(yīng)用案例，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生利用Python 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)中經(jīng)典算法的能力。理論到實(shí)踐過(guò)程，也是將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到專業(yè)領(lǐng)域的過(guò)程，在此過(guò)程中，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的認(rèn)識(shí)會(huì)更深刻，也會(huì)激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步改善學(xué)習(xí)態(tài)度。

圖1 “線性代數(shù)”課程思政與專業(yè)融合教學(xué)架構(gòu)

2. 基于“雨課堂”＋BOPPPS 有效教學(xué)法——實(shí)現(xiàn)全員參與式互動(dòng)教學(xué)

在教學(xué)過(guò)程中，使用“雨課堂”和QQ 平臺(tái)實(shí)現(xiàn)課前、課中、課后三大教學(xué)環(huán)節(jié)（如圖2），記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和學(xué)習(xí)效果，并運(yùn)用BOPPPS 有效教學(xué)法組織教學(xué)。BOPPPS 教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)目標(biāo)導(dǎo)向和參與式學(xué)習(xí)，注重教學(xué)的有效性［12］，在教學(xué)中巧妙設(shè)計(jì)課程導(dǎo)言（Bridge－in），并使其盡可能與思政點(diǎn)相融合，教學(xué)目標(biāo)（Objective）分為知識(shí)、能力和思政目標(biāo)，利用前測(cè)（Pre－assessment）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory learning）和后測(cè)（Postassessment）考查學(xué)生的認(rèn)知、應(yīng)用能力、情感態(tài)度和價(jià)值觀，總結(jié)（Summary）部分加入對(duì)學(xué)生表現(xiàn)的評(píng)價(jià)，以褒獎(jiǎng)為主，也可以請(qǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)作概括和反思。在前測(cè)、參與式學(xué)習(xí)和后測(cè)部分可將課堂測(cè)試或討論以問(wèn)題形式推送給學(xué)生，學(xué)生可以全員參與問(wèn)題的回答，并記錄成績(jī)。對(duì)一些主觀問(wèn)題，學(xué)生以圖片方式上傳解題過(guò)程，教師展示學(xué)生的作答情況，并對(duì)優(yōu)秀學(xué)生給予加分記錄到“雨課堂”中。在課堂討論環(huán)節(jié)，學(xué)生的情感態(tài)度會(huì)反映在學(xué)習(xí)行為和效果中，對(duì)沒(méi)有參與回答問(wèn)題或不認(rèn)真作答的學(xué)生，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)記為0 分。通過(guò)BOPPPS 有效教學(xué)法的合理設(shè)計(jì)，利用“雨課堂”提供的實(shí)時(shí)答題互動(dòng)功能，實(shí)現(xiàn)了全員參與式互動(dòng)教學(xué)。

圖2 教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

3. 與專業(yè)貫通，與思政育人融合——實(shí)現(xiàn)育“德”與育“才”協(xié)同功效

通過(guò)講授過(guò)程中巧妙設(shè)計(jì)，合理融入思政元素及專業(yè)應(yīng)用案例，在幫助學(xué)生塑造正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀的同時(shí)，也使學(xué)生了解了線性代數(shù)在專業(yè)領(lǐng)域的作用，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高了學(xué)習(xí)興趣。具體地說(shuō)，通過(guò)對(duì)行列式、矩陣、線性方程組、特征值產(chǎn)生與發(fā)展歷史的介紹，使學(xué)生形成科學(xué)的歷史觀，通過(guò)介紹中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)乃至科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)增加學(xué)生的民族自豪感、愛(ài)國(guó)情懷。通過(guò)對(duì)線性代數(shù)做出突出貢獻(xiàn)的科學(xué)家的成就和生平的介紹，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家對(duì)待科學(xué)研究孜孜以求，勇克難關(guān)的科學(xué)精神，引導(dǎo)學(xué)生恪守規(guī)范的同時(shí)要有勇于創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)要學(xué)會(huì)感恩培養(yǎng)過(guò)自己的師長(zhǎng)、國(guó)家，要做到“吃水不忘挖井人”。通過(guò)運(yùn)用馬克思主義普遍聯(lián)系原理和辯證唯物主義認(rèn)知論，讓學(xué)生把聯(lián)系的觀點(diǎn)運(yùn)用到學(xué)習(xí)當(dāng)中，幫助其對(duì)科學(xué)知識(shí)的理解，并在聯(lián)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納、演繹、對(duì)比和思考等科學(xué)研究方法，形成對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用。在課程內(nèi)容中融入專業(yè)拓展知識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、科學(xué)精神和職業(yè)認(rèn)同感。

4. 開(kāi)展“以學(xué)生為中心”的課上和課下教學(xué)活動(dòng)——培養(yǎng)協(xié)作、探究的學(xué)習(xí)能力

以“學(xué)生”為中心，開(kāi)展課上翻轉(zhuǎn)課堂、課下思維導(dǎo)圖繪制、小論文撰寫(xiě)、“線性之家”公眾號(hào)推文等活動(dòng)?；谫M(fèi)曼學(xué)習(xí)法，每學(xué)期挑出1 ～2節(jié)課作為翻轉(zhuǎn)課堂，在翻轉(zhuǎn)課堂前，將授課任務(wù)布置給學(xué)生，讓學(xué)生以小組形式，進(jìn)行PPT 制作和教學(xué)設(shè)計(jì)，上課時(shí)隨機(jī)選出一組進(jìn)行課程內(nèi)容講解，其他組提交錄制的微課。利用這種方法，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“是什么”到“為什么”再到“怎么做”的認(rèn)知層次的提升［13］。另外，以小組為單位進(jìn)行思維導(dǎo)圖的整理，通過(guò)梳理知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)觀和思維能力。以小組協(xié)作方式撰寫(xiě)小論文，論文選題主要圍繞線性代數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，包括特征值與特征向量的幾何意義及應(yīng)用，矩陣的對(duì)角化及應(yīng)用，矩陣分解及應(yīng)用，最小二乘法及其應(yīng)用，線性代數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用等，通過(guò)查找資料、分析、討論并撰寫(xiě)論文的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作能力、溝通表達(dá)能力、論文寫(xiě)作能力及創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)“線代之家”公眾號(hào)的搭建，將思政及課程知識(shí)的拓展融入每個(gè)推文內(nèi)容中，每個(gè)小組負(fù)責(zé)一篇推文，在整理撰寫(xiě)推文的過(guò)程中，學(xué)生能夠更深入地了解中華民族輝煌的數(shù)學(xué)成就，線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用等內(nèi)容。這些課外活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)交往中產(chǎn)生情感共鳴，培養(yǎng)了責(zé)任意識(shí)和協(xié)作、探究的學(xué)習(xí)能力。

三、“線性代數(shù)”課程思政與專業(yè)育人案例

如何選擇合適的思政元素和專業(yè)拓展知識(shí)，使之能夠與教材知識(shí)有機(jī)地融合是教學(xué)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。專業(yè)拓展知識(shí)的融入既要考慮學(xué)生現(xiàn)階段的知識(shí)儲(chǔ)備是否能夠理解和接受，還要考慮到這種拓展能否有效地完成教材知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)化吸收和升華。同時(shí)，還應(yīng)充分挖掘育“德”功能，引入科學(xué)精神、理想信念、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、守正創(chuàng)新等思政元素。

矩陣作為線性代數(shù)中的核心內(nèi)容和重要工具，貫穿了整個(gè)教學(xué)過(guò)程。下面筆者圍繞矩陣及運(yùn)算這部分教學(xué)內(nèi)容介紹課程思政與專業(yè)育人案例。

（一）矩陣及運(yùn)算中的思政育人元素

在講授矩陣的定義及運(yùn)算時(shí)，首先介紹矩陣的發(fā)展歷史與重要作用，強(qiáng)調(diào)矩陣在各個(gè)領(lǐng)域的重要性。并針對(duì)2020 年6 月美國(guó)對(duì)哈爾濱工業(yè)大學(xué)和哈爾濱工程大學(xué)禁用Matlab 軟件的事件，讓學(xué)生對(duì)以下問(wèn)題展開(kāi)討論：為什么美國(guó)“瘋狂”打壓我國(guó)？ 面對(duì)這樣的打壓，作為大學(xué)生應(yīng)該做些什么？ 以此啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)，扛起社會(huì)責(zé)任，為開(kāi)發(fā)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的優(yōu)秀產(chǎn)品作出自己的貢獻(xiàn)。

基于矩陣分塊思想，介紹拓展知識(shí)——矩陣乘法的并行計(jì)算，并進(jìn)一步介紹我國(guó)科學(xué)家在量子并行計(jì)算領(lǐng)域的成就：2020 年12 月國(guó)際期刊Science發(fā)表了我國(guó)科學(xué)家量子計(jì)算研究重要進(jìn)展。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉等科研人員構(gòu)建的76 個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”，問(wèn)鼎全球最快計(jì)算機(jī)。“九章”使并行計(jì)算速度指數(shù)級(jí)增加，其處理特定問(wèn)題的速度比目前最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)快一百萬(wàn)億倍，這一突破使我國(guó)成為全球第二個(gè)實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國(guó)家。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)要精益求精，不斷探索，要有創(chuàng)新意識(shí)和永攀高峰的鉆研精神，同時(shí)樹(shù)立愛(ài)國(guó)情懷和民族自豪感。

在講完分塊矩陣后，引導(dǎo)學(xué)生從列向量的視角重新解讀線性方程組，線性方程組反映了常數(shù)向量與構(gòu)成系數(shù)矩陣的列向量之間是否存在線性關(guān)系，并進(jìn)一步反映了常數(shù)向量是否處于列向量所張成的空間中。引導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)，要多方面觀察，尋找更多的可能性。

在講授矩陣初等變換時(shí)，通過(guò)類比學(xué)生在大學(xué)四年生活中的每一次變化，例如，學(xué)到了新的技能、掌握了新的知識(shí)，都像是做了一次初等變換，每一次變化不是顯著的，但就是這一次次“初等變換”，使同學(xué)們變得更有學(xué)識(shí)和能力。但正如矩陣的初等變換不會(huì)改變秩一樣，同學(xué)們?cè)诓粩嘧非筮M(jìn)步，不斷順應(yīng)時(shí)代與科技的發(fā)展變化而改變自己的同時(shí)，不變的應(yīng)該是為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興而奮斗的理想信念、為國(guó)家信息技術(shù)領(lǐng)域貢獻(xiàn)力量的初心使命。習(xí)近平總書(shū)記指出：“心有所信，方能行遠(yuǎn)。面向未來(lái)，走好新時(shí)代的長(zhǎng)征路，我們更需要堅(jiān)定理想信念、矢志拼搏奮斗”。

在講授線性方程組的解法時(shí)，通過(guò)介紹高斯消元法是西方人對(duì)線性方程組進(jìn)行初等行變換的“尊稱”，但事實(shí)上，這種方法最早出現(xiàn)在我國(guó)東漢時(shí)期的《九章算術(shù)》一書(shū)，后來(lái)經(jīng)日本傳入歐洲。在高斯出生的德國(guó)，很多線性代數(shù)教科書(shū)中把這一方法稱為“Traditional method of China”。通過(guò)介紹中國(guó)古代對(duì)線性方程組的研究所做的巨大貢獻(xiàn)，使學(xué)生增加文化自信和民族自豪感。

在講到相似矩陣時(shí)，利用基底變換推導(dǎo)相似矩陣間的關(guān)系式，通過(guò)分析對(duì)角矩陣有哪些特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)），引導(dǎo)學(xué)生尋找相似矩陣中的“最佳矩陣”——對(duì)角陣，一個(gè)矩陣如果與對(duì)角陣相似，那么這樣的矩陣也會(huì)具有對(duì)角陣的一些優(yōu)點(diǎn)，其特征值就是對(duì)角陣中的對(duì)角元。引導(dǎo)學(xué)生“見(jiàn)賢思齊，擇善而從”，要有遠(yuǎn)大的理想抱負(fù)，在學(xué)習(xí)和工作中追求卓越。

（二）矩陣及運(yùn)算中的專業(yè)應(yīng)用案例

現(xiàn)實(shí)生活中許多事物及關(guān)系都可以用矩陣來(lái)抽象表示，因此矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。在教學(xué)中，考慮到授課對(duì)象是大一新生，多數(shù)同學(xué)對(duì)專業(yè)不了解，所以專業(yè)拓展內(nèi)容不宜過(guò)于復(fù)雜，既要有利于線性代數(shù)知識(shí)的內(nèi)化吸收，也要能激發(fā)學(xué)生對(duì)專業(yè)學(xué)習(xí)的興趣和認(rèn)同感。據(jù)此，筆者在矩陣部分專業(yè)拓展內(nèi)容引入時(shí)，主要設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)應(yīng)用案例：

1. 矩陣的基本運(yùn)算在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用

矩陣的基本運(yùn)算是基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容，雖然運(yùn)算規(guī)則比較容易掌握，但由于矩陣本身的抽象性，學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：為什么要這樣算，這樣的運(yùn)算到底有什么用？ 引入矩陣的基本運(yùn)算在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用的案例，一方面是因?yàn)榭梢院茏匀坏剡M(jìn)行專業(yè)內(nèi)容的拓展介紹，使學(xué)生了解到線性代數(shù)的知識(shí)對(duì)專業(yè)學(xué)習(xí)是非常有用的，從而增加學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；另一方面是由于人們對(duì)圖像的記憶相對(duì)于對(duì)數(shù)字的記憶更加快速，通過(guò)將數(shù)字與圖像進(jìn)行關(guān)聯(lián)能夠強(qiáng)化對(duì)矩陣運(yùn)算內(nèi)容的理解、記憶和運(yùn)用。

數(shù)字圖像由二維的元素組成，每一個(gè)元素具有一個(gè)特定的位置（x，y） 和幅值f（x，y），其中f（x，y） 稱為像素，因此在計(jì)算機(jī)中數(shù)組圖像可以以矩陣形式存儲(chǔ)。單色（灰度）圖像中每個(gè)像素的值表示其亮度，取值范圍為0 ～255，0 表示黑、255 表示白，其他值表示處于黑白之間的灰度階［14］。利用Python 程序?qū)ena.jpg 轉(zhuǎn)換為灰度圖像，并獲得其對(duì)應(yīng)的矩陣形式（512×512 階），通過(guò)執(zhí)行矩陣加法讓每個(gè)元素都加上相同的正數(shù)60（如果結(jié)果大于255，則取值255），實(shí)現(xiàn)圖像的亮度提升，通過(guò)加上相同的負(fù)數(shù)－60（如果結(jié)果為負(fù)，則取值為0），實(shí)現(xiàn)圖像亮度的降低（如圖3）。通過(guò)將lena 圖像與另外一幅風(fēng)景圖像對(duì)應(yīng)的矩陣做線性組合運(yùn)算實(shí)現(xiàn)圖像的疊加（如圖4）。為了讓學(xué)生直觀看到圖像的矩陣表示，從lena 圖像對(duì)應(yīng)的（512×512）的矩陣中截取了5×5 的區(qū)域data［200 ∶205，200 ∶205］，并將局部區(qū)域矩陣運(yùn)算結(jié)果放到對(duì)應(yīng)的圖像下方，使學(xué)生能夠建立矩陣與圖像，以及矩陣的運(yùn)算與圖像的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖3 矩陣加法運(yùn)算——實(shí)現(xiàn)圖像明暗度變化

圖4 矩陣線性運(yùn)算——實(shí)現(xiàn)圖像疊加

2. 矩陣初等變換的程序?qū)崿F(xiàn)與在加密解密中的應(yīng)用

矩陣的初等變換，特別是初等行變換在解線性方程組、矩陣求秩、矩陣求逆、求特征值、證明兩矩陣等價(jià)中具有非常廣泛的應(yīng)用?；趯I(yè)特色，筆者采用由課內(nèi)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，由易到難、由理論到實(shí)踐、由課內(nèi)到課外的層層遞進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)流程（如圖5 所示），在理解了初等變換ri?rj（ 第i行與第j行交換） 、ri× k（ 第i行乘以非零數(shù)k）、rj＋ri×k（ 第j行加上第i行的k倍）概念基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用自己熟悉的編程語(yǔ)言編寫(xiě)3 個(gè)初等行變換對(duì)應(yīng)的函數(shù)ExchangeTwoRow（i，j）、ScalarMultiplyRow（k，i）和ScalarMulRowAdd（k，i，j）。由于初等行變換函數(shù)功能簡(jiǎn)單，所以3 個(gè)函數(shù)的編寫(xiě)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難；接下來(lái)，可以布置讓學(xué)生進(jìn)一步調(diào)用上面的3 個(gè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)求行最簡(jiǎn)形，構(gòu)造可逆矩陣的程序；最后向?qū)W生介紹利用初等變換構(gòu)造可逆矩陣的方法可有效地用到加密技術(shù)中：已知B是明文矩陣，加密時(shí)，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)加密的密鑰矩陣A（可逆），采用矩陣乘法C ＝AB可獲得密文矩陣C；解密時(shí)采用矩陣乘法A－1C ＝B，由密鑰矩陣A的逆矩陣和密文矩陣求得明文矩陣。如何有效地構(gòu)造可逆矩陣是實(shí)現(xiàn)加密、解密的關(guān)鍵，而初等變換恰恰可以有效地實(shí)現(xiàn)這一功能。由于課上時(shí)間有限，所以將這部分內(nèi)容作為課下拓展活動(dòng)：兩個(gè)學(xué)生為一組完成信息加密和解密任務(wù)，并將任務(wù)完成情況傳到雨課堂。通過(guò)這樣由“聽(tīng)”到“做”、由“學(xué)”到“用”的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)初等變換及相關(guān)定理能夠更深入地理解并熟練地運(yùn)用，同時(shí)對(duì)其在專業(yè)中的具體應(yīng)用也有了了解。

圖5 矩陣初等變換教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

3. 通過(guò)圖像的變化領(lǐng)會(huì)矩陣秩的性質(zhì)

矩陣的秩是相對(duì)抽象且難記憶的知識(shí)點(diǎn)，特別是秩的相關(guān)性質(zhì)，這是因?yàn)槌橄蟮男畔⑴c感官?zèng)]有直接的聯(lián)系，所以難以記憶和理解。因此，可利用該知識(shí)點(diǎn)在專業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，考慮建立數(shù)字與圖像之間的關(guān)聯(lián)，從而達(dá)到拓展專業(yè)知識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)記憶的目的。譬如針對(duì)矩陣秩的下面兩個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)1：給定矩陣A和可逆矩陣P、Q， 則R（PA）＝R（AQ）＝R（PAQ）＝R（A），即一個(gè)矩陣與滿秩矩陣相乘保持秩不變。

性質(zhì)2：給定矩陣A，B（假設(shè)A與B可乘），則R（AB） ≤min｛R（A），R（B）｝ 。

在教學(xué)中，可基于Python 語(yǔ)言，首先將le?na.jpg 的灰度圖像轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的矩陣A，然后利用Q＝np.eye（512）?2 語(yǔ)句構(gòu)建一個(gè)對(duì)角元素值均為2 的512 階純量矩陣，再用B＝（np.ones（262144）?0.002）.reshape（512，512）構(gòu)建一個(gè)元素值均為0.002 的512 階方陣，然后用A分別乘以Q和B，并將結(jié)果矩陣AQ和AB轉(zhuǎn)換為圖像顯示出來(lái)，圖6 給出AQ對(duì)應(yīng)圖像及其局部矩陣運(yùn)算的結(jié)果，由于Q是滿秩（可逆） 的純量矩陣，AQ中的每個(gè)元素?cái)?shù)字都增大了2 倍，使得對(duì)應(yīng)圖像中人物不變，但起到提亮圖像的作用，且結(jié)果矩陣AQ的秩沒(méi)有變化。圖7 給出了AB對(duì)應(yīng)圖像及其局部矩陣運(yùn)算的結(jié)果，由于B是一個(gè)降秩矩陣（秩為1），所以AB的秩變?yōu)?，原來(lái)矩陣A中信息丟失，結(jié)果圖像變成條形圖案了。

圖6 A與滿秩的純量矩陣相乘后的效果

圖7 A與秩為1 的矩陣相乘后的效果

四、教學(xué)效果評(píng)價(jià)與反思

本課程的教學(xué)成效評(píng)價(jià)采取形成性評(píng)價(jià)（平時(shí)30%）＋終結(jié)性評(píng)價(jià)的方式（期末70%），其中形成性評(píng)價(jià)由多元評(píng)價(jià)方式組成。評(píng)價(jià)內(nèi)容不僅包括認(rèn)知的評(píng)價(jià)，而且包括對(duì)情感態(tài)度與價(jià)值觀的評(píng)價(jià)。其中情感態(tài)度和價(jià)值觀的評(píng)價(jià)主要關(guān)注學(xué)生在課前、課中、課下任務(wù)及小組活動(dòng)中的行為所體現(xiàn)出的態(tài)度、價(jià)值觀，借助雨課堂記錄學(xué)生成長(zhǎng)過(guò)程中的具體行為和產(chǎn)生的結(jié)果，以此作為衡量情感態(tài)度和價(jià)值觀的評(píng)價(jià)依據(jù)，考核內(nèi)容依據(jù)課程目標(biāo)來(lái)設(shè)定，表2 給出了教學(xué)效果評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)方案。同時(shí)以問(wèn)卷形式收集了學(xué)生對(duì)課程思政與專業(yè)育人成效的反饋信息，2020 級(jí)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)2 個(gè)班總計(jì)99 人，參與問(wèn)卷人數(shù)93 人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖8 所示。圖9 給出了期末總評(píng)成績(jī)直方圖，2020 級(jí)兩個(gè)班平均分81.5 分，及格率為95.6%，在此輪教學(xué)中學(xué)生評(píng)教分?jǐn)?shù)為98.194 7，名列學(xué)院前茅。評(píng)價(jià)結(jié)果充分說(shuō)明了采用這樣的教學(xué)模式有效提升了學(xué)生學(xué)習(xí)課程的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

表2 教學(xué)效果評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

圖8 課程思政及專業(yè)育人效果反饋

圖9 總評(píng)成績(jī)分布直方圖

五、結(jié)語(yǔ)

本課程基于一致性建構(gòu)原則，以畢業(yè)要求和課程目標(biāo)為導(dǎo)向，探索了線性代數(shù)教學(xué)與思政育人、專業(yè)育人相融合的三維立體教學(xué)架構(gòu)，課程實(shí)踐中采用“1＋2＋3＋4”的教學(xué)模式，以唯物辯證法作為指導(dǎo)，以現(xiàn)代教學(xué)理念和信息技術(shù)為支撐，深入挖掘線性代數(shù)知識(shí)中的思政元素和專業(yè)應(yīng)用案例，使線性代數(shù)知識(shí)的傳授與思政育人結(jié)合，與專業(yè)貫通，實(shí)現(xiàn)了三者的有機(jī)融合。讓學(xué)生在正確的理想信念和價(jià)值觀的引領(lǐng)下，激發(fā)專業(yè)學(xué)習(xí)興趣和職業(yè)認(rèn)同感，達(dá)到“育德”與“育才”的協(xié)同功效。