虎 蓉， 易 戈

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

在可積系統(tǒng)領(lǐng)域中，Kadomtsev-Petviashvili(KP)系列是非常重要的一個(gè)研究課題，它具有許多良好的結(jié)構(gòu).弦方程的研究在KP系列的理論發(fā)展中起著重要的作用.Orlov和Schulman通過定義一個(gè)擬微分算子M得到附加對(duì)稱流的具體形式，這些附加對(duì)稱流構(gòu)成一個(gè)無中心的W1+∞代數(shù)[1].特別地，Dickey研究了 KP系列的附加對(duì)稱、弦方程和Virasoro約束等物理問題之間的聯(lián)系，并且，利用Lax算子L和附加對(duì)稱算子M給出了附加對(duì)稱對(duì)KP系列τ函數(shù)的作用[2-3].約束離散KP系列及量子化推廣KP系列也已被研究[4-6].Panda和Roy研究了p-約化KP系列τ函數(shù)的Virasoro代數(shù)約束[7].

無色散可積系列在數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域具有重要的意義，在數(shù)學(xué)物理的諸多方面都有應(yīng)用.Krichever給出了的無色散Lax方程[8]，這為無色散KP系列的后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ).后來，Takasaki和Takabe對(duì)無色散KP系列的研究做出了較大貢獻(xiàn)，他們討論了該系列的Lax表示、無窮多對(duì)稱、無窮多守恒量、附加對(duì)稱和twistor結(jié)構(gòu)等[9-10].雖然無色散KP系列已經(jīng)進(jìn)行過許多研究，但其弦方程一直未被明確給出，這便是本文的研究動(dòng)機(jī).論文給出了無色散KP系列的弦方程，并在此基礎(chǔ)上又給出無色散p-約化KP系列的弦方程.

2 預(yù)備知識(shí)

無色散KP系列[9]的Lax函數(shù)L定義為關(guān)于k的形式勞倫級(jí)數(shù)

滿足下面的Lax方程

(1)

其中，Bn=(Ln)≥0，n=1，2，….泊松括號(hào)的定義為

引理1[9]存在dressing算子eadφ使得無色散KP系列的Lax函數(shù)可表示為dressing形式

L=eadφ(k)，

且滿足等式

?tn，φφ=-(eadφ(kn))≤-1，n=1，2，….

(2)

其中

定義1[9]無色散KP系列的Orlov函數(shù)M由dressing算子eadφ定義

(3)

(4)

引理2[9]無色散KP系列的Orlov函數(shù)M滿足Lax方程

(5)

且滿足正交關(guān)系式

{L，M}=1.

(6)

3 無色散p-約化KP系列的弦方程

命題1由無色散KP系列的兩個(gè)函數(shù)L和M滿足正交關(guān)系(6)可以推出以下等式成立：

{Ln，ML1-n}=n.

(7)

證由等式{L，M}=1，結(jié)合泊松括號(hào)的運(yùn)算性質(zhì)，易得下式成立：{Ln，M}=nLn-1.接著，由萊布尼茲規(guī)則可得

{Ln，ML-n+1}={Ln，M}L-n+1+{Ln，L-n+1}M={Ln，M}L-n+1=n.

(8)

稱等式(8)為無色散KP系列的弦方程.

至此，無色散KP系列的弦方程已被給出，下面考慮約化情形下的弦方程.對(duì)無色散KP系列的Lax算子增加約化條件：(Lp)≤-1=0，p≥2，稱之為無色散p-約化KP系列，其Lax函數(shù)Lp=kp+up-2kp-2+…+u0滿足：

定理2對(duì)于無色散p-約化KP系列有下列等式成立：

且滿足弦方程

(9)

證根據(jù)函數(shù)M的表達(dá)式(4)可得

則由等式(8)可得

即弦方程(9)成立.

上述定理表明，對(duì)于無色散KP系列的Lax函數(shù)L及其對(duì)應(yīng)的M，若滿足弦方程(8)，則該系列一定是無色散p-約化KP系列；反之，無色散p-約化KP系列的Lax函數(shù)L及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)M一定滿足弦方程(9).

定義3擬微分算子的“order”為

由此定義擬微分算子的“principal symbol”為

基于上述定義，可知無色散KP系列的解與KP系列的解有如下關(guān)系[9]：L=σε(L(ε))，且M=σε(M(ε))就是與之對(duì)應(yīng)的Orlov函數(shù).給出的無色散p-約化KP系列的弦方程(9)與p-約化KP系列的弦方程也保持著這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即原來關(guān)于?的擬微分算子對(duì)應(yīng)著關(guān)于k的形式勞倫級(jí)數(shù)，原來的李括號(hào)就對(duì)應(yīng)著無色散情形下的泊松括號(hào).

4 舉 例

前面已經(jīng)給出了無色散p-約化KP系列的弦方程，下面分別就p=2和p=3的兩種情況，分別給出無色散KdV系列和無色散Boussinesq系列的弦方程.

例1無色散2-約化KP系列即為無色散KdV系列，其約化條件為：(L2)≤-1=0，則L2=k2+u(x，t)，其中u(x，t)是關(guān)于變量x和t2n+1的微分多項(xiàng)式，且n=0，1，2，….此時(shí)，Lax函數(shù)L可形式展開為

例2對(duì)于無色散3-約化KP系列，即為無色散Boussinesq系列，滿足約化條件(L3)≤-1=0，則有

L3=k3+4u(x，t)k+2u′+w(x，t)，

其中，u(x，t)，w(x，t)均為Lax函數(shù)L的系數(shù)函數(shù).此時(shí)，Lax函數(shù)L可展開為

5 結(jié) 論

文章的主要工作是從無色散p-約化KP系列的特殊附加對(duì)稱流方程出發(fā)給出其弦方程，且該方程保持了無色散情形與經(jīng)典情形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.