肖 瀟， 黃智文， 陳政清， 華旭剛

(1. 湖南大學(xué) 風(fēng)工程與橋梁工程省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南大學(xué) 振動(dòng)與沖擊技術(shù)研究中心，長(zhǎng)沙 410082)

斜拉索具有自振頻率低、固有阻尼小等特點(diǎn)，極易發(fā)生風(fēng)雨振、渦振和參數(shù)共振等振動(dòng)病害[1]。理論研究和工程實(shí)踐表明，安裝索端阻尼器是減小各類(lèi)拉索振動(dòng)病害的有效措施[2-3]。按阻尼特性來(lái)分，目前使用最廣泛的索端阻尼器主要有線(xiàn)性黏滯阻尼器和磁流變阻尼器。前者采用被動(dòng)控制策略，能給中等長(zhǎng)度的拉索提供足夠的附加阻尼，有效抑制拉索振動(dòng)。然而，千米級(jí)斜拉橋的拉索長(zhǎng)度超過(guò)500 m, 其多個(gè)模態(tài)都有發(fā)生大幅振動(dòng)的可能，因此要求索端阻尼器能為拉索的多個(gè)模態(tài)都提供足夠的附加阻尼。線(xiàn)性黏滯阻尼器可為拉索提供的最大附加模態(tài)阻尼比僅由其安裝高度決定，且阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)與拉索的模態(tài)階次成反比[4-7]。隨著拉索長(zhǎng)度的不斷增大，阻尼器的相對(duì)安裝高度也不斷減小，線(xiàn)性黏滯阻尼器也就越難同時(shí)為拉索多個(gè)模態(tài)提供足夠的附加阻尼；另一方面，磁流變阻尼器的阻尼系數(shù)可以由輸入電流的大小來(lái)調(diào)節(jié)，從而可以通過(guò)利用半主動(dòng)控制算法對(duì)拉索多個(gè)模態(tài)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制[8-10]。然而，基于半主動(dòng)控制算法的磁流變阻尼器需要有穩(wěn)定的電源供應(yīng)，還要防止因磁流變液沉淀而導(dǎo)致的性能退化[11]。

近年來(lái)，基于負(fù)剛度阻尼器和慣質(zhì)的拉索被動(dòng)耗能減振理論受到關(guān)注[12-14]。在保持拉索安裝高度不變的條件下，在線(xiàn)性黏滯阻尼器系統(tǒng)中引入負(fù)剛度或慣質(zhì)，都可以顯著提高阻尼器系統(tǒng)對(duì)拉索單個(gè)模態(tài)的減振效果。然而相比單模態(tài)控制，引入負(fù)剛度或慣質(zhì)對(duì)提升拉索多模態(tài)的減振效果并沒(méi)有那么顯著。一個(gè)重要的原因在于引入了負(fù)剛度或慣質(zhì)后，減振系統(tǒng)中線(xiàn)性黏滯阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)仍然與拉索模態(tài)階次相關(guān)，因此難以實(shí)現(xiàn)多個(gè)模態(tài)的最優(yōu)控制[15]。

除線(xiàn)性黏滯阻尼器外，指數(shù)型液體黏滯阻尼器和摩擦阻尼器等非線(xiàn)性阻尼器的拉索減振效果也受到一些學(xué)者的關(guān)注。Main等[16]基于單位周期內(nèi)非線(xiàn)性阻尼力與拉索張力之間的不平衡力均方差最小的原則，推導(dǎo)了指數(shù)型液體黏滯阻尼器最優(yōu)阻尼系數(shù)的解析表達(dá)式，并發(fā)現(xiàn)當(dāng)阻尼器的速度指數(shù)α=0.5時(shí)，其最優(yōu)阻尼系數(shù)與拉索模態(tài)階次無(wú)關(guān)。Krenk等[17]利用非線(xiàn)性阻尼器在一個(gè)周期內(nèi)耗能與線(xiàn)性阻尼器相等的原則，推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階阻尼力模型和指數(shù)型液體黏滯阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)表達(dá)式。基于Krenk等提出的上述等效線(xiàn)性方法，Hoang等[18]分析了摩擦阻尼器和雙折線(xiàn)阻尼器等非線(xiàn)性阻尼器的拉索減振效果，并發(fā)現(xiàn)通過(guò)合理的參數(shù)設(shè)計(jì)，可以使各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼器參數(shù)較為接近，從而達(dá)到比線(xiàn)性阻尼器更好的多模態(tài)減振效果。周?？〉萚19]和王慧萍等[20]分別通過(guò)試驗(yàn)和有限元分析發(fā)現(xiàn)摩擦阻尼器可提供的最大附加模態(tài)阻尼比大于線(xiàn)性黏滯阻尼器，且附加模態(tài)阻尼比具有振幅依賴(lài)性。Chen等[21]提出了采用諧波平衡法分析安裝有指數(shù)型液體黏滯阻尼器和摩擦阻尼器的斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并證明了上述非線(xiàn)性阻尼器可提供的最大附加模態(tài)阻尼比高于線(xiàn)性黏滯阻尼器。

本文研究一種非線(xiàn)性速度型阻尼器—新型軸向電渦流阻尼器(ball screw type axial eddy current damper，BS-ECD)對(duì)拉索多模態(tài)的減振效果。首先介紹了新型軸向電渦流阻尼器的非線(xiàn)性阻尼特性，并根據(jù)耗能相等的原則計(jì)算了其等效阻尼系數(shù)的解析表達(dá)式。然后基于等效線(xiàn)性化假定，推導(dǎo)了拉索附加模態(tài)阻尼比與BS-ECD設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系，并以使拉索多個(gè)模態(tài)附加阻尼比的最小值最大化為目標(biāo)，開(kāi)展了軸向電渦流阻尼器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)和減振效果評(píng)價(jià)，最后分析了最優(yōu)參數(shù)偏差和阻尼器位移幅值變化對(duì)控制效果的影響。

1 電渦流阻尼器的非線(xiàn)性阻尼特性

在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域，長(zhǎng)期以來(lái)都認(rèn)為電渦流阻尼是一種線(xiàn)性阻尼[22]。實(shí)際上，類(lèi)似于電渦流緩速器[23]，隨著導(dǎo)體板與磁場(chǎng)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度不斷增大，電渦流阻尼的速度非線(xiàn)性會(huì)逐漸顯著。近年來(lái)，陳政清教授團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了基于滾珠絲杠的新型軸向電渦流阻尼器，如圖1所示，利用滾珠絲杠的放大作用，導(dǎo)體板和磁場(chǎng)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可以達(dá)到10 m/s的量級(jí)。通過(guò)理論分析[24]和大型阻尼器性能試驗(yàn)[25-26]，表明BS-ECD的阻尼特性具有顯著的速度非線(xiàn)性，而且能夠用Wouterse模型進(jìn)行較好地描述。

圖1 BS-ECD的構(gòu)造原理示意圖Fig.1 Schematic of the BS-ECD

Wouterse[27]模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)所示

(1)

根據(jù)式(1)繪制的阻尼力速度曲線(xiàn)，如圖2所示?？梢钥吹剑珺S-ECD的阻尼力速度非線(xiàn)性與傳統(tǒng)的液體黏滯阻尼器存在顯著差異：在臨界速度以前，電渦流阻尼力隨著軸向速度的增加而增加，但增速逐漸減小；達(dá)到臨界速度時(shí)，阻尼力達(dá)到峰值；超過(guò)臨界速度以后，電渦流阻尼力呈逐漸下降的趨勢(shì)。因此，BS-ECD的臨界速度vc越小，阻尼力的速度非線(xiàn)性效應(yīng)越強(qiáng)。

圖2 電渦流阻尼力-速度曲線(xiàn)Fig.2 Eddy current damping force-speed curve

根據(jù)Krenk等提出的等效線(xiàn)性化原則，在分析非線(xiàn)性阻尼器性能及參數(shù)優(yōu)化時(shí)，采用阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)耗能與線(xiàn)性黏滯阻尼力相等來(lái)得到對(duì)應(yīng)的非線(xiàn)性阻尼器的等效阻尼系數(shù)ceq

(2)

(3)

從式(3)可以看到，BS-ECD的等效阻尼系數(shù)不僅與拉索參數(shù)有關(guān)，還與阻尼器的臨界速度、峰值阻尼力，以及阻尼器安裝處拉索的位移幅值up有關(guān)。

非線(xiàn)性液體黏滯阻尼器是目前應(yīng)用最為廣泛的一種被動(dòng)耗能減振裝置，其數(shù)學(xué)模型為[28]

(4)

式中：cα為黏滯阻尼器的阻尼系數(shù)；α為速度指數(shù); sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。當(dāng)α=1時(shí)，式(4)正好表示線(xiàn)性黏滯阻尼器的數(shù)學(xué)模型。非線(xiàn)性黏滯液體阻尼器的等效阻尼系數(shù)可表示為[29]

(5)

2 拉索多模態(tài)減振性能分析

2.1 拉索-BS-ECD系統(tǒng)的附加模態(tài)阻尼比

本文采用張緊弦模型來(lái)描述斜拉索，張緊弦-BS-ECD的物理模型如圖3所示。張緊弦模型雖然簡(jiǎn)單，但是能反映拉索的主要受力特性，而且相關(guān)研究結(jié)論只要經(jīng)過(guò)適當(dāng)修正就能推廣到考慮垂度和抗彎剛度的斜拉索。

基于等效線(xiàn)性化原則，可以用等效阻尼系數(shù)來(lái)衡量并計(jì)算非線(xiàn)性阻尼器的阻尼性能和拉索-非線(xiàn)性阻尼器系統(tǒng)的等效附加模態(tài)阻尼比，其中系統(tǒng)的無(wú)量綱阻尼系數(shù)、模態(tài)阻尼比公式為

(6)

(7)

式中：ηn為無(wú)量綱阻尼系數(shù)；xp為阻尼器距拉索錨固端的距離；H為拉索張力；ζn為拉索第n階模態(tài)的附加阻尼比；L為拉索長(zhǎng)度。

圖3 拉索-BS-ECD系統(tǒng)的張緊弦模型Fig.3 The model of taut cable with BS-ECD

觀(guān)察式(7)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)量綱阻尼系數(shù)ηn=1時(shí)，拉索模態(tài)阻尼比達(dá)到最大值0.5xp/L。將式(3)代入式(6)，同時(shí)令ηn=1可得

(8)

由式(6)可知，對(duì)于線(xiàn)性黏滯阻尼器，當(dāng)指定拉索安裝位置時(shí)，只存在唯一的阻尼系數(shù)使某一階的控制效果達(dá)到最優(yōu)。而從式(8)可以看出，由于BS-ECD存在臨界速度vc和峰值阻尼力Fm兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，在對(duì)阻尼器進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)后，可以使拉索的第i階模態(tài)和第j階模態(tài)同時(shí)取到最優(yōu)值。此時(shí)BS-ECD的臨界速度vc滿(mǎn)足

(9)

如果指定了拉索受控模態(tài)i和j，通過(guò)求解式(9)后可以求得相應(yīng)的臨界速度vc，再代入式(8)便可以求出電渦流阻尼力峰值Fm。

接下來(lái)以Hoang等研究中的斜拉索為例，來(lái)說(shuō)明軸向電渦流阻尼器的參數(shù)特點(diǎn)。拉索單位長(zhǎng)度質(zhì)量m=132 kg/m,索長(zhǎng)L=540 m,張拉力H=8 270 kN，阻尼器安裝位置距拉索錨固點(diǎn)距離xp=10 m，阻尼器位移幅值up=2 cm。假定軸向電渦流阻尼器可以使拉索第1階模態(tài)和第4或第8或第15階模態(tài)的無(wú)量綱阻尼系數(shù)等于1，則根據(jù)式(9)和式(8)可以得到如表1所示的軸向電渦流阻尼器參數(shù)?？梢钥吹剑S向電渦流阻尼器的臨界速度介于0.045～0.085 m/s，它可以通過(guò)調(diào)整阻尼器中的導(dǎo)體板厚度和滾珠絲杠的導(dǎo)程實(shí)現(xiàn)。峰值阻尼力介于16～27 kN，它可以通過(guò)調(diào)整永磁鐵的數(shù)量實(shí)現(xiàn)。

表1 滿(mǎn)足不同設(shè)計(jì)工況的軸向電渦流阻尼器參數(shù)Tab.1 The ECD’s parameters corresponding to the optimal modal damping ratio in cable’s first and highest mode simultaneously

依據(jù)等效線(xiàn)性化原則，對(duì)于非線(xiàn)性液體黏滯阻尼器而言，當(dāng)ηn=1時(shí)阻尼器參數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足

(10)

若假定非線(xiàn)性黏滯液體阻尼器也能使拉索某兩階模態(tài)的阻尼比同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值，則對(duì)應(yīng)的阻尼器參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足

(11)

求解式(11)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)α=0時(shí)，拉索的各階模態(tài)阻尼比可以同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，即此時(shí)非線(xiàn)性黏滯液體阻尼器轉(zhuǎn)變?yōu)槟Σ磷枘崞鳌?/p>

2.2 多模態(tài)減振參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及結(jié)果對(duì)比

長(zhǎng)拉索的前幾階模態(tài)都有發(fā)生大幅振動(dòng)的可能，所以對(duì)于拉索的多模態(tài)減振，設(shè)計(jì)目標(biāo)應(yīng)使拉索前幾階模態(tài)的附加阻尼比都盡可能大。根據(jù)該設(shè)計(jì)目標(biāo)，當(dāng)確定了設(shè)計(jì)關(guān)注的拉索前n階模態(tài)后，軸向電渦流阻尼器的參數(shù)采用如下方式進(jìn)行優(yōu)化：確定一組電渦流參數(shù)(Fm,vc)，使拉索前n階模態(tài)中模態(tài)阻尼比的最小值達(dá)到最大，即求解下列最優(yōu)化問(wèn)題

在部署方式上，支持分布式部署和負(fù)載均衡配置。各子站擁有獨(dú)立的域名，并支持獨(dú)立的子站維護(hù)管理體系，同時(shí)主站與各子站、子站間的信息可以互相共享呈送，實(shí)現(xiàn)站點(diǎn)間的數(shù)據(jù)調(diào)度與交換，即采用“Web服務(wù)器+數(shù)據(jù)庫(kù)服務(wù)器+數(shù)據(jù)存儲(chǔ)”架構(gòu)。網(wǎng)站群的主站與各子站W(wǎng)eb應(yīng)用和數(shù)據(jù)庫(kù)可部署在同一或不同服務(wù)器上。

max{min[ζ1(Fmax,vc),ζ2(Fmax,vc),…,
ζn(Fmax,vc)]}

(12)

非線(xiàn)性黏滯阻尼器的參數(shù)采用同樣的目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。

以2.1節(jié)所述的拉索參數(shù)和阻尼器安裝位置為例，基于上述優(yōu)化策略，分別以拉索前4階和前8階模態(tài)為控制目標(biāo)，求解了軸向電渦流阻尼器的最優(yōu)臨界速度和最優(yōu)峰值阻尼力，結(jié)果如表2所示?？梢钥吹剑缮鲜鰞?yōu)化策略得到的電渦流最優(yōu)臨界速度與表1中通過(guò)式(9)所求得的結(jié)果一致，但兩種情況下所得到的峰值阻尼力不同。這表明在上述多模態(tài)優(yōu)化策略所得到的電渦流最優(yōu)臨界速度下，通過(guò)調(diào)整電渦流阻尼器的峰值阻尼力可以使拉索第1階和第n階模態(tài)的無(wú)量綱附加阻尼比同時(shí)達(dá)到最大值0.5。

表2 電渦流阻尼器參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results of critical speed parameters of eddy current damper

圖4(a)和圖4(b)分別給出了拉索受控模態(tài)為1～4階和1～8階時(shí),拉索無(wú)量綱附加模態(tài)阻尼比ζn/(xp/L)隨BS-ECD峰值阻尼力的變化規(guī)律，其中阻尼器的臨界速度取表2所示的最優(yōu)值?？梢钥闯?，第1階和第n階模態(tài)阻尼比曲線(xiàn)正好重合，而從第2～第n階模態(tài)，與最大附加模態(tài)阻尼比0.5xp/L對(duì)應(yīng)的阻尼器峰值阻尼力隨著模態(tài)階次的增加而緩慢增加，從而使BS-ECD可以達(dá)到更好的多模態(tài)減振效果。以圖4(b)為例，與第2階模態(tài)最大附加阻尼比對(duì)應(yīng)的阻尼力峰值為12 kN，而與第8階模態(tài)對(duì)應(yīng)的峰值阻尼力為22 kN。

圖4 最優(yōu)臨界速度下拉索無(wú)量綱模態(tài)阻尼比隨峰值阻尼力的變化曲線(xiàn)Fig.4 Variations of cable’s modal damping ratio in different orders under the optimal critical velocity

從圖4可以進(jìn)一步得到，當(dāng)臨界速度和峰值阻尼力都取最優(yōu)值時(shí)，拉索各階模態(tài)的無(wú)量綱附加阻尼比結(jié)果如圖5所示。從圖5(a)可以看到，當(dāng)拉索受控模態(tài)為1～4階時(shí)，各階模態(tài)無(wú)量綱附加阻尼比分別為0.496，0.494，0.498和0.498，都非常接近最大值0.5；從圖5(b)可以看到，當(dāng)拉索受控模態(tài)為1～8階時(shí)，各階模態(tài)無(wú)量綱附加阻尼比都大于0.48，說(shuō)明BS-ECD對(duì)拉索的多模態(tài)振動(dòng)有較好的控制效果。

圖5還對(duì)比了BS-ECD與非線(xiàn)性液體黏滯阻尼器的優(yōu)化結(jié)果?？梢钥吹?，速度指數(shù)α越小，非線(xiàn)性液體黏滯阻尼器的多模態(tài)減振效果就越好，其中當(dāng)α=0.3時(shí)，拉索各階模態(tài)的附加阻尼比與軸向電渦流阻尼器基本相當(dāng)。當(dāng)非線(xiàn)性液體黏滯阻尼器退化為線(xiàn)性黏滯液體阻尼器時(shí)，多模態(tài)控制效果較差。

圖5 電渦流阻尼器與黏滯阻尼器對(duì)拉索多模態(tài)減振性能比較Fig.5 Comparison of eddy current damper and viscous damper on cable’s multi-mode vibration control performance

3 多模態(tài)減振效果地參數(shù)敏感性分析

3.1 阻尼器最優(yōu)參數(shù)敏感性分析

在實(shí)際工程中，BS-ECD的實(shí)際參數(shù)可能偏離最優(yōu)設(shè)計(jì)值，因此有必要分析多模態(tài)減振效果對(duì)阻尼器最優(yōu)參數(shù)的敏感性。分別考慮阻尼力峰值Fm和臨界速度vc從最優(yōu)值偏離±20%，得到受控模態(tài)分別為第1～4階和第1～8階時(shí)，拉索附加模態(tài)阻尼比的變化情況，如圖6和圖7所示。

從圖6(a)和圖6(b)可以看到，當(dāng)峰值阻尼力或臨界速度從最優(yōu)值偏離時(shí)，BS-ECD能為拉索前4階模態(tài)提供的附加阻尼比最小值的最大值都會(huì)有一定程度的降低，但降幅非常小。例如，當(dāng)峰值阻尼力最優(yōu)值偏離-20%時(shí)，前4階模態(tài)的無(wú)量綱模態(tài)附加阻尼比中的最小值從0.497降低到0.475，相對(duì)降幅為4.6%；當(dāng)臨界速度從最優(yōu)值偏離-20%時(shí)，前4階無(wú)量綱模態(tài)附加阻尼比中的最小值降低到0.488，相對(duì)降幅為1.9%。

圖6 最優(yōu)電渦流阻尼參數(shù)敏感性分析(n=4)Fig.6 Sensitivity analysis of optimal ECD parameters (n=4)

圖7 最優(yōu)電渦流阻尼參數(shù)敏感性分析 (n=8)Fig.7 Sensitivity analysis of optimal ECD parameters (n=8)

綜上所述，BS-ECD對(duì)拉索前8階模態(tài)的減振效果和阻尼器的最優(yōu)參數(shù)偏離敏感度都較低，因此能夠較好地適應(yīng)實(shí)際工程中的設(shè)計(jì)和制作偏差。

3.2 阻尼器位移幅值敏感性分析

由式(3)可知，拉索-BS-ECD系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比除了與拉索和阻尼器物理參數(shù)有關(guān)以外，還與阻尼器的位移幅值相關(guān)。實(shí)際工程采用的拉索可在一定行程范圍內(nèi)工作，因此有必要分析附加模態(tài)阻尼比對(duì)阻尼器位移幅值的敏感性。表2給出的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果是針對(duì)阻尼器安裝處拉索的位移幅值等于0.02 m的情況。圖8在此基礎(chǔ)上分析了當(dāng)阻尼器位移幅值變化時(shí)，拉索前4階或前8階模態(tài)附加阻尼比的變化情況。

從圖8(a)和圖8(b)可以看到，當(dāng)BS-ECD的工作行程偏離其設(shè)計(jì)位移幅值時(shí)，各階模態(tài)的附加阻尼比都會(huì)逐漸降低，而且模態(tài)階次越高，受到的影響就越大。例如，在圖8(a)中，當(dāng)阻尼器位移幅值在0～0.02 m內(nèi)變化時(shí)，拉索第1階模態(tài)的阻尼比變化幅度僅為3.3%，但第4階模態(tài)的無(wú)量綱模態(tài)阻尼比從設(shè)計(jì)值0.498降低到了0.18，降幅達(dá)到了60%左右。對(duì)比圖8(b)和圖8(a)可以發(fā)現(xiàn)，隨著受控模態(tài)階次的增多，高階模態(tài)的附加阻尼比受阻尼器位移幅值的影響也越明顯。

圖8 拉索各階模態(tài)阻尼比隨阻尼器位移變化情況比較Fig.8 Comparison of the damping ratio of each mode of the cable with the displacement of the damper

盡管由BS-ECD提供的拉索附加模態(tài)阻尼比對(duì)阻尼器位移幅值比較敏感，但振幅敏感性可能并不會(huì)降低BS-ECD這類(lèi)非線(xiàn)性阻尼器對(duì)風(fēng)雨振、渦振等拉索流固耦合振動(dòng)的減振控制效果。從理論上看，在風(fēng)荷載作用下，拉索的位移響應(yīng)是逐漸增加的，當(dāng)阻尼器位移響應(yīng)未達(dá)到設(shè)計(jì)值時(shí)，它提供的附加阻尼比也較小，此時(shí)拉索和阻尼器的位移響應(yīng)都繼續(xù)增加。當(dāng)阻尼器的位移響應(yīng)增加到接近設(shè)計(jì)值時(shí)，它提供的附加模態(tài)阻尼比也達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)，此時(shí)阻尼器耗能和風(fēng)荷載輸入的能量達(dá)到平衡，拉索響應(yīng)不再增加。因此，如從時(shí)域上看，振幅依賴(lài)性可能不會(huì)對(duì)BS-ECD的減振效果造成影響，但仍應(yīng)再仔細(xì)研究。

針對(duì)非線(xiàn)性阻尼器拉索減振性能的振幅依賴(lài)性，Hoang等提出將具有振幅依賴(lài)的拉索附加模態(tài)阻尼比在阻尼器的工作行程ΔDc內(nèi)平均，得到具有行程平均意義的附加模態(tài)阻尼比。對(duì)于電渦流阻尼器而言，行程平均意義的模態(tài)阻尼比可表示為

(13)

根據(jù)式(13)，圖9(a)和圖9(b)給出了當(dāng)阻尼器工作行程設(shè)計(jì)值為0.02 m拉索受控模態(tài)分別為前4階和前8階時(shí)，拉索前4階和前8階的平均附加模態(tài)阻尼比隨峰值阻尼力的變化情況。可以發(fā)現(xiàn)，考慮行程平均后，各階模態(tài)附加阻尼比的峰值均有不同程度的下降，而且模態(tài)階次越高，降低越嚴(yán)重。然而值得注意的是：即便在行程平均后拉索各階模態(tài)阻尼比的最大值會(huì)略有下降，但對(duì)于拉索多模態(tài)的減振效果來(lái)說(shuō)電渦流阻尼器還是要明顯優(yōu)于線(xiàn)性黏滯阻尼器。例如，對(duì)于拉索前8階模態(tài)的減振控制，從圖9(b)可以看到當(dāng)BS-ECD的臨界速度按2.2節(jié)的優(yōu)化結(jié)果取0.063 m/s，阻尼力峰值取9.75 kN，則BS-ECD能夠?yàn)槔鞯?～8階模態(tài)的無(wú)量綱附加模態(tài)阻尼比在0.408～0.494；另一方面，從圖5(b)可以看到，當(dāng)線(xiàn)性黏滯阻尼器按多模態(tài)減振控制優(yōu)化時(shí)，它可為拉索前8階模態(tài)提供的無(wú)量綱附加阻尼比在0.314～0.500，從控制效果的下限來(lái)看，明顯低于BS-ECD。

綜上所述，在進(jìn)行實(shí)橋拉索減振設(shè)計(jì)時(shí)，可以按照式(13)計(jì)算安裝電渦流阻尼器以后拉索各階模態(tài)的附加阻尼比，其中ΔDc取為電渦流阻尼器的設(shè)計(jì)行程，這樣可以偏保守地估計(jì)電渦流阻尼器的減振性能。

4 結(jié) 論

本文基于等效線(xiàn)性化理論分析了軸向電渦流阻尼器的速度非線(xiàn)性對(duì)拉索附加模態(tài)阻尼比的影響，并針對(duì)拉索多模態(tài)控制，計(jì)算了軸向電渦流阻尼器的最優(yōu)臨界速度、峰值阻尼力和附加模態(tài)阻尼比，評(píng)價(jià)了其減振性能，最后分析了阻尼器減振效果對(duì)最優(yōu)參數(shù)和位移峰值的變化的敏感性。主要結(jié)論如下：

(1) 存在一組軸向電渦流阻尼器的臨界速度和峰值阻尼力，可以使拉索任意兩階模態(tài)的附加阻尼比同時(shí)達(dá)到最大值。

(2) 當(dāng)指定阻尼器的工作行程時(shí)，通過(guò)參數(shù)優(yōu)化可以使軸向電渦流阻尼器的多模態(tài)減振效果優(yōu)于線(xiàn)性黏滯阻尼器和非線(xiàn)性液體黏滯阻尼器，且減振效果對(duì)最優(yōu)參數(shù)變化不敏感。

(3) 與其他非線(xiàn)性阻尼器一樣，軸向電渦流阻尼器提供的附加模態(tài)阻尼比也具有明顯的振幅依賴(lài)性，當(dāng)阻尼器的工作行程偏離設(shè)計(jì)值時(shí)，其減振效果會(huì)有較明顯的降低，后續(xù)應(yīng)仔細(xì)研究。