袁平平, 程雪莉, 王航航, 沈中祥, 任偉新, 張 健
(1. 江蘇科技大學 材料科學與工程學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212100; 2. 江蘇新?lián)P子造船有限公司,江蘇 靖江 214532; 3. 江蘇科技大學 土木工程與建筑學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212100; 4. 江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212100;5. 深圳大學 土木與交通工程學院,廣東 深圳 518061)
隨著社會的發(fā)展,土木工程逐漸趨于大型化、高層化、結構異形化,其在人們?nèi)粘I钪邪缪莸慕巧灿l(fā)重要[1]。土木工程結構的損傷必定會導致其動力特性發(fā)生變化,隨著損失的累積其一旦出現(xiàn)問題,輕則發(fā)生財產(chǎn)損失、影響人們的正常生活,重則造成人員傷亡[2-3]。Kijewski等[4]認為工程結構具有較長的周期運動,動力特性在其使用壽命內(nèi)往往會隨著時間的推移而發(fā)生變化。因此,精確識別工程結構的瞬時頻率等時變動態(tài)參數(shù)至關重要,這將有助于工程結構的狀態(tài)監(jiān)測、損傷識別及安全評估等。
時頻分析作為一種新興的信號處理方法,是研究非平穩(wěn)信號的一個重要工具,其通過設計時間和頻率的聯(lián)合函數(shù),把時域信號轉換到二維平面上,從而在時間域和頻率域上同時體現(xiàn)信號的能量和強度[5-6]。作為傳統(tǒng)時頻分析方法,短時傅里葉變換(short-time Fourier transform, STFT)、Wigner-Ville(Winger-Ville distribution, WWD)分布、S變換(S-transform, ST)、希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform, HHT)等均存在一定的不足[7]。基于此,諸多學者進一步展開了相關研究。裴強等[8]研究了基于時頻分析ST的高層框架損傷識別。Zidelmal等[9]提出了基于緊湊型支持內(nèi)核的ST。續(xù)秀忠等[10]提出了一種基于線性時頻表示和Hilbert變換的時變模態(tài)參數(shù)識別方法。Hou等[11]提出了一種基于連續(xù)小波的時變結構瞬時模態(tài)參數(shù)識別。連續(xù)小波變換與傅里葉變換相似,能夠實現(xiàn)信號變換與信號重構,且能保持原有信息的完整并具有可逆性。Daubechies等[12]提出了同步擠壓小波變換(synchrosqueezed wavelet transform, SST),該方法以小波變換為基礎,通過對時頻周圍的能量進行擠壓,有效提高了時頻能量的集中度。張志禹等[13]將SST應用于地震信號瞬時屬性的提取。劉景良等[14-15]提出了基于SST的結構瞬時頻率識別并對其進行了改進。受同步擠壓變換算法的啟示,以實現(xiàn)理想的時頻分析為目標,Yu等[16]提出了一種新的時頻分析方法,即同步提取變換(synchroextracting transform, SET)。該方法是基于STFT的一種時頻分析方法,可提高瞬時頻率的識別精度??导研荹17]研究了SET在地震信號分析中的應用。張文海等[18]提出了基于SET與Vold-Kalman濾波的燃機階次跟蹤方法。Li等[19]提出了用于地震時頻分析的時間同步提取廣義Chirplet變換。然而,SET無法實現(xiàn)信號的精確重構,因此,Yu等[20]進一步提出了多重同步壓縮變換(multi-synchrosqueezing transform, MSST),該方法對STFT獲得的時頻圖執(zhí)行多次同步壓縮處理,從而有效提高了時頻能量的聚集性。
本文對廣義S變換(generalized S-transform,GST)的窗函數(shù)進行了改進,并根據(jù)能量集中度(concentration measure, CM)[21]選取窗函數(shù)的參數(shù),同時結合MSST,提出了一種新穎的改進多重同步擠壓廣義S變換(improved multi-synchrosqueezing generalized S-transform, IMSSGST)。在數(shù)值模擬方面,采用兩層剪切框架時變結構驗證該方法的準確性;試驗方面,采用某七層鋼筋混凝土(reinforced concrete, RC)剪力墻振動臺的試驗數(shù)據(jù)進行了時頻分析,用于驗證該方法在實際工程中的實用性和準確性。
ST是STFT和連續(xù)小波變換(continue wavelet transform,CWT)相結合聯(lián)合起來的一種時頻分析方法,其特點是引入了寬度和頻率成反比的高斯窗
(1)
式中:Sx(τ,f)為ST;x(t)為原始信號;g(t)為窗函數(shù);τ為時移因子;f為頻率。g(t)的表達式為
(2)
將式(2)代入式(1),可以得到ST的表達式,即
(3)
ST具有完全可逆性,其逆變換如式(4)所示
(4)
(5)
將式(5)代入式(1)即可得到GST,其計算結果為
(6)
(7)
該窗函數(shù)可以通過多項式來表達GST中的窗函數(shù)。將式(7)代入式(1)得到IGST(improred GST)的計算結果如式(8)所示
(8)
IGST的頻域表達式如式(9)所示
(9)
本文采用能量CM的方法進行計算
(10)
對IGST進行歸一化處理,可得
(11)
則,IGST的優(yōu)化問題可由式(12)表示
(12)
優(yōu)化問題的約束條件與所分析窗口的寬度范圍有關,窗口不應太窄而改變時間分辨率,但也不能太寬而影響頻率分辨率,即
(13)
式中:Ts為采樣周期;f∈[fmin,fmax];fmin=1 Hz;為滿足奈奎斯特采樣定理,fmax取采樣頻率的一半。式(13)可簡化為
(14)
在Zidelmal等和He等的研究中,相關學者令m∈(0,3],p∈[0,3],r=[0,1],K=10,L=1 000。本文采用相同的邊界條件,因此,最終的優(yōu)化問題如下所示
(15)
通過優(yōu)化算法對上述問題進行求解即可得到IGST窗函數(shù)的參數(shù)值。
原信號的瞬時頻率ωi(τ,f)可由式(16)得到
(16)
其中,
(17)
所以,對信號x(t)的IGST計算結果Gx(τ,f)進行單次壓縮,可得
(18)
進行多次擠壓,可得IMSSGST的計算結果如式(19)所示
…
(19)
其中,
(20)
實際工程結構往往受到極限荷載或周期荷載的作用,結構的剛度也會隨之發(fā)生改變,其響應信號的瞬時頻率往往也會隨之改變。為了驗證該方法對結構瞬時頻率識別的可行性,建立兩層框架模型進行驗證,如圖1所示。該結構的剛度會隨著時間變化,結構的具體參數(shù)如表1所示。
圖1 兩層剪切框架結構Fig.1 Two-layer shear frame structure
表1 兩層剪切框架結構模型參數(shù)
框架結構相應的運動方程
(21)
結構的剛度按式(22)和式(23)變化,其時變剛度如圖2所示。
(22)
(23)
圖2 框架結構剛度Fig.2 Stiffness of frame structure
通過矩陣特征值計算,可得框架結構的理論瞬時頻率如圖3所示。
對該框架結構進行白噪聲激勵,用Runge-Kutta法求得結構的位移,速度及加速度響應。采樣頻率為50 Hz,采樣時間為30 s。其中:噪聲激勵如圖4所示;第一層結構加速度響應見如圖5所示。
圖4 白噪聲激勵Fig.4 White noise excitation
圖5 白噪聲激勵下第一層的加速度響應Fig.5 Acceleration response of first layer under white noise
為了確定IMSSGST的壓縮次數(shù),本文采用瞬時頻率在整個時間歷程內(nèi)的均方根值作為瞬時頻率識別精度的指標(index of accuracy,IA)。IA值越小,說明識別值與理論值越接近。隨著壓縮次數(shù)的增加,IA值會趨于平穩(wěn),以此來確定IMSSGST的壓縮次數(shù)。IA值的計算方法如下所示
(24)
式中:fd(t)為瞬時頻率識別值;fe(t)為瞬時頻率理論值。
MSST和IMSSGST識別的低頻的精度值基本保持一致,但在高頻處,IA值在第4次和第5次達到最小,識別的精度最高,如圖6所示。本文將采用一次、兩次和四次壓縮分別對信號進行頻率識別。
圖6 壓縮1~10次的IA值Fig.6 IA value compressed 1-10 times
對加速度響應信號進行IMSSGST及MSST時頻分析,壓縮次數(shù)為一次、兩次和四次,其中,通過優(yōu)化算法得到IMSSGST的參數(shù):m=3,p=2.155 1,r=0.645 4。時頻分析結果如圖7所示。從圖7可知,隨著壓縮次數(shù)的增加,IMSSGST、MSST的時頻能量更加集中。
提取四次壓縮后的頻率如圖8所示。從圖8可知,通過多次壓縮后,IMSSGST和MSST均能有效識別該框架結構的瞬時頻率,且識別值與理論值保持在較小的誤差范圍內(nèi),有較高的實用性。
圖7 時頻分析結果Fig.7 Time frequency analysis results
圖8 瞬時頻率識別結果Fig.8 Instantaneous frequency identification results
為了驗證IMSSGST對實際工程結構瞬時頻率的識別效果,本文對加州大學圣地亞哥分校Panagiotou等[24]設計完成的七層RC剪力墻振動臺的試驗數(shù)據(jù)進行了時頻分析。施加于結構的地震波加速度及剪力墻的加速度響應,分別如圖9和圖10所示。
圖9 施加在剪力墻的地震波Fig.9 Seismic wave applied to the shear wall
圖10 剪力墻的加速度響應Fig.10 Acceleration response of shear wall
分別用IMSSGST、MSST對測得的加速度響應信號進行時頻分析,壓縮次數(shù)為一次、兩次和四次,時頻分析結果如圖10所示。在IMSSGST中,通過優(yōu)化算法得到m=1.346 9,p=3,r=0.917 0。由圖11可知:隨著壓縮次數(shù)的增加,IMSSGST、MSST識別出的頻率脊線也更加準確、明顯;在相同壓縮次數(shù)下,與MSST相比,IMSSGST的曲線波動更小,這有利于提取結構的瞬時頻率。
圖11 剪力墻的多次壓縮時頻分析結果Fig.11 Time-frequency analysis results of shear wall
采用極值法提取IMSSGST、MSST四次壓縮后的瞬時頻率,頻率提取結果如圖12所示。從圖12可知,該RC剪力墻結構在地震激勵作用下的頻率范圍在0.8~2.1 Hz,IMSSGST和MSST都能有效地識別其頻率范圍,但是,IMSSGST識別的瞬時頻率的曲線更加光滑,曲線波動更小。
圖12 四次壓縮后剪力墻的頻率識別結果Fig.12 Frequency identification result of shear wall after four-synchrosqueezing
本文結合IGST和MSST,提出了新穎的IMSSGST,并將其應用到工程結構的瞬時頻率識別中。對兩層剪切框架和七層RC剪力墻結構進行了瞬時頻率識別,數(shù)值模擬和試驗結果表明:
(1) 將CM原理和參數(shù)優(yōu)化算法結合起來,可以快速得到IGST中調節(jié)因子的參數(shù),有效地縮短了IGST的計算時間。
(2) 通過多次壓縮后,IMSSGST識別的瞬時頻率更加準確,能量更加集中,有效地改善了IMSSGST的頻率識別效果。
(3) 與MSST算法相比,壓縮相同次數(shù)的情況下,IMSSGST識別的頻率曲線更加光滑,曲線波動更小,且與理論值更加接近,是一種準確、高效的時頻分析方法。