[摘? ?要]為說明抽象思想在數(shù)學教學活動中具體的思維活動以及現(xiàn)實表現(xiàn)，明確學生怎樣才算是經(jīng)歷了抽象的過程，以及數(shù)學教師應(yīng)如何加以引導，可以“沏茶問題”舉隅。在教學時應(yīng)將教學目標定位于“數(shù)學抽象思想的教與學”的層面，以培養(yǎng)學生數(shù)學思想素養(yǎng)為教學核心任務(wù)開展課堂教學，使學生經(jīng)歷“簡化與命名、一一對應(yīng)、比較與分類、次序化和序列化、數(shù)量刻畫”等具體的抽象思維活動，通過對比、質(zhì)疑、優(yōu)化等探究活動，體驗解決問題策略多樣性，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學學習的意義。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學;抽象;有序思考;學科核心素養(yǎng)

“抽象”一詞不僅經(jīng)常會被數(shù)學研究者、教育者所使用，還經(jīng)常出現(xiàn)在中小學教學研討或教師教學設(shè)計中。但是“抽象”到底有哪些具體的思維活動以及現(xiàn)實表現(xiàn)，學生怎樣的思維活動或探究行為才算是經(jīng)歷了抽象，教師又該如何引導并培育學生的抽象能力與素養(yǎng)呢？在此，筆者將結(jié)合“沏茶問題”的教學實踐談幾點認識。

“沏茶問題”是人教版義務(wù)教育教科書小學數(shù)學四年級下冊“數(shù)學廣角——優(yōu)化”單元的教學內(nèi)容。教材呈現(xiàn)了沏茶的生活情境，具體工序及用時可概括為“燒水8分鐘，洗水壺1分鐘，洗茶杯2分鐘，接水1分鐘，找茶葉1分鐘，沏茶1分鐘”，所要解決的問題是“怎樣盡快喝上茶”。教師引導學生確定沏茶工序、分析流程，繼而交流和探討怎樣安排才能節(jié)省時間，從而體驗解決問題策略的多樣性和優(yōu)化思想。但如果教師對這一內(nèi)容的教學價值追求止步于此，則對作為數(shù)學思想專題教學的“數(shù)學廣角”課程的定位缺乏充分的認識，對教材中蘊含的數(shù)學思想的挖掘也不夠深入，而且也必然會因此而忽視了對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育。筆者認為，“沏茶問題”中蘊含的最重要的數(shù)學思想應(yīng)該是“抽象”。

一、“沏茶問題”中抽象思想的層次定位

抽象性是數(shù)學最本質(zhì)的特征之一?！皵?shù)學的威力就在于它的抽象性;越撇開內(nèi)容，就越有廣泛應(yīng)用的可能。[1]”克萊因認為，數(shù)學從其抽象過程的特征來看，可以分為五種形式，包括理想化抽象、等置抽象、弱抽象、強抽象、無限抽象[2]。筆者認為，在中小學教學實踐中，需要指向?qū)W生抽象思想形成的層次與類別的劃分，要更為簡明且利于引導學生由淺入深、由表及里地理解認識數(shù)學抽象思想。

1.數(shù)學抽象活動的類別

數(shù)學的研究對象從本質(zhì)上來說都是經(jīng)過抽象的東西。如果從抽象的“前后對象”的區(qū)別來看，筆者認為“抽象”活動可分為三類，即從物到數(shù)的抽象、從物到形的抽象、數(shù)與形的抽象。從物到數(shù)的抽象，其根本性在于，數(shù)是對物體數(shù)量這一本質(zhì)的抽象，沒有這一類的抽象，數(shù)學也就無從談起了。在小學階段，能夠體現(xiàn)出“物—數(shù)”抽象并能轉(zhuǎn)化為學生核心素養(yǎng)的有“數(shù)感、量感、符號意識”等基礎(chǔ)能力;能夠體現(xiàn)“物—形”抽象的能力素養(yǎng)包括“直觀洞察、幾何直觀、空間意識”等;能夠體現(xiàn)“數(shù)—形”抽象的能力素養(yǎng)包括“數(shù)據(jù)意識、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型與應(yīng)用”等?！皵?shù)—形”抽象包括“從數(shù)到形”，也包括數(shù)與數(shù)的自系統(tǒng)，形與形的自系統(tǒng)。

2.數(shù)學抽象活動的層次

史寧中教授指出，抽象可分為“簡約階段、符號階段、普適階段”三個層次。簡約階段是指，把握事物的本質(zhì)，把復雜問題簡單化、條理化，進行清晰簡明的表達;符號化階段是指，去掉具體內(nèi)容，用概念、圖形、符號關(guān)系表述簡約的一類事物;普適階段是指，通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物[3]。受這種層次劃分的啟發(fā)，筆者認為，如果從“抽象”發(fā)生的復雜性和深刻性的角度分析，或可以包含五個層次：一是由客觀現(xiàn)實世界到基本理性認識的抽象;二是由基本理性認識到一般數(shù)學理性認識的抽象;三是由一般數(shù)學理性認識到嚴密邏輯推理的抽象;四是由嚴密邏輯推理到模型化應(yīng)用的抽象;五是由模型化應(yīng)用到創(chuàng)新領(lǐng)域生成發(fā)展的抽象。

二、“沏茶問題”中抽象思想的具體體現(xiàn)

“沏茶問題”中的抽象思想關(guān)涉“物—數(shù)、數(shù)—形”抽象，主要是從物到數(shù)的抽象，而教師恰恰容易忽視這一抽象，僅僅對解決問題中的事物給予關(guān)注，缺少了從事物到數(shù)的進一步抽象刻畫。從層次性來看，“沏茶問題”主要集中在第一、二層次的抽象，這也符合學生的相應(yīng)認知能力。抽象體現(xiàn)在以下幾個具體的階梯式發(fā)展的抽象活動中，各環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣。

1.簡化與命名

抽象經(jīng)驗不是憑空產(chǎn)生的，它必然建立在對客觀事物的觀察并產(chǎn)生直觀經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，只不過在由直觀表象轉(zhuǎn)向抽象的準備階段，還需要進行“抽絲剝繭”，這一過程就是“簡化與命名”。“簡化”是對紛繁復雜的信息進行分離和精簡，摒棄那些與問題解決無關(guān)的或非主要關(guān)聯(lián)的信息，保留關(guān)鍵信息。然后要對這些信息進行概括性的命名，以便以語言為載體進行思維，這是“抽象”運轉(zhuǎn)起來的前提，也是抽象的具體表現(xiàn)之一，是抽象發(fā)生的較早期的行為。在“沏茶問題”中，要把“沏茶”這一具體的工作簡化為六個工序，每個工序都給予簡單的命名，就是在進行抽象的“準備”工作。鑒于此教學內(nèi)容并不需要太多時間進行講解，有些教師還會覺得內(nèi)容“少了”，因此筆者建議不妨引導學生對“命名”進行符號化，比如“燒水——SS，洗水壺——XH，洗茶杯——XB，接水——JS，找茶葉——ZC，沏茶——QC”，在分析或設(shè)計流程時，以符號化的“命名”表達，既可以簡化流程設(shè)計，亦可潛移默化地培養(yǎng)“符號化”的抽象意識。

2.一一對應(yīng)

不同于集合運算中的“一一映射”，小學生應(yīng)建立的“一一對應(yīng)”意識是指能將觀察到的客觀事物與其抽象后的形式對應(yīng)起來，從而開啟初步的數(shù)學化思考。雖然這種思考顯然不是高度綜合的或系統(tǒng)化的，但卻是開啟理性認識大門的關(guān)鍵一環(huán)。皮亞杰就曾指出：“最基本的心理學觀察揭示，一一對應(yīng)是一種最原始的運算。[4]”在“沏茶問題”中，“一一對應(yīng)”的發(fā)生多由學生思維意識的高度自動化完成，以致于常常被教師忽略。這里的“一一對應(yīng)”表現(xiàn)在把沏茶的過程“分割”為一道道工序并與簡化命名對應(yīng)，并把每一道工序與其所用時間對應(yīng)。有了一一對應(yīng)，就構(gòu)成了“數(shù)守恒”的前提，由此就可以做到無論各工序的順序怎樣變，工序的個數(shù)都不變。而且無論怎樣調(diào)整順序，只要是“一件接著一件的做”，那么所用的總時間就是相等的?！耙灰粚?yīng)”對于學生思維認知結(jié)構(gòu)的形成具有重要的、長遠的作用，在教學中不能忽視。

3.比較與分類

“比較”是抽象過程中必不可少的一環(huán)，通過比較才能找出異同，才能認識共性，才有抽取共同性質(zhì)后發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)特征，抽象也就因此而有了意義。在比較之后進行的區(qū)分其實就是“分類”。有學者認為“邏輯分組和分類是數(shù)學的核心組成部分”。分類也是集合思維的基礎(chǔ)，集合又是最基本的數(shù)學結(jié)構(gòu)之一。皮亞杰則認為“分類既為邏輯概念也為數(shù)學概念的發(fā)展提供了基礎(chǔ)”[5]?！捌悴鑶栴}”中的各道工序大致可分為三類：一是關(guān)乎“水”，二是關(guān)乎“茶葉”，三是關(guān)乎“茶具”。對于學生來講，看似簡單的分類，其中已經(jīng)包含了抽象與推理。皮亞杰指出：一個類不能由知覺構(gòu)造而只能由邏輯構(gòu)造，因為必須以一系列抽象和概括為前提，類的意義才從哲學抽象和概括中得出[6]。在此內(nèi)容的教學中，“分類”的意義還在于對后續(xù)分析的鋪墊，也就是說只有在分類的基礎(chǔ)上才可討論“沏茶問題”中的“同時做”這一“包含”范疇的思考?！捌悴鑶栴}”解決策略的關(guān)鍵就在于不同類的事物具有同時進行的可能，由此才有了做同樣多的工序，總用時卻減少了，從而實現(xiàn)了節(jié)省時間的要求。但與“對應(yīng)”一樣，教師很容易忽視“比較與分類”的教與學。事實上，很多兒童之所以對數(shù)學難以“有感覺”，甚至經(jīng)常深陷困境，大部分是緣于他們頭腦中始終無法清晰地進行分類，難以發(fā)現(xiàn)事物之間的共性與區(qū)別。因此，作為抽象的重要環(huán)節(jié)，教師還是應(yīng)該適時提醒學生有意識地進行“比較與分類”的數(shù)學化思考，從而強化抽象的意識與能力，畢竟數(shù)學思想的培育才是數(shù)學教育的使命所在。

4.次序化和序列化

次序化和序列化思維，或稱之為“有序思考”，是優(yōu)秀思維品質(zhì)必不可少的要素。抽象思維之所以能充分體現(xiàn)出全面性、嚴謹性，與序列化的處理信息以及有序思考的思維習慣密切相關(guān)。皮亞杰認為：“在兒童思維中有一種非常原始的關(guān)于次序的結(jié)構(gòu)——序列化結(jié)構(gòu)，它象分類結(jié)構(gòu)一樣原始。[7]”“沏茶問題”中一個重要的教學活動就是要幫助學生厘清各種工序的“先后順序”，認識到哪些次序不變，哪些次序可以變換，如“洗水壺——接水——燒水”的先后順序就不能變，而在燒水時可同時進行的“找茶葉與洗茶具”就可以變換順序。教師切莫因為這里的“次序化與序列化”比較容易理解就一帶而過，恰好相反，這正是強化學生有序思考的好機會。

5.數(shù)量刻畫

人的理性認識的“大廈”是以抽象能力作為基石的，而數(shù)學抽象的建立又是抽象能力形成的主要標志。有數(shù)學家指出，數(shù)學說到底就是抽象的學問。數(shù)學抽象思想最為鮮明的特征就是對客觀事物或直觀表象進行“數(shù)量刻畫”。將具體的事物用相應(yīng)的“數(shù)據(jù)”或“數(shù)量”進行抽象的表達，繼而進行符號化、形式化的分析，以便更進一步地進行邏輯推理。在“沏茶問題”中，教師通常都能夠關(guān)注到“有序思考”，并繼而以流程圖（簡單的數(shù)學問題解決模型）的形式反映問題解決的策略，但是所采用的“刻畫”方式多以“文字結(jié)合箭頭”為主，缺少了最能反映抽象力量的“數(shù)量刻畫”。此時，教師若采用“數(shù)線”的方式，將沏茶的各項工序及流程刻畫出來，則能盡顯數(shù)學刻畫的簡潔明了。如，以1個單位的線段代表1分鐘，八個單位自然就代表8分鐘，線段的前后順序也就是工序的先后順序，線段上下擺放可表示包含關(guān)系，即代表可以同時做的兩類事物（見圖1）。

“數(shù)線”這一名稱引自柯普蘭在《兒童怎樣學習數(shù)學——皮亞杰研究的教育意義》一書中的的表述，他指出：“數(shù)線是個有用的發(fā)明，它能幫助所有兒童把算數(shù)的概念具體化?！薄皵?shù)線”不僅能夠直接反映出完成各工序的時間，而且能直接表達出總用時，把不同的完成工作的方法以相應(yīng)的“數(shù)線”表示出來，更易于對比。特別是在解決“不完全包含”的幾類事物時進行“數(shù)線”刻畫，其直觀優(yōu)勢更為明顯。這種“數(shù)線”刻畫突顯了數(shù)學問題解決形式的嚴謹與簡約，充滿抽象的味道，學生也會受到較強的思維觸動，從而對抽象過程的認識更深入，抽象素養(yǎng)也會得到較好的培育。

三、“沏茶問題”教學目標的建議

基于上面的分析，筆者建議教師在教學“沏茶問題”時應(yīng)將教學目標定位于“數(shù)學抽象思想的教與學”層面，以培養(yǎng)學生數(shù)學思想為核心任務(wù)開展課堂教學。在教學中，通過解決“沏茶問題”這一簡單生活事例，使學生經(jīng)歷“簡化與命名、一一對應(yīng)、比較與分類、次序化和序列化、數(shù)量刻畫”等具體的抽象思維活動過程，并通過對比、質(zhì)疑、優(yōu)化等探究活動，體驗解決問題策略的多樣性，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)“抽象”的學科核心素養(yǎng)，感悟“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”的數(shù)學學習的意義。

胡塞爾說：“世界本身必須是理性的世界，這種理性是在數(shù)學的自然中所獲得的新的意義的理性。[8]”胡塞爾所說的“理性”即為科學理性精神，科學理性精神在數(shù)學中的顯著特點就在于以數(shù)學化的思維認識世界，而數(shù)學化思維的核心就是“抽象”。數(shù)學教師無疑要擔起培養(yǎng)學生抽象能力與素養(yǎng)的任務(wù)，通過教學促使學生內(nèi)化抽象思想，樹立理性精神?？傊?，在數(shù)學的教與學的完整歷程中，對師生都不可或缺的就是——讓“抽象”真實發(fā)生。

參考文獻

[1]林夏冰.數(shù)學哲學譯文集[M].北京：知識出版社，1996：58.

[2]M.克萊因.古今數(shù)學思想（1）[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上?？茖W技術(shù)出版社，2014.

[3]史寧中.數(shù)學思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2015：3.

[4][7]皮亞杰.發(fā)生認識論原理[M].王憲鈿，譯.北京：商務(wù)印書館，1981.

[5][6]柯普蘭.兒童怎樣學習數(shù)學——皮亞杰研究的教育含義[M].李其維，唐請鑣，譯.上海：上海教育出版社，1985：61，64.

[8]胡塞爾.歐洲科學危機和超驗現(xiàn)象學[M].張慶熊，譯.上海：上海譯文出版社，1988：72.

鄭義富，廣東省中山市西區(qū)中心小學校長、西區(qū)中心小學集團校長，正高級教師;廣東省特級教師，廣東省名校長工作室主持人，兼任中山市人民政府責任督學，華南師范大學碩士研究生導師。主持國家、省、市級課題并取得科研成果十余項，在國家級刊物發(fā)表論文30余篇，著有《解放心靈的課堂》《為人格盛開》等著作。

作者簡介：鄭義富，廣東省中山市西區(qū)中心小學校長、特級教師，華南師范大學教育科學學院博士研究生，E-mail：1598138422@qq.com（廣東廣州，510631 ）