黃天國(guó)，徐 東，楊曉芳

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611130)

PM2.5是大氣中粒子直徑小于等于2.5 μm的微小顆粒，是可以進(jìn)入肺部的顆粒物，它的直徑非常微小，只有人頭發(fā)絲的1/20。雖然很小，但是其表面會(huì)吸附很多的有毒物質(zhì)，進(jìn)入人體后危害健康。它在空氣中停留的時(shí)間很長(zhǎng)，對(duì)人體傷害很大，會(huì)直接進(jìn)入呼吸系統(tǒng)，在呼吸道中滯留，造成呼吸道炎癥。不僅如此，還有一些微粒會(huì)進(jìn)入肺部，其大部分會(huì)進(jìn)入肺泡，在肺泡中沉積，造成肺部感染。其可以攜帶很多致病菌，隨著PM2.5濃度的增加，人類患癌概率在不斷增加。PM2.5會(huì)引起心血管疾病，它可以直接進(jìn)入血液，誘發(fā)血栓的形成。其引起炎癥后，呼吸道釋放細(xì)胞因子會(huì)引起血管損傷?；赟DIR模型，分析PM2.5的影響因素。

1 模型的符號(hào)表示

N(t)表示空氣中含有PM2.5的某地區(qū)的總?cè)丝?，S(t)表示該地區(qū)吸入PM2.5的容易感染疾病者的人數(shù)，I1(t)、I2(t)分別表示易感呼吸道疾病者和易感肺部疾病者，R(t) 表示因PM2.5太多或其他原因而移出的人數(shù)，當(dāng)?shù)厝丝诘妮斎肼蕿槌?shù)A，當(dāng)?shù)匾蚰挲g大的自然死亡率為μ，兩種疾病的感染系數(shù)分別為β1、β2。ε1、ε2分別為感染兩種疾病后因病死亡率，α1、α2分別為感染兩種疾病的恢復(fù)率。

2 模型的建立

建立如下SDIR模型：

(1)

上述模型忽略了疾病的延遲?？墒?，現(xiàn)實(shí)生活中，由于自身的免疫系統(tǒng)和粉塵傷害的不同，感染疾病者在吸入PM2.5或感染疾病后并不會(huì)立即發(fā)作。假設(shè)這兩種疾病存在的常數(shù)潛伏期為τ，E1、E2用表示吸入PM2.5后兩種感染疾病還在潛伏期的人數(shù)，建立如下的 SDEIR模型：

(2)

由于s、I1、I2不依賴于E1、E2，故將其從系統(tǒng)(2)中解耦出來(lái)，得到：

(3)

對(duì)τ>0，定義Banach空間C∈C([-τ，0]，R)，對(duì) Φ∈C，定義 Φ的范數(shù) ‖Φ‖=max{-τ≤θ≤0,Φ(θ)}。定 義C中的非負(fù)錐為C+=C([-τ，0]，R+)，C+×C+×C+就是要找的區(qū)域，系統(tǒng)(3)的初始條件是：

s(θ)=φ1(θ)

I1(t)=φ2(θ)

I2(t)=φ3(θ),θ∈[-τ,0]

3 平衡解的存在性

做變換s(t)=S(t)，i(t)=I1(t)，j(t)=I2(t+τ)，則系統(tǒng)(3)變?yōu)椋?/p>

(4)

因?yàn)椋?/p>

區(qū)域D是系統(tǒng)(4)的正不變集。在下面的討論中，令：

m=ε1+μ+α1,n=ε2+μ+α2

通過(guò)計(jì)算得：

(5)

其中，R1、R2分別是因?yàn)槿梭w免疫力加強(qiáng)后的基本再生數(shù)。定理1中，R1、R2、R3定義如上，以下 2 條結(jié)論成立。

(ii)當(dāng)R11時(shí)，系統(tǒng)(4)存在地方疾病平衡解E1(sx，ix，jx)。

證明：

β1s(t-τ)i(t-τ)e-μτ-(ε1+α1+μ)i(t)=0

(6)

β1sxixe-μτ-(ε1+α1+μ)ix=0

(7)

解得：

所以，當(dāng)R1 1時(shí)，ix>0，jx>0 ，即系統(tǒng)(4)存在地方疾病平衡解E1(sx，ix，jx)。

定理2：

定理3：

當(dāng)R11時(shí)，系統(tǒng)(4)的地方疾病平衡解E1(sx，ix，jx)，全局漸近穩(wěn)定。

4 模型的實(shí)際意義

經(jīng)過(guò)SDIR模型分析，當(dāng)實(shí)際生活中PM2.5爆發(fā)使系統(tǒng)(4)中兩種疾病同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，在對(duì)PM2.5的控制有好的趨向時(shí)，當(dāng)醫(yī)院的醫(yī)療設(shè)備和醫(yī)護(hù)人員足夠時(shí)，就可以達(dá)到對(duì)兩種疾病很好的控制，在保證 max{R1,R2} < 1，當(dāng)?shù)氐臒o(wú)病平衡解E0就可以大致趨近與穩(wěn)定，這樣就可以將因吸入PM2.5而引起的肺部和呼吸道疾病得到控制并消除。可是，在現(xiàn)實(shí)生活中，醫(yī)療設(shè)備和人力往往是十分有限的，對(duì)PM2.5的控制也有限，這樣就不可能讓R1、R2同時(shí)小于 1，這時(shí)疾病平衡解E1就會(huì)存在趨近于穩(wěn)定，因吸入PM2.5而患病人數(shù)將分別維持在ix、jx。從控制疾病爆發(fā)的角度來(lái)說(shuō)，要將打破地方病平衡解E1的穩(wěn)定性消除，在有限的醫(yī)療條件和醫(yī)護(hù)人員下，將因吸入PM2.5而引起的呼吸道和肺部疾病消滅。根據(jù)模型中的定理，對(duì)基本再生數(shù)R1、R2進(jìn)行分析討論，給出因PM2.5增多而導(dǎo)致兩種疾病同時(shí)爆發(fā)的預(yù)防控制方案。

當(dāng)可以保證R1<1，即集中醫(yī)療措施重點(diǎn)防控呼吸道疾病，使其閾值小于 1。如果還可以將R2<1，根據(jù)定理 1 和定理 2，系統(tǒng)(4)只存在無(wú)病平衡解E0還可以趨近穩(wěn)定，那么這兩種病就都可以被一起消滅。但是，R2>1 ，代入(5)式計(jì)算R3<1，根據(jù)定理 3，系統(tǒng)(4)地方病平衡解E1不穩(wěn)定呼吸道的疾病先解決。

當(dāng)保證R2<1，即集中醫(yī)療措施重點(diǎn)防控肺部疾病，使其閾值小于 1，這時(shí)系統(tǒng)(4)地方病平衡解E1不穩(wěn)定，這樣肺部疾病將先消除。

保證R2 1時(shí)，這兩種疾病已經(jīng)全部爆發(fā)，可以集中醫(yī)療措施重點(diǎn)防控肺部疾病，使R2

通過(guò)SDIR模型分析發(fā)現(xiàn)，在PM2.5濃度增加時(shí)，可以及時(shí)控制因PM2.5引起的疾病。目前，有較多方法來(lái)減少PM2.5濃度，如從源頭控制，減少對(duì)煤炭、重油和一些廢料產(chǎn)量大的燃料的使用，廣泛應(yīng)用天然氣、水電、風(fēng)能、核能、太陽(yáng)能等清潔能源，淘汰污染大的工業(yè)設(shè)備和工業(yè)技術(shù)，減少野外用火，避免引發(fā)火災(zāi)，從根本上減少PM2.5的產(chǎn)生，避免引發(fā)疾病。應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)動(dòng)，提高身體素質(zhì)，減少患病。