劉 菁， 梁 棟,2

(1. 河北工業(yè)大學(xué) 土木與交通學(xué)院，天津 300401；2. 河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津 300401)

拉索作為斜拉橋重要的受力構(gòu)件，具有柔度大、單位長度質(zhì)量較輕且固有阻尼小的特點，很容易產(chǎn)生渦激共振、參數(shù)共振、尾流馳振、抖振和風(fēng)雨激振[1-7]。因此，拉索振動控制成為斜拉橋結(jié)構(gòu)的重要問題[8-9]，其中附加外置黏滯阻尼器可以直接增加拉索的模態(tài)阻尼，是拉索減振措施中最為常用的方法[10-11]。但附加外置黏滯阻尼器僅能使拉索某一階模態(tài)獲得最優(yōu)模態(tài)阻尼比，且安裝位置一般不超過索長的5%[12-13]，這極大的限制了黏滯阻尼器的減振效果。

藉此，可行的策略是提高近錨固端阻尼器的減振耗能性能，近來已引起了研究者們相當(dāng)大的關(guān)注。具有負(fù)剛度元件的阻尼器可以相對增大阻尼器的變形幅度[14-15]，從而增加振動中的能量消耗，并實現(xiàn)更大的阻尼比。隨著力學(xué)放大機(jī)制(如滾珠絲杠、齒輪齒條、杠桿擺，以及利用流體慣性的慣性泵等)的利用，慣質(zhì)器可以提供較大的表觀質(zhì)量，相應(yīng)的慣性力所體現(xiàn)的負(fù)剛度效應(yīng)也逐漸用于結(jié)構(gòu)振動控制。自2015年，研究者開始嘗試將慣質(zhì)器用于斜拉索減振。Lazar 等[16-17]將調(diào)諧質(zhì)量阻尼器中的質(zhì)量部分替換成慣質(zhì)器，得到了調(diào)諧慣質(zhì)阻尼器(tuned inerter-mass damper,TID)。針對拉索第一階振動模態(tài)的減振分析表明，當(dāng)安裝高度相同時，TID可使拉索獲得比傳統(tǒng)黏滯阻尼器更高的模態(tài)阻尼比。Chen等[18-19]將被動負(fù)剛度裝置應(yīng)用于拉索附加阻尼器系統(tǒng)，以克服由于阻尼器安裝位置限制而引起的附加阻尼不足的問題，并討論了由于負(fù)剛度引起的控制力的非線性對系統(tǒng)分析的影響。Luo等[20]利用有限元方法研究了3種慣質(zhì)器應(yīng)用于張緊索的臨界阻尼比，分析表明將慣質(zhì)器應(yīng)用于拉索減振可獲得較好的減振效果。Shi等[21-23]提出了由提供負(fù)剛度的磁鐵和油阻尼器合成的負(fù)剛度阻尼器，數(shù)值分析和試驗驗證了該阻尼器對拉索第一階振型的減振性能遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)黏滯阻尼器。Lu等[24]采用數(shù)值方法分析了黏滯慣性質(zhì)量阻尼器對張緊拉索的減振效果。其中，拉索第一階模態(tài)的最大阻尼比達(dá)到了傳統(tǒng)黏滯阻尼器的9倍；甚至當(dāng)安裝位置降低至2%索長時，依然表現(xiàn)出了良好的減振效果。莫凱程[25]對利用滾珠絲杠慣性質(zhì)量阻尼器抑制拉索振動進(jìn)行了數(shù)值仿真和試驗驗證，結(jié)果表明：最優(yōu)參數(shù)不同的慣性質(zhì)量阻尼器可以大幅提高斜拉索指定階次的模態(tài)阻尼比。崔智鑫[26]用數(shù)值方法討論了三種構(gòu)型的調(diào)諧慣質(zhì)類阻尼器對拉索第一階振動的減振性能，指出并聯(lián)慣質(zhì)裝置優(yōu)于串聯(lián)。Chen等[27]研究了理想的NSD模型和典型IVA模型，指出NSD可以平均各階拉索振動的阻尼。同時，為了平衡拉索各階模態(tài)的阻尼效果，在使用IVA模型時存在阻尼增強(qiáng)的上限。

目前，利用慣性質(zhì)量對拉索進(jìn)行減振的研究還處于起步階段，大多只開展了理論研究。至于如何在實際拉索減振中實現(xiàn)慣質(zhì)減振，則還需要開展更加多樣化的慣質(zhì)系統(tǒng)研究。為方便地實現(xiàn)慣質(zhì)，本文設(shè)計并制作了包括齒輪齒條、慣質(zhì)元件和黏滯阻尼元件在內(nèi)的拉索用慣質(zhì)阻尼器，開展了相應(yīng)的理論分析、阻尼器自身性能試驗及其與模型索的組合試驗。

1 拉索-慣質(zhì)黏滯阻尼器減振的理論分析

1.1 垂度拉索的平面內(nèi)振動

考慮拉索為均質(zhì)拉索，且按照角度α傾斜，如圖1所示。本文研究了具有垂度的拉索[28]，當(dāng)垂跨比小于1/8時，設(shè)拉索弦向索力為H，由振動引起的索力變化為ΔH，拉索單位長度質(zhì)量為ρ，拉索的彈性剛度為EA，索的總長為L，阻尼器的位置在距離拉索橋面錨固端xd位置。

圖1 傾斜垂索的平面靜態(tài)構(gòu)型Fig.1 In-plane static profile of inclined shallow cable

由Krenk等[29]研究可知，垂度拉索的運動方程為

(1)

式中：z(x)=4d(1-x/L)x/L為拉索靜態(tài)構(gòu)型方程；d=ρgL2cosα/8H為拉索跨中垂度；δ(x-xd)為克羅內(nèi)克delta函數(shù)； 拉索附加張力的表達(dá)式為

(2)

式中：Le≈L[1+(ρgLcosα/H)2/8]為拉索靜態(tài)延展長度；并考慮如下無量綱量

(3)

式中：無上標(biāo)的為有量綱的變量；上標(biāo)為橫線的為無量綱變量。將式(2)與式(3)代入式(1)中，并化簡可得拉索平面內(nèi)振動無量綱方程為

(4)

式中，λ2為Irvine參數(shù)

(5)

1.2 拉索-慣質(zhì)黏滯阻尼器體系的改進(jìn)Galerkin方法求解

早期研究者采用包含350個自由度的正弦形狀函數(shù)疊加的Galerkin方法[30]，來模擬拉索的面內(nèi)振動。即使采用混合型有限元方法[31]也需要大量自由度以確保分析結(jié)果的精確性。于是，Johnson等[32]提出了“控制導(dǎo)向”的改進(jìn)Galerkin模型，該模型包含正弦形函數(shù)與靜態(tài)撓曲形函數(shù)兩部分，能夠極大的提高數(shù)值模型的計算效率。改進(jìn)Galerkin方法通過有限級數(shù)之和來近似拉索的平面內(nèi)振動，有如下方程

(6)

(7)

將式(6)和式(7)代入式(4)中，可得到含有質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C，與剛度矩陣K的無量綱方程。

(8)

質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C，與剛度矩陣K詳細(xì)的推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[33]中的式(15)～式(17)。

(9)

阻尼器阻力的位置向量φ表示為

(10)

由上述分析可知，通過改進(jìn)Galerkin方法對模態(tài)振型的假設(shè)與逼近，能夠使振動方程無量綱化以便分析，但仍然無法使振動式(8)解耦。

1.3 拉索-慣質(zhì)黏滯阻尼器減振體系的狀態(tài)空間方程

為求解式(8)，現(xiàn)其改為狀態(tài)空間方程的形式，如式(11)

(11)

(12)

同時，將如式(13)所示的黏滯阻尼力矩陣，推廣到慣質(zhì)阻尼器的阻尼力矩陣，如式(14)

(13)

(14)

2 慣質(zhì)黏滯阻尼器

本文制作的慣質(zhì)黏滯阻尼器如圖2所示。在斜拉索發(fā)生振動時，齒條將斜拉索索夾處的直線運動傳遞至齒輪，引起齒輪、轉(zhuǎn)軸及阻尼圓盤的轉(zhuǎn)動，各部件圓周運動產(chǎn)生較大的慣性質(zhì)量，能夠產(chǎn)生明顯的負(fù)剛度效應(yīng)。后端的阻尼圓盤在阻尼液體中旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生阻尼力。這些力經(jīng)齒輪放大后再通過齒條傳遞到斜拉索，從而抑制斜拉索的振動。

圖2 拉索-阻尼器體系裝配簡圖Fig.2 Assembly diagram of the cable-damper system

(15)

(16)

式中：l為齒輪的分度圓；w為拉索帶動齒條上下運動的位移；F為慣質(zhì)黏滯阻尼器運動端的力的大小。

T=Ti+Tc

(17)

式中：Ti為慣性扭矩；Tc為黏滯扭矩。

2.1 阻尼液及相應(yīng)阻尼系數(shù)的確定方法

本文采用黏度較大的鋰基潤滑脂和黏度較小的液壓油組成黏滯阻尼液，阻尼扭矩Tc可表示為[35]

(18)

式中： 剪切力τ=ηγ，γ為剪切應(yīng)變率，η為阻尼液黏度；h為阻尼圓盤距離油箱壁的距離。則由阻尼液黏滯特性產(chǎn)生的阻尼力公式可表示為

(19)

2.2 慣質(zhì)的組成及其數(shù)值

慣質(zhì)黏滯阻尼器中的轉(zhuǎn)動、平動的部分，在運動過程中都會產(chǎn)生慣質(zhì)。式(19)中慣性扭矩Ti可表示為

(20)

將式(20)扭矩折算成阻尼器出力并考慮齒條所產(chǎn)生的慣性力，則阻尼器慣質(zhì)產(chǎn)生的阻尼力可表示為

通過對在校生和實習(xí)生的統(tǒng)計得出如下結(jié)果。從表2中可以看出，在校生的各個維度和總得分情況要偏高于實習(xí)生，尤其是把握感和一致感兩個維度，也就是說學(xué)生對于工作的認(rèn)識情況和適應(yīng)情況比在校時是呈下降表現(xiàn)的。

(21)

式中：I1，J1，M1分別為齒輪的轉(zhuǎn)動慣量、回轉(zhuǎn)半徑和質(zhì)量；I2，J2，M2分別為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量、回轉(zhuǎn)半徑和質(zhì)量；I3，J3，M3分別為阻尼圓盤的轉(zhuǎn)動慣量、回轉(zhuǎn)半徑和質(zhì)量；M4為齒條的質(zhì)量。借此，可以確定其相應(yīng)的放大系數(shù)n1～n4，具體如表1所示。

(22)

表1 阻尼器各組成部分的質(zhì)量及放大系數(shù)Tab.1 Component’s mass and amplification factor

2.3 阻尼力計算公式

F=Fc+Fi

(23)

(24)

(25)

同時，在試驗中應(yīng)考慮軸承滾動摩擦導(dǎo)致的阻尼項和隨動阻尼油導(dǎo)致的負(fù)剛度項的修正，應(yīng)由下述試驗得出。

3 拉索-慣質(zhì)黏滯阻尼器的試驗裝置

根據(jù)試驗條件和實驗室具體情況，選用一根直徑為9.3 mm的鋼絲繩作為模型索，水平錨固在反力架上，采用安裝質(zhì)量塊的方式增加縮尺拉索的自質(zhì)量。模型索-阻尼器試驗系統(tǒng)如圖3所示，拉索各項參數(shù)，如表2所示。針對本次試驗，慣質(zhì)黏滯阻尼器安裝在距離錨點L/6處，齒條端部安裝一個量程為2.5 kN的拉壓力傳感器測量阻尼力時程；用量程為50 kN的壓力傳感器測量模型索索力；用量程為±150 mm的激光位移計測量模型索在在L/20，L/10，L/6和L/4處的位移時程，及拉索阻尼器遠(yuǎn)端L/10，L/6對稱點處的位移時程。

圖3 模型索-阻尼器試驗Fig.3 Scale cable-damper test

圖4 試驗?zāi)Ｐ蛡鞲衅鞑贾脠DFig.4 Sensors’ location of the test mode

表2 模型索的參數(shù)Tab.2 Parameters of the scaled cable

4 試驗結(jié)果及分析

4.1 慣質(zhì)黏滯阻尼器的負(fù)剛度

本文通過阻尼器不含阻尼液及阻尼圓盤的滯回曲線，來分析阻尼器的齒輪、齒條、轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的負(fù)剛度。在阻尼器無油且安裝位置為L/6時，一階振動試驗力-位移曲線與理論計算力-位移曲線分別如圖5(a)和圖5(b)所示，一階振動試驗力-速度曲線與理論計算力-速度曲線分別如圖5(c)和圖5(d)所示。二階振動試驗力-位移曲線與理論計算力-位移曲線分別如圖6(a)和圖6(b)所示，二階振動試驗力-速度曲線與理論計算力-位移曲線分別如圖6(c)和圖6(d)所示。

圖5 一階振動試驗與理論曲線Fig.5 First mode vibration test and theoretical calculation curve

圖6 二階振動試驗與理論曲線Fig.6 Second mode vibration test and theoretical curve

由圖5(a)和圖6(a)中的力-位移曲線可知，在阻尼器無油且無阻尼圓盤時，齒條、齒輪、和轉(zhuǎn)軸也產(chǎn)生了一定的負(fù)剛度和阻尼特性。因此，齒條、齒輪和轉(zhuǎn)軸的負(fù)剛度不應(yīng)在試驗中忽略掉，其負(fù)剛度的數(shù)值由上述式(25)中的第1、第2和第4項計算，如圖5(b)和圖6(b)中的負(fù)剛度線所示。對阻尼器齒條端部的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行微分得出阻尼器齒條端的速度，繪制阻尼力-速度曲線圖5(c)和圖6(c)。試驗力-速度曲線圖5(c)和圖6(c)與理論計算力-速度曲線圖5(d)和圖6(d)吻合較好，理論計算的力-速度曲線為橢圓曲線，由慣質(zhì)元件與阻尼元件出力疊加所得。而阻尼元件(此時僅為軸承阻力)所得的阻尼力在力-速度曲線圖5(d)和圖6(d)中為一條斜線，說明在測試的頻率與振動幅值下，本文設(shè)計的慣質(zhì)黏滯阻尼器的軸承阻力是線性的。究其原因，是由于阻尼器的軸承在加工階段的精度較高，軸承阻力不屬于庫倫摩擦阻力，而是由軸承滾動摩擦所產(chǎn)生的阻尼力，與軸承的等效阻尼系數(shù)與拉索振動速度的乘積有關(guān)，其特性與黏滯阻尼類似。故此應(yīng)在式(24)后添加軸承阻力項，并將式(24)寫為

(26)

式中，Cb為軸承等效阻尼系數(shù)，數(shù)值應(yīng)由試驗確定。

4.2 阻尼器耗能性能

在阻尼油箱中加入阻尼油并將阻尼圓盤安裝于轉(zhuǎn)軸上。阻尼圓盤在阻尼油中轉(zhuǎn)動起到剪切阻尼油的作用，并且由于阻尼圓盤同時具有一定的慣質(zhì)，也會同時起到提供負(fù)剛度的作用。在油箱有油且安裝位置為L/6時，一階振動試驗力-位移曲線與理論計算力-位移曲線分別如圖7(a)和圖7(b)所示，試驗力-速度曲線與理論計算力-位移曲線分別如圖7(c)和圖7(d)所示。二階振動試驗力-位移曲線與理論計算力-位移曲線分別如圖8(a)和如圖8(b)所示，二階振動試驗力-速度曲線與理論計算力-速度曲線分別如圖8(c)和如圖8(d)所示。

圖7 一階振動試驗與理論曲線Fig.7 First mode vibration test and theoretical curve

圖8 二階振動試驗與理論計算滯回曲線Fig.8 Second mode vibration test and theoretical calculation hysteresis curve

在圖7(b)和圖8(b)中按照式(25)和式(26)所計算的未修正力-位移曲線，其包絡(luò)面積與實測值圖7(a)與圖8(a)的力-位移曲線包絡(luò)面積近似相等，但是其斜率有一定差距。究其原因，是因為試驗中阻尼油具有一定的黏度，除了表現(xiàn)出與普通黏滯阻尼器一樣的黏滯特性，還會一定程度上附著在阻尼圓盤上隨著圓盤一起轉(zhuǎn)動。與當(dāng)前研究中剪切型阻尼器所體現(xiàn)出的正剛度特性不同[36-37]，現(xiàn)有剪切型阻尼器的剪切板插入阻尼介質(zhì)中的面積，是隨著拉索振動而變化的，在剪切板不斷“插拔”于阻尼介質(zhì)時，由于阻尼介質(zhì)的密度、油缸內(nèi)的氣體壓強(qiáng)等原因，均會使阻尼器表現(xiàn)出正剛度特性。而本文所提出的慣質(zhì)黏滯阻尼器，阻尼圓盤一直浸沒在阻尼油中，附著在圓盤上的阻尼油，以固定質(zhì)量的形式與圓盤的慣性質(zhì)量一同起到負(fù)剛度的作用。因此需要對式(25)的負(fù)剛度項進(jìn)行修正，負(fù)剛度項修正表示為

(27)

式中，k為隨動的阻尼油所產(chǎn)生的負(fù)剛度，數(shù)值應(yīng)由試驗確定。圖7(b)和圖8(b)中的力-位移曲線，是按阻尼項式(26)和負(fù)剛度項修正式(27)疊加所得到的滯回曲線，與試驗所得的滯回曲線包絡(luò)面積與負(fù)斜率均相等。

對阻尼器齒條端部的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行微分得出阻尼器齒條端的速度，繪制阻尼力-速度曲線圖7(c)和圖8(c)。試驗力-速度曲線圖7(c)和圖8(c)與理論計算力-速度曲線圖7(d)和圖8(d)吻合較好，理論計算的力-速度曲線為橢圓曲線，由慣質(zhì)元件與阻尼元件出力疊加所得。未修正的力速度曲線的包絡(luò)面積，與實測力速度曲線的包絡(luò)面積有一定差距，同樣是由阻尼油所產(chǎn)生的負(fù)剛度導(dǎo)致的。而阻尼元件所得的力-速度曲線在圖7(d)和圖8(d)中為一條斜線，說明在測試的頻率與振動幅值下，由阻尼圓盤切割阻尼油所產(chǎn)生的阻力是線性的。因此，包含軸承阻尼項及負(fù)剛度項修正的阻尼力的計算公式為

(28)

式中：bd為運動部件產(chǎn)生的慣質(zhì)；cd為折算后阻尼元件提供的阻尼系數(shù)，慣質(zhì)系數(shù)和阻尼系數(shù)可分別表示為

(29)

(30)

4.3 拉索-慣質(zhì)黏滯阻尼器系統(tǒng)減振效果分析

目前，可以通過分析拉索自由振動的衰減速度，來考察阻尼器對拉索振動影響，其評價指標(biāo)是模態(tài)阻尼比或與其相應(yīng)的對數(shù)衰減率[38]。通過采集環(huán)境激勵下拉索的振動數(shù)據(jù)，識別出實際拉索的前幾階振動頻率，以對應(yīng)的頻率進(jìn)行人工激振，依次激勵起對應(yīng)階模態(tài)振動。在拉索振動幅值達(dá)到一定值后停止激勵，令其做自由衰減振動[39]。首先對未安裝阻尼器無控拉索的自由衰減振動，是識別試驗拉索內(nèi)阻尼的最便捷途徑。通過無控拉索的衰減時程曲線得到拉索內(nèi)阻尼黏性系數(shù)Cc[40-41]，拉索的無量綱內(nèi)阻尼系數(shù)近似為0.013。而后將阻尼器安裝于拉索之上，進(jìn)行受控拉索的自由衰減振動試驗。

表3 阻尼器慣質(zhì)參數(shù)Tab.3 Damper’s inertial parameters

表4 阻尼器阻尼參數(shù)Tab.4 Damper’s viscous parameters

在本文試驗中，拉索受控振動條件下，對試驗采集的時程曲線進(jìn)行指數(shù)函數(shù)擬合。通過對拉索阻尼器安裝位置處時程曲線的曲線擬合可以求得拉索發(fā)生一階振動與二階振動時的阻尼比。同時，在拉索另一端，阻尼器安裝位置的對稱點處安裝激光位移計，測量對稱點處的時程曲線。通過比較阻尼器安裝位置和拉索另一端對稱點的振幅，可以觀察到拉索-慣質(zhì)黏滯阻尼器系統(tǒng)的位移放大效應(yīng)。對式(11)進(jìn)行特征值分析，其特征值λi為n對共軛復(fù)數(shù)，特征向量ψi為n對共軛復(fù)向量，特征值可表示為

(31)

據(jù)此，通過狀態(tài)空間式(11)得到拉索模態(tài)阻尼比理論計算值ξj為

(32)

圖9 試驗時程衰減曲線Fig.9 Vibration attenuation curve

表5 阻尼比結(jié)果匯總及誤差Tab.5 Damping ratio results summary and deviation%

4.4 振型分析

圖10 拉索振型Fig.10 Cable’s mode shape

5 結(jié) 論

通過對慣質(zhì)黏滯阻尼器的理論分析及性能試驗可知：

(1) 本文制作的慣質(zhì)黏滯阻尼器能夠有效地抑制拉索的振動，提高拉索的模態(tài)阻尼比，使拉索振動迅速衰減。

(2) 將改進(jìn)Galerkin方法用于慣質(zhì)黏滯阻尼器的分析是可行的。相比于復(fù)模態(tài)分析法，改進(jìn)的Galerkin方法在求解過程中不依賴迭代初值的選取，可有效避免因迭代初值選取不合適而導(dǎo)致的計算結(jié)果錯誤。

(3) 慣質(zhì)黏滯阻尼器的齒輪、齒條、轉(zhuǎn)軸和阻尼液都表現(xiàn)出了一定的負(fù)剛度特性，其對阻尼性能的影響不可忽略，應(yīng)通過試驗測得并考慮在計算模型中。

(4) 慣質(zhì)黏滯阻尼器的負(fù)剛度特性所導(dǎo)致的位移放大作用，對拉索減振有著明顯的正面作用，這說明慣質(zhì)黏滯阻尼器在拉索減振中有著廣泛的應(yīng)用前景。

在下一步研究中，將開展針對垂度拉索的高階廣譜慣質(zhì)最優(yōu)化和阻尼最優(yōu)化方法研究，并進(jìn)行試驗驗證。