龔靜

(北京建筑大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院， 北京 100044)

0 引 言

智能電網(wǎng)的發(fā)展使得大量電力電子器件和非線性、波動(dòng)性負(fù)荷不斷增加，進(jìn)而帶來(lái)了各種電能質(zhì)量問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，由于設(shè)備安裝的位置、外界的電磁干擾等因素，利用監(jiān)測(cè)設(shè)備測(cè)量、傳輸電能質(zhì)量信號(hào)的過(guò)程中不可避免地會(huì)受到隨機(jī)噪聲的干擾。噪聲的存在會(huì)嚴(yán)重影響信號(hào)擾動(dòng)點(diǎn)的分析和定位，因此，有效去噪是治理電能質(zhì)量的重要基礎(chǔ)[1-3]。

目前提出了各種去噪方法，主要包括：S變換、小波變換、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、非線性中值濾波器等，這其中小波變換又以其具有低熵性、多分辨率特性和去相關(guān)性而廣泛用于電能質(zhì)量檢測(cè)中。為了實(shí)現(xiàn)去噪，要先設(shè)定閾值，然后對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行置零或者收縮等處理，對(duì)處理后的小波系數(shù)進(jìn)行逆變換，重構(gòu)信號(hào)將較好地還原原始信號(hào)。傳統(tǒng)傅里葉變換的母函數(shù)確定就是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，而小波變換的母函數(shù)卻不固定。在進(jìn)行電能質(zhì)量信號(hào)去噪時(shí)，各小波所具有的不同特性會(huì)使得去噪效果大不一樣，選擇什么小波去分解和重構(gòu)信號(hào)會(huì)對(duì)去噪效果有著重要影響[4-14]。但目前卻并沒有文獻(xiàn)在小波選取上進(jìn)行深入的研究，不同的文獻(xiàn)選擇了不同的小波，如文獻(xiàn)[6]選擇的rbio 3.1小波，文獻(xiàn)[7-8]選擇了db 4小波，文獻(xiàn)[9]采用db 6小波，文獻(xiàn)[10]采用db 2和db 8小波，文獻(xiàn)[11-12]采用sym 8小波，但這些文獻(xiàn)都沒有詳細(xì)說(shuō)明具體的小波選取原則，也并沒有深入探索這些不同小波所具有的不同特性對(duì)去噪結(jié)果的影響。

文中提出一種含有可調(diào)參數(shù)的新閾值函數(shù)，在研究小波諸多特性對(duì)去噪結(jié)果影響的基礎(chǔ)上，給出了在電能質(zhì)量信號(hào)去噪中所選取的小波應(yīng)該滿足的五個(gè)特點(diǎn)。

1 可調(diào)閾值函數(shù)和閾值的選取

1.1 新閾值函數(shù)的提出

閾值函數(shù)的選取對(duì)去噪重構(gòu)信號(hào)高頻信息和平滑性有著直接的影響，軟閾值函數(shù)因其過(guò)渡光滑會(huì)造成高頻信息的損失，硬閾值函數(shù)因其不連續(xù)會(huì)產(chǎn)生一些間斷點(diǎn)，提出的可調(diào)閾值函數(shù)，通過(guò)對(duì)其參數(shù)m的控制，可以實(shí)現(xiàn)多種不同的軟硬特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

式中m為可調(diào)節(jié)因子，可取任意正常數(shù)。

當(dāng)m→∞時(shí)，有：

(2)

顯然，式(2)變成了硬閾值函數(shù)表達(dá)式。

同理，當(dāng)m→0時(shí)，將變?yōu)檐涢撝岛瘮?shù)。

當(dāng)參數(shù)m∈(0，∞)，改變參數(shù)m的值，新閾值函數(shù)可以在軟硬閾值函數(shù)之間變動(dòng)，其示意圖如圖1所示，圖中分別展示了m取0.8、1.3、2、3、5、14時(shí)的閾值函數(shù)，當(dāng)m=14時(shí)，新閾值函數(shù)比較接近硬閾值函數(shù)，隨著m值的逐漸減小，新閾值函數(shù)慢慢趨于軟閾值函數(shù)特征，當(dāng)m=0.8，新閾值函數(shù)已經(jīng)比較接近軟閾值函數(shù)了。從圖1可見，m取不同值時(shí)，新閾值函數(shù)分別軟硬閾值函數(shù)之間的不同區(qū)域，反應(yīng)了多種不同的軟硬特性，實(shí)際中m一般可以在0～30之間取值。

圖1 新閾值函數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of new threshold function

1.2 閾值的選取

(3)

式中j為小波分解尺度；N為在j尺度上的小波細(xì)節(jié)系數(shù)cdj,k的總個(gè)數(shù)，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σj計(jì)算如下:

(4)

圖2 去噪算法流程圖Fig.2 Flow chart of wavelet de-noising algorithm

2 小波特性分析

2.1 正交性

在小波分析中，討論比較多的是平移的系統(tǒng)，即有：

2.2 支撐長(zhǎng)度

隨著時(shí)間或頻率逐漸趨于無(wú)窮大，小波函數(shù)和尺度函數(shù)逐步收斂，支撐長(zhǎng)度表明了其從有限值收斂到零的速度。小波的支撐長(zhǎng)度越小，則局部化能力越強(qiáng)，對(duì)檢測(cè)信號(hào)的突變點(diǎn)越有利，但同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致光滑性變差。濾波過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生人為截?cái)?，緊支小波能很好地避免截?cái)鄬?dǎo)致的誤差，從而提高精度[16]。時(shí)域快速衰減、頻域緊支的小波函數(shù)在分解信號(hào)時(shí)，能夠提供系數(shù)有限的沖擊響應(yīng)濾波器。

2.3 正則性

對(duì)函數(shù)f，若|f(x)-f(x0)|≤C|x-x0|α，x∈(x0-δ,x0+δ)(C、α>0為常數(shù))，則稱f在x0具有局部Lipschitz指數(shù)α，如果g在x0具有局部Lipschitz指數(shù)β，而β>α，則g比f(wàn)在x0具有較高的局部正則性[17]。如果ψ(t)的正則性高，則近似計(jì)算的穩(wěn)定性好，否則，幾乎到處會(huì)出現(xiàn)近似計(jì)算不穩(wěn)定的問(wèn)題。如果信號(hào)在某一點(diǎn)或者在某一區(qū)間是可微的，那么稱信號(hào)在該點(diǎn)或者在該區(qū)間是正則的，反之就是奇異的。

2.4 消失矩階數(shù)

2.5 對(duì)稱性

設(shè)函數(shù)f(t)∈L2(R)，如果滿足：

f(a+t)=f(a-t)

則稱f(t)具有對(duì)稱性。

如果滿足：

f(a+t)=-f(a-t)

則稱f(t)具有反對(duì)稱性。

對(duì)稱性主要用來(lái)表征信號(hào)的相位信息。緊支小波函數(shù)的線性相位性可以等同于其對(duì)稱性，也就是說(shuō)，若小波的對(duì)稱性越好，則其具有更好的線性相位性。

2.6 小波選取遵循的五個(gè)特點(diǎn)

基于以上對(duì)小波特性的分析，為取得更好的去噪效果，選取的小波應(yīng)滿足以下特點(diǎn)：

(1)具有正交性。

利用正交小波函數(shù)處理信號(hào)，能夠減少誤差，避免信號(hào)能量和特征的丟失。在小波分解過(guò)程中，正交性能夠保證沒有冗余；在基函數(shù)平移過(guò)程中，正交性可以實(shí)現(xiàn)信息的不重疊；

(2)較長(zhǎng)的支撐長(zhǎng)度。

支撐長(zhǎng)度越長(zhǎng)越適于做頻域信號(hào)的局部分析，反之則適于時(shí)域信號(hào)。在電能質(zhì)量信號(hào)的去噪中，對(duì)時(shí)域要求不高而更關(guān)注頻域的信息，故應(yīng)該選擇具有較長(zhǎng)支撐長(zhǎng)度的小波函數(shù)；

(3)較高的正則性。

正則性越高，小波越能快速收斂，頻域的局部性也就越好。小波函數(shù)的正則性會(huì)在一定程度上影響小波重構(gòu)系數(shù)的穩(wěn)定性，具有一定的正則性則可以獲得更穩(wěn)定的小波重構(gòu)信號(hào)；

(4)較高的消失矩階數(shù)。

消失矩階數(shù)越高，則小波變換后的能量主要集中在低頻部分，小波分解后信號(hào)的能量也越集中，因此在檢測(cè)高階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的信號(hào)時(shí)，局部化能力得以提升；

(5)對(duì)于對(duì)稱性要求不高。

去噪并不一定要求小波的濾波特性要具有線性相位。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 從細(xì)節(jié)圖對(duì)比去噪結(jié)果

利用小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解時(shí)，必須確定合理的分解尺度，對(duì)信號(hào)的頻帶進(jìn)行正確的劃分，頻帶劃分不宜過(guò)細(xì)以防止采樣點(diǎn)數(shù)過(guò)少，也不宜過(guò)寬以防止準(zhǔn)確性降低，綜合考慮后，確定分解到第4尺度。依據(jù)IEEE 1159電能質(zhì)量監(jiān)控標(biāo)準(zhǔn)建立擾動(dòng)信號(hào)，基準(zhǔn)頻率取為50 Hz。因?qū)嶋H中電能質(zhì)量數(shù)據(jù)的采樣通常都是12.8 kHz,故文中選取采樣頻率為12.8 kHz,即每周波256個(gè)采樣點(diǎn)[19]。實(shí)驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)0.3 s,共計(jì)3 840個(gè)采樣點(diǎn)。限于篇幅，下面以一含有暫升、中斷、諧波三種擾動(dòng)的復(fù)合電能質(zhì)量信號(hào)為例，選擇有代表性的db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四種小波按照?qǐng)D2流程進(jìn)行去噪后的信號(hào)如圖3所示。從圖3初步可以看出，rbio 3.1小波去噪后波形很不光滑，效果差，為能更清晰地觀察其他三種小波的去噪效果，將A、B、C三處(如圖3中虛線框標(biāo)示)的波形進(jìn)行局部放大，對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)放大如圖4所示，進(jìn)一步將C點(diǎn)細(xì)節(jié)圖中的D點(diǎn)局部放大，得到圖4中的D點(diǎn)細(xì)節(jié)圖。

圖3 四種小波去噪后的信號(hào)Fig.3 De-noised signals by four kinds of wavelets

圖4 ABCD點(diǎn)的細(xì)節(jié)圖Fig.4 Details of ABCD points

波形分析：從圖4的C點(diǎn)細(xì)節(jié)圖可以清晰地看到，采用rbio 3.1小波去噪后波形與原始信號(hào)波形相差甚遠(yuǎn)，毫無(wú)規(guī)則且大幅度的偏離原始信號(hào)，其去噪效果明顯遠(yuǎn)遠(yuǎn)差于db 5、haar、bior 2.2小波。再?gòu)膱D4 的A、B、D點(diǎn)細(xì)節(jié)圖對(duì)比db 5、haar、bior 2.2三種小波，顯然haar小波去噪后波形偏離原始波形較大且不光滑，db 5小波去噪后波形幾乎與原始波形重合，達(dá)到了最好的去噪效果。bior 2.2小波去噪后波形盡管與原始波形較為接近，但仍然存在偏離較大的位置，如A點(diǎn)細(xì)節(jié)圖[0.065，0.0655]、B點(diǎn)細(xì)節(jié)圖的[0.195，0.1955]、D點(diǎn)細(xì)節(jié)圖的[0.267，0.268]等區(qū)間出現(xiàn)的冒尖點(diǎn)，故bior 2.2小波去噪效果優(yōu)于haar小波，但劣于db 5小波。

原因分析：結(jié)合各小波的特性來(lái)進(jìn)一步分析深層次的原因。db 5、bior 2.2、haar小波的支撐長(zhǎng)度分別為9、6、1，上述的波形分析驗(yàn)證了2.6節(jié)提出的選取特點(diǎn)(2):較長(zhǎng)的小波支撐長(zhǎng)度具有更好的去噪效果。而通常支撐長(zhǎng)度越長(zhǎng)則正則性也越好，這也驗(yàn)證了2.6節(jié)提出的選取特點(diǎn)(3):選擇較高正則性的小波將更有利于去噪。db 5、bior 2.2、haar小波的消失矩階數(shù)分別為5、1、1，驗(yàn)證了2.6節(jié)提出的選取特點(diǎn)(4):較高的消失矩階數(shù)更有利于頻域的分析。對(duì)稱的haar和rbio 3.1小波的去噪效果不如近似對(duì)稱的db 5小波和不對(duì)稱的bior 2.2小波，可見對(duì)稱性對(duì)去噪效果影響不大，這驗(yàn)證了2.6節(jié)提出的選取特點(diǎn)(5):去噪中對(duì)于對(duì)稱性無(wú)特殊要求。另外，bior 2.2和rbio 3.1小波都無(wú)正交性，但bior 2.2小波消失矩階數(shù)為1，而rbio 3.1無(wú)消失矩階數(shù)，前者去噪效果尚可，故可見相比于正交性，消失矩階數(shù)是影響去噪的關(guān)鍵因素。

綜上可知， db 5小波的去噪效果優(yōu)于bior 2.2，這兩者又明顯優(yōu)于haar、rbio 3.1小波。

3.2 從SNR和MSE指標(biāo)對(duì)比去噪結(jié)果

去噪效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)[20-21]通常是信噪比SNR(Signal-to-Noise Ratio)和均方誤差MSE(Mean Square Error)，其定義式為:

(5)

(6)

式(5)、式(6)中，s(t)表示原始信號(hào)；s′(t)表示去噪后的信號(hào)。

建立電壓暫降、中斷、振蕩、諧波四種電能質(zhì)量擾動(dòng)模型，利用db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1四種小波按照?qǐng)D2流程進(jìn)行去噪后的SNR和MSE值,如表1所示?？梢?，無(wú)論輸入信噪比為何值，無(wú)論是哪種擾動(dòng)類型，去噪后的SNR值從高到低排列、去噪后的MSE值,從低到高排列對(duì)應(yīng)的小波依次為db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1，信噪比越大，均方誤差越小，則去噪效果越好，這進(jìn)一步證明了滿足2.6節(jié)提出的小波選取特點(diǎn)的db 5小波去噪效果最好。

表1 四種小波去噪后的SNR和MSE對(duì)比Tab.1 Comparison of SNR and MSE after different wavelets de-noising

當(dāng)輸入SNR=18 dB時(shí)，針對(duì)電壓暫降、中斷、振蕩、諧波四種擾動(dòng)情況，利用db 5小波進(jìn)行去噪，波形如圖5所示，可見db 5小波去噪后的波形光滑，選用db 5小波達(dá)到了較好的去噪效果。

圖5 含噪信號(hào)和db 5小波去噪后的信號(hào)Fig.5 Noisy signals and de-noised signals by db 5 wavelet

4 結(jié)束語(yǔ)

文章提出的可調(diào)閾值函數(shù)兼具軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，閾值修正算子的引入更好地反映了信號(hào)和噪聲小波系數(shù)在不同尺度間的傳播特性。對(duì)小波的特性進(jìn)行了深入研究，進(jìn)而提出了在電能質(zhì)量信號(hào)去噪中小波選取應(yīng)滿足的五個(gè)特點(diǎn)，即應(yīng)該選擇具有較長(zhǎng)支撐長(zhǎng)度、較高正則性和消失矩階數(shù)的正交小波，而對(duì)小波的對(duì)稱性沒有特殊要求。針對(duì)電壓暫降、暫升、中斷、振蕩、諧波五種電能質(zhì)量擾動(dòng)，采用db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四種小波進(jìn)行去噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，db 5小波去噪后波形幾乎與原始波形重合，且去噪后SNR最大、MSE最小，去噪效果遠(yuǎn)優(yōu)于其他三種小波，這證明了所提小波選取原則的正確性。