梁亞娜， 傅守忠， 王世芳

(肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶526061)

1 引 言

導(dǎo)數(shù)的意義是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率.多元函數(shù)在某一點(diǎn)沿著一個(gè)給定方向的方向?qū)?shù)，實(shí)際上就是函數(shù)在這個(gè)方向上的一種變化率.數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教材中[1-3]，都是利用多元函數(shù)的全微分和方向?qū)?shù)的定義，證明方向?qū)?shù)的計(jì)算公式.學(xué)生對(duì)全微分和高階無(wú)窮小沒(méi)理解透的時(shí)候，很難理解這個(gè)證明.

通過(guò)坐標(biāo)平移和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，將方向?qū)?shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，證明了方向?qū)?shù)的計(jì)算公式.這個(gè)證明方法的優(yōu)點(diǎn)是幾何上比較直觀，但其缺點(diǎn)是不易推廣到4元及4元以上函數(shù)，因?yàn)?維以上的空間無(wú)法用幾何表示.本文用Schmidt正交化[4]替代坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，就便于向高維進(jìn)行推廣.

2 預(yù)備知識(shí)

定義[1，5]設(shè)二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)的某鄰域U(P0)?2有定義，l為平面中以點(diǎn)P0為起始點(diǎn)的射線，P(x，y)為l上且含于U(P0)內(nèi)的任一點(diǎn)，以ρ表示P與P0兩點(diǎn)間的距離.若極限

對(duì)于三元函數(shù)f(x，y，z)，它在空間中一點(diǎn)P0(x0，y0，z0)沿方向l的方向?qū)?shù)，類似可定義為

其中P(x，y，z)為l上的任一點(diǎn)，ρ表示P與P0兩點(diǎn)間的距離.

注 顯然，函數(shù)f(x，y，z)在一點(diǎn)沿x軸正向的方向?qū)?shù)，是函數(shù)在該點(diǎn)關(guān)于自變量x的“右”偏導(dǎo)數(shù)；沿x軸負(fù)向的方向?qū)?shù)，是函數(shù)在該點(diǎn)關(guān)于自變量x的“左”偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù).特別當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，沿x軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)，分別是函數(shù)在該點(diǎn)關(guān)于自變量x的偏導(dǎo)數(shù)及其相反數(shù).將x換成y或z，結(jié)論也成立.對(duì)任意n(n≥2)元函數(shù)結(jié)論類似.

引理1[1，6]若m元函數(shù)f(u1，u2，…，um)在點(diǎn)(u1，u2，…，um)可微，n元函數(shù)uk=gk(x1，x2，…，xn)(k=1，2，…，m)都在點(diǎn)(x1，x2，…，xn)具有xi(i=1，2，…，n)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

f(g1(x1，x2，…，xn)，g2(x1，x2，…，xn)，…，gm(x1，x2，…，xn))

關(guān)于自變量xi偏導(dǎo)數(shù)都存在，且

該引理是一般多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式.

3 方向?qū)?shù)計(jì)算公式的新證明

引理2(i)若二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)沿給定方向l的方向?qū)?shù)fl(x0，y0)存在.令

u=x-x0，v=y-y0

是坐標(biāo)平移變換，則復(fù)合函數(shù)g(u，v)=f(u+x0，v+y0)在原點(diǎn)沿l的方向?qū)?shù)gl(0，0)也存在，且gl(0，0)=fl(x0，y0).

(ii)對(duì)三元函數(shù)f(x，y，z)也有類似結(jié)論，即對(duì)函數(shù)g(u，v，w)=f(u+x0，v+y0，w+z0)，有g(shù)l(0，0，0)=fl(x0，y0，z0).

證根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，結(jié)論顯然.

針對(duì)引理2中的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式易得

引理3(i)當(dāng)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，g(u，v)在(0，0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，且gu(0，0)=fx(x0，y0)，gv(0，0)=fy(x0，y0).

(ii)若三元函數(shù)f(x，y，z)在點(diǎn)P0(x0，y0，z0)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(u，v，w)在(0，0，0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，且

gu(0，0，0)=fx(x0，y0，z0)，gv(0，0，0)=fy(x0，y0，z0)，gw(0，0，0)=fz(x0，y0，z0).

定理(i)若二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且

fl(x0，y0)=fx(x0，y0)cosα+fy(x0，y0)cosβ，

其中cosα和cosβ是方向l的方向余弦，即e0=(cosα，cosβ)是方向l同向的單位向量.

(ii)若三元函數(shù)f(x，y，z)在點(diǎn)(x0，y0，z0)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且

fl(x0，y0，z0)=fx(x0，y0，z0)cosα+fy(x0，y0，z0)cosβ+fz(x0，y0，z0)cosγ，

其中cosα，cosβ，cosγ是方向l的方向余弦，即e0=(cosα，cosβ，cosγ)是方向l同向的單位向量.

證只證明結(jié)論(ii)，結(jié)論(i)的證明方法與結(jié)論(ii)的類似，或可作為結(jié)論(ii)的特殊情況.

根據(jù)引理2和引理3，僅需證明在坐標(biāo)原點(diǎn)的方向?qū)?shù)的計(jì)算公式即可，即不妨設(shè)(x0，y0，z0)就是(0，0，0).

若l平行于某一坐標(biāo)軸，由第二節(jié)的注可知，結(jié)論成立.

若l不平行于任一坐標(biāo)軸，即α，β，γ∈(0，π)，此時(shí)sinα，sinβ，sinγ都是正數(shù)，且

cos2α+cos2β+cos2γ=1.

r1=e0=(cosα，cosβ，cosγ)；

(a2，a2)=cos2βcos2α+sin4β+cos2βcos2γ=cos2β(cos2α+cos2γ)+sin4β

=cos2βsin2β+sin4β=sin2β，

=(0，0，1)-cosγ(cosα，cosβ，cosγ)+cotβcosγ(-cotβcosα，sinβ，-cotβcosγ)

=(-cosαcosγ(1+cot2β)，0，1-cos2γ-cot2βcos2γ)

因此

注意到{e1，e2，e3}和{r1，r2，r3}都是3的標(biāo)準(zhǔn)正交基，故其過(guò)渡矩陣為正交矩陣，因而

將向量組{r1，r2，r3}構(gòu)成的坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸分別記為u，v，w，則空間中任一點(diǎn)(x，y，z)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(u，v，w)滿足

即

令

g(u，v，w)=f(φ(u，v，w)，ψ(u，v，w)，ζ(u，v，w))，

根據(jù)已知條件函數(shù)f(x，y，z)在點(diǎn)(x0，y0，z0)可微和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

fl(0，0，0)=gu(0，0，0)=fx(0，0，0)φu(0，0，0)+fy(0，0，0)ψu(yù)(0，0，0)+fz(0，0，0)ζu(0，0，0)

=fx(0，0，0)cosα+fy(0，0，0)cosβ+fz(0，0，0)cosγ.

得證.

4 結(jié) 論

當(dāng)所給方向與某坐標(biāo)軸正向一致，且函數(shù)在某點(diǎn)關(guān)于該自變量的偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，方向?qū)?shù)就是函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)該自變量的偏導(dǎo)數(shù).本文利用向量組的Schmidt正交化方法，對(duì)所給方向的向量和除某一坐標(biāo)軸外的其它坐標(biāo)軸上的單位向量進(jìn)行正交化，形成一個(gè)新的直角坐標(biāo)系，所求方向?qū)?shù)在此坐標(biāo)系下正好是對(duì)某新變量的偏導(dǎo)數(shù).利用新舊坐標(biāo)間的線性變換公式和多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式.該方法對(duì)二元和三元函數(shù)有比較直觀的幾何意義.由于Schmidt正交化方法適用于任意有限維的空間，所以理論上推導(dǎo)n(n≥2)元函數(shù)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式都是可行的.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).