□滕艷艷 章勤瓊 厲夢妮

混合運(yùn)算是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，其本質(zhì)是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事時(shí)，用帶小括號的混合算式解決問題[1]。在實(shí)際教學(xué)中，有些教師比較注重混合運(yùn)算順序的教學(xué)，強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用小括號的能力，而對于小括號的含義，即先解決的問題要加上小括號這件事情含糊其詞?；旌线\(yùn)算的學(xué)習(xí)中應(yīng)關(guān)注哪些本質(zhì)內(nèi)涵？設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)任務(wù)能幫助學(xué)生更好地理解其本質(zhì)？從基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)思考框架出發(fā)[2]，對本單元的教學(xué)進(jìn)行整體思考。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

“混合運(yùn)算”單元一般設(shè)置在二年級下冊進(jìn)行教學(xué)。以北師大版和人教版教材為例，兩個(gè)版本的教學(xué)目標(biāo)定位如下。

人教版：讓學(xué)生正確理解和掌握含有兩級運(yùn)算的混合運(yùn)算順序；在實(shí)際情境中經(jīng)歷解決問題的過程，逐步學(xué)會列綜合算式解決需要兩步計(jì)算才能解決的問題；能正確按照運(yùn)算順序進(jìn)行脫式計(jì)算。

北師大版：在解決現(xiàn)實(shí)問題中經(jīng)歷抽象出混合算式的過程，理解混合算式的意義和運(yùn)算順序，并能正確按照運(yùn)算順序進(jìn)行脫式計(jì)算；會用分步算式或綜合算式解決問題；體會“先乘除后加減”的合理性以及小括號在混合運(yùn)算中的作用，掌握混合算式的運(yùn)算順序。

對比兩個(gè)版本教材的學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以看到內(nèi)容要求上的共性：理解混合算式的意義；能進(jìn)行脫式計(jì)算；掌握混合算式的運(yùn)算順序；列混合算式時(shí)靈活運(yùn)用括號。

（二）確定核心目標(biāo)

在混合運(yùn)算中出現(xiàn)的情況可能是大故事包含小故事，也可能是幾個(gè)并列的故事。在原本的意義上，這些故事應(yīng)當(dāng)分別講述，如果希望用一個(gè)式子表達(dá)大故事包含小故事，就形成了混合運(yùn)算。用小括號表示大故事包含的小故事，用加號表示并列的故事。為保證混合運(yùn)算的計(jì)算結(jié)果與分別計(jì)算的結(jié)果保持一致，就必須學(xué)習(xí)新的運(yùn)算順序。因?yàn)閷W(xué)生靈活運(yùn)用小括號列混合算式需要以新的運(yùn)算順序?yàn)榛A(chǔ)，所以確定本單元的核心目標(biāo)是理解小括號的含義并掌握混合算式的運(yùn)算順序。

（三）核心目標(biāo)具體化

1.理解小括號的含義

“數(shù)學(xué)中有四種括號，分別是圓括號（小括號）、方括號、花括號和線括號。括號的使用有一些講究，例如，5a-{3a-[(a-b)c+2ac-bc]}，這些括號不能省略，否則就會亂套。但在某些不必計(jì)較運(yùn)算順序的數(shù)學(xué)式子里，括號是可以省略的，如（ab）+c可以寫成ab+c?！盵3]可見，關(guān)于小括號，學(xué)生需要理解的是在混合運(yùn)算中，先算的部分用小括號來表示。而根據(jù)運(yùn)算順序去掉的括號，學(xué)生可以自主選擇去或者不去。

2.掌握混合算式的運(yùn)算順序

在混合運(yùn)算中，關(guān)于運(yùn)算順序有兩個(gè)法則：有括號，先計(jì)算括號里的；沒有括號，先乘除后加減。為什么要規(guī)定這樣的運(yùn)算順序呢？首先，在生活中應(yīng)用比較多。如“去菜場買了2 捆青菜，每捆1 元；買了3 斤魚，每斤5 元。一共要付多少錢”，先算每樣物品的錢，再加起來求付出的錢的總數(shù)，這樣計(jì)算比較簡便。如果規(guī)定“先加減后乘除”的話，在很多計(jì)算中都必須使用小括號，為了減少使用括號的麻煩，還是規(guī)定“先乘除”比較好。其次，從運(yùn)算效率上來看，乘除比加減快捷，為了達(dá)到在計(jì)算上迅速、方便的目的，人們就規(guī)定了“先乘除后加減”。

因此，混合算式運(yùn)算順序的具體內(nèi)涵是：通過列混合算式的過程，體會先乘除后加減的規(guī)定可以使算式更加簡潔。在解決問題中能根據(jù)新的運(yùn)算順序列出混合算式并正確進(jìn)行計(jì)算。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，對三年級270名學(xué)生的混合運(yùn)算掌握水平進(jìn)行前測?；诤诵哪繕?biāo)具體化的分析設(shè)計(jì)相應(yīng)的評價(jià)任務(wù)，結(jié)合學(xué)生的答題情況對其掌握水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析、層次劃分，構(gòu)建了混合運(yùn)算掌握水平表現(xiàn)性評價(jià)框架（如表1）。

表1

前測任務(wù)、設(shè)計(jì)意圖以及對應(yīng)水平層次如表2所示。

表2

每份前測單的答題情況能清楚地表明該學(xué)生處于哪個(gè)水平層次?？谒悴糠种兴袑W(xué)生都知道從左往右算，有78%的學(xué)生能辨析出二級運(yùn)算要先乘除后加減。解決問題部分中學(xué)生的水平層次劃分（水平2～4）具體標(biāo)準(zhǔn)如下：列出的混合算式是50-3×8和50-20÷5，沒有考慮到運(yùn)算順序和事情發(fā)展順序的一致性為水平2；若列混合算式時(shí)都加上了括號屬于水平3；若能根據(jù)從左往右的運(yùn)算順序靈活使用括號為水平4。

對前測數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（如圖1），有接近36%的學(xué)生處于水平0 和水平1 的層次，即列混合算式有困難。如果讓學(xué)生在實(shí)際情境中經(jīng)歷列混合算式的過程，那么這些學(xué)生要在一節(jié)課內(nèi)既學(xué)習(xí)如何列混合算式，又學(xué)習(xí)新的運(yùn)算規(guī)定，還要能運(yùn)用新的運(yùn)算規(guī)定靈活使用括號，難度偏大。因此，能利用已有知識分析數(shù)量關(guān)系，列出分步算式是學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，而能在考慮新的運(yùn)算順序的情況下將分步算式合并成混合算式是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)。

圖1

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，對本單元的學(xué)習(xí)路徑做了相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。

首先，創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，讓學(xué)生初步學(xué)會借助直觀圖等方式分析、表示數(shù)量關(guān)系，列出分步算式，經(jīng)歷在實(shí)際情境中抽象出混合算式的過程，并運(yùn)用小括號保證先算。其次，掌握兩級混合算式脫式計(jì)算的方法，并在實(shí)際情境中將脫式計(jì)算的過程與分步運(yùn)算的過程進(jìn)行一一對應(yīng)，感受解決問題策略的多樣性，培養(yǎng)有條理地?cái)⑹鲎约核伎歼^程的能力。再次，明確“先乘除后加減”的規(guī)則，讓學(xué)生經(jīng)歷二級混合運(yùn)算去括號的過程，體會運(yùn)算規(guī)定的合理性，使學(xué)生正確理解和掌握含有兩級運(yùn)算的混合算式的運(yùn)算順序，從而培養(yǎng)其在解決問題時(shí)靈活運(yùn)用括號的能力。最后，進(jìn)行同級混合運(yùn)算和二級混合運(yùn)算順序的對比辨析，使學(xué)生能真正地靈活運(yùn)用括號列混合算式。

四、單元整體教學(xué)思考

以人教版教材為基礎(chǔ)，在保證5課時(shí)教學(xué)時(shí)長不變的情況下調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。具體教學(xué)目標(biāo)為：以“畫圖”為輔助，從“明確數(shù)量關(guān)系”到“列混合算式”，培養(yǎng)抽象能力；以“檢驗(yàn)”為手段，從“不一致”到“一致”，培養(yǎng)反思意識；以“去括號”為契機(jī)，從“外化規(guī)定”到“內(nèi)化規(guī)定”，感受數(shù)學(xué)是講道理的；以“說故事”為載體，從“式”到“故事”、從“圖”到“故事”，培養(yǎng)應(yīng)用意識。每課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)如表3所示。

表3

續(xù)表