張海川，王順亮，劉天琪，董語晴，陳相

(四川大學 電氣工程學院， 成都 610065)

0 引 言

模塊化多電平換流器(Modular Multilevel Converter，MMC)相較于傳統(tǒng)的電網(wǎng)換相型換流器具有有功、無功獨立控制和可靠性高、便于維護[1-2]等優(yōu)勢，在異步電網(wǎng)互聯(lián)和新能源接入等方面有著廣泛的應用[3]。然而，交直流系統(tǒng)的背景諧波經(jīng)過MMC換流器的調(diào)制作用可能發(fā)生互相耦合，形成AC/DC之間的正反饋閉環(huán)，造成諧波來回振蕩放大，最終可能引發(fā)諧波不穩(wěn)定[4-6]。諧波耦合矩陣模型是一種分析復雜電力電子系統(tǒng)諧波傳導與耦合機理的有效工具，但同時MMC換流器運行方式復雜、各電氣量相互影響的特點給其諧波耦合建模帶來一定的難度[7-8]。

文獻[9]提出了基于開關函數(shù)的MMC諧波傳導模型，其一次可對某特定次數(shù)諧波的傳導特性進行討論；文獻[10-11]中提出了考慮內(nèi)部動態(tài)特性以描述MMC交、直流側電氣量耦合關系的狀態(tài)空間矩陣模型，但其只限于討論直流線路直流電氣量與交流系統(tǒng)基頻電氣量的幅值耦合關系，而不能描述各電氣量諧波的耦合特性；文獻[12]提出了諧波狀態(tài)空間(Harmonic State Space， HSS)基礎理論，該理論采用復數(shù)傅里葉分解與傅里葉級數(shù)相乘定理以使周期時變模型定常化；文獻[13]提出了基于諧波狀態(tài)空間的MMC交流側阻抗建模方法，其通過研究換流器交流諧波電壓與諧波電流間關系以得到換流器交流側等效阻抗，但沒有對直流電壓與直流電流、直流電氣量和交流電氣量間諧波耦合關系進行建模分析。為了同時考慮MMC交直流側各量所有次數(shù)諧波間耦合關系，將諧波狀態(tài)空間與開關函數(shù)結合以建立MMC換流器的諧波耦合矩陣。MMC諧波耦合矩陣模型采用開關函數(shù)以分別描述特定次數(shù)諧波間耦合關系；再采用諧波狀態(tài)空間理論將系數(shù)矩陣中的周期時變量(由開關函數(shù)產(chǎn)生)展開為常復數(shù)以克服模型系數(shù)矩陣中含有時變量的問題，且展開后的模型可同時描述所有次數(shù)諧波間耦合關系。

在加入諧波擾動后，將搭建的MMC諧波耦合矩陣模型的計算結果與PSCAD電磁仿真模型進行對比，驗證了MMC諧波耦合矩陣模型對MMC換流器交直流側電壓電流的各次諧波間耦合關系描述的準確性。

1 MMC換流器時域模型

1.1 MMC換流器橋臂平均模型

圖1 MMC換流器詳細模型Fig.1 Detailed model of MMC converter

(1)

(2)

(3)

(4)

式中Carm=CSM/N為橋臂等效電容。

1.2 MMC換流器時域狀態(tài)空間小信號模型

根據(jù)橋臂平均模型，MMC換流器及其交流系統(tǒng)可等效為如圖2所示結構，其中igx(t)為換流器x相輸入電流，則MMC換流器與交流系統(tǒng)具有如式(5)所示電流關系。

圖2 MMC換流器橋臂平均模型Fig.2 Average model of bridge arm of MMC converter

(5)

式中icx(t)為換流器x相環(huán)流，其值為該相上橋臂、下橋臂電流的平均值。

將式(3)～ 式(5)進行小信號化，可得MMC橋臂平均小信號模型，其中MMC換流器考慮為開環(huán)控制，即開關函數(shù)nux(t)、nlx(t)的變化量Δnux(t)、 Δnlx(t)均為零，結果如式(6)～式(8)所示。

(6)

(7)

(8)

將式(6)～式(8)轉化為狀態(tài)方程形式，得到MMC換流器的單相時域狀態(tài)空間小信號模型，如式(9)所示。

(9)

其中：

上述討論中，nux0(t)、nlx0(t)分別為x相上橋臂、下橋臂開關函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值，其由MMC的控制系統(tǒng)決定，其組成如式(10)所示。

(10)

其中：

vref1x(t)/vdc0=m1cos(ω0t+θm1x)

vref2x(t)/vdc0=m2cos(2ω0t+θm2x)

式中ω0為系統(tǒng)的基頻角頻率；vdc0為直流電壓穩(wěn)態(tài)值，其值為常數(shù)；vref1x(t)為由MCC基本控制器產(chǎn)生的x相參考電壓波基頻分量，其相位為θm1x；vref2x(t)為由環(huán)流抑制控制器產(chǎn)生的x相參考電壓波二次諧波分量，其相位為θm2x；m1與m2分別為基本控制器與環(huán)流抑制控制器的調(diào)制度。

2 MMC換流器頻域模型

2.1 諧波狀態(tài)空間理論

MMC換流器作為典型的時變系統(tǒng)，其狀態(tài)變量和輸入、輸出變量間具有如下關系：

(11)

當系統(tǒng)正常運行到穩(wěn)態(tài)時，其內(nèi)部各個狀態(tài)變量的時域響應都具有周期性的特點，故將式(11)中狀態(tài)變量x(t)復數(shù)傅里葉分解展開，并將其乘以est以描述信號的暫態(tài)過程，則式(11)中狀態(tài)變量及其導數(shù)寫為：

(12)

(13)

式中n為諧波次數(shù)；xn表示x(t)的第n次諧波的復傅里葉系數(shù)；ω0為系統(tǒng)的基頻角頻率。同理，輸入變量u(t)與輸出變量y(t)可寫為：

(14)

對于系數(shù)矩陣A(t)，其組成均為穩(wěn)態(tài)量而不存在任何暫態(tài)過程，可直接寫成傅里葉級數(shù)形式如式(15)所示，其中An為A(t)的復數(shù)傅里葉分解的n次項系數(shù)，B(t)、C(t)、D(t)的傅里葉級數(shù)形式同理可得：

(15)

根據(jù)傅里葉級數(shù)的相乘定理，周期函數(shù)a(t)、b(t)與他們的時域乘積c(t)之間具有如式(16)所示關系[15]：

(16)

其中ck為c(t)的復數(shù)傅里葉分解的k次項系數(shù)，al與bk-l同理。則式(12)～式(15)中各變量和系數(shù)矩陣的傅里葉系數(shù)間具有如下所示關系：

(17)

式(17)即為諧波狀態(tài)空間中第n次諧波的狀態(tài)方程與輸出方程。將各次諧波的狀態(tài)方程聯(lián)立，可將式(11)中的狀態(tài)方程轉化到諧波狀態(tài)空間，其矩陣方程為：

sX=(A-N)X+BU

(18)

其中：

X=[x-h,…,x-2,x-1,x0,x1,x2,…,xh]T

U=[u-h,…,u-2,u-1,u0,u1,u2…,uh]T

N=diag[-jhω0I…-jω0I, zeros(m),jω0I, …

jhω0I]

式中h為考慮的最大諧波次數(shù)；zeros(m)為m階零矩陣，I為m階單位矩陣，m為時域系數(shù)矩陣A(t)的行列數(shù)；A、B為托普利茲(Toeplitz)矩陣形式；下標表示諧波次數(shù)。

同理可將式(11)中的輸出方程轉化到諧波狀態(tài)空間，其矩陣方程為：

Y=CX+DU

(19)

式(18)與式(19)聯(lián)立，即為周期時變系統(tǒng)的諧波狀態(tài)空間模型，其系數(shù)矩陣與各變量均采用復傅里葉系數(shù)(常數(shù))進行表示，實現(xiàn)了周期時變模型的定常化并可描述原時域變量的各次諧波分量間數(shù)學關系。

2.2 MMC換流器HSS小信號模型

如式(9)所示的基于開關函數(shù)建立的MMC換流器時域狀態(tài)空間小信號模型的系數(shù)矩陣中包含周期時變量nux0(t)、nlx0(t)，使得模型不能求解而不具有實際意義?？紤]諧波狀態(tài)空間理論可將周期時變方程定常化的特點，將其帶入式(9)中的時域狀態(tài)空間模型，使之轉化為頻域的諧波狀態(tài)空間模型并寫為三相形式，如式(20)所示。

ΔXM=AMΔXM+BMΔUM

(20)

其中：

ΔUM=[ΔVga,ΔVgb,ΔVgc,ΔVdc]T；

P=diag(p,p,p,p)；

p=diag[jhω0, …,-jω0, 0, jω0, …, jhω0]。

式中h為考慮的最大諧波次數(shù)；I1為2h+1階單位矩陣；ZM1為2h+1階零矩陣；ZM2和ZM3為零矩陣，其分別與AMx和BMx行列數(shù)相同。所有變量以頻域表示并以大寫字母標識，其實質(zhì)為由原時域周期時變量的復數(shù)傅里葉系數(shù)以(-h，…，-1，0，1，…，h)的諧波次序排列而成的列矩陣。ΔIgx的結構如式(21)所示,其他輸入變量與狀態(tài)變量同理可得。

(21)

式中 ΔIgx(h)為時域狀態(tài)變量Δigx(t)的復數(shù)傅里葉分解的h次項系數(shù)。Γ代表Toeplitz矩陣，其結構如式(18)所示,則根據(jù)式(10)可得Γ[Nux0]的具體組成如式(22)所示，Γ[Nlx0]同理可得：

(22)

3 MMC換流器諧波耦合矩陣模型

MMC的HSS小信號模型如式(20)所示，其輸入變量為換流器交流側電壓Δvgx(t)的各次諧波分量和直流側電壓Δvdc(t)的各次諧波分量。故為完整描述MMC兩側電氣量各次諧波的耦合關系，取式(21)的輸出變量為換流器交流側各相輸入電流Δigx(t)的各次諧波分量和直流側輸入電流Δidc(t)的各次諧波分量。Δigx(t)本身為狀態(tài)變量，Δidc(t)可由式(23)計算：

(23)

則MMC的HSS小信號模型的輸出方程如式(24)所示。

ΔYM=CMΔXM

(24)

其中：

ΔYM=[ΔIga,ΔIgb,ΔIgc,ΔIdc]T;

Cg=[ZM1,ZM1,ZM1,I1];

式中ZM4為與Cg為行列數(shù)相同的零矩陣。當系統(tǒng)加入小擾動后重新達到穩(wěn)態(tài)時狀態(tài)變量的導數(shù)為零，則此時MMC的HSS小信號模型的輸入、輸出變量有如式(25)所示對應關系：

(25)

式(25)即為MMC諧波耦合矩陣模型，其中Q為諧波耦合矩陣。式(25)也可寫為如式(26)形式表示：

(26)

式中qmm為諧波耦合矩陣Q的m行m列(m=8h+4)位置元素。MMC諧波耦合矩陣模型的建模步驟如圖3所示。

圖3 建模流程圖Fig.3 Modeling flow chart

MMC諧波耦合矩陣模型結合開關函數(shù)與諧波狀態(tài)空間以描述MMC電氣量的-h～h次數(shù)范圍內(nèi)諧波間耦合關系，當h足夠大，理論可獲得全部整數(shù)次諧波間耦合關系。

4 仿真驗證

加入擾動后，將MMC換流器諧波耦合矩陣模型的計算結果與PSCAD電磁暫態(tài)仿真對比，以驗證提出模型的準確性。

仿真工況： 1 s時交流系統(tǒng)公共點處加入31 kV三相正序二次諧波電壓，并同時在直流接口加入27 kV二次諧波電壓。通過MMC換流器諧波耦合模型計算得到a相交流電流iga(t)的0～3次分量的幅值Iga(0)、Iga(1)、Iga(2)、Iga(3)以及直流電流idc(t)的0～3次分量幅值Idc(0)、Idc(1)、Idc(2)、Idc(3)，與電磁暫態(tài)仿真值的對比結果如圖4與圖5所示。

圖4 交流側電流0～3次分量幅值Fig.4 Amplitude of 0～3 times component of AC side current

圖5 直流側電流0～3次分量幅值Fig.5 Amplitude of 0～3 times component of DC side current

MMC換流器諧波耦合矩陣模型通過矩陣計算直接得到加入擾動后換流器兩側電氣量的各次諧波穩(wěn)態(tài)值，故暫態(tài)過程與電磁仿真圖像不重合，但收斂得到的穩(wěn)態(tài)值與電磁仿真結果一致。

經(jīng)過對比，加入諧波擾動后，MMC諧波耦合矩陣模型計算結果的諧波次數(shù)與幅值大小均與電磁仿真結果相符，驗證了該模型對MMC換流器交直流側諧波耦合特性描述的準確性。

5 結束語

能準確反應MMC諧波耦合特性的數(shù)學模型對包含MMC換流器的交直流互聯(lián)系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性的研究至關重要。MMC換流器諧波耦合矩陣模型可同時描述MMC交、直流側電氣量所有次諧波間耦合關系。以上述耦合矩陣模型為基礎，通過其特征值、參與因子、靈敏度等指標對MMC交直流互聯(lián)系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性的進一步研究留待后續(xù)討論。