彭李嘉

(北京郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，北京 100876)

1 問題的提出

同一片森林里生活著兩種鳥，它們外形相似，習(xí)性相近?？蒲腥藛T分別記錄了這兩種鳥類的翅展(翅膀展開的長(zhǎng)度)和身長(zhǎng)，如表1所示。

問題一：請(qǐng)根據(jù)上述表格，給出一個(gè)為這兩種鳥類分類的方法。

問題二：現(xiàn)觀察到該片叢林中的三只鳥，其翅展和身長(zhǎng)的數(shù)據(jù)分別為(12.50，19.00)(13.00，18.00)(14.00，20.70)。請(qǐng)通過數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)這三只鳥分別是A類還是B類。

問題三：若科研人員發(fā)現(xiàn)記錄中有一處錯(cuò)誤，翅展13.80 cm、身長(zhǎng)19.00 cm的這只鳥應(yīng)屬于A類而非B類，請(qǐng)分析該錯(cuò)誤對(duì)分類的影響。

表1 兩種鳥類的翅展和身長(zhǎng)Tab.1 Wing expanse and body length of two kinds of birds

2 問題分析

對(duì)于問題一，題目要求給出為這兩種鳥類分類的方法，已知數(shù)據(jù)是鳥的種類及它們的翅展和身長(zhǎng)，因此建立的模型要找到種類與翅展、身長(zhǎng)的關(guān)系。通過對(duì)題目中所給數(shù)據(jù)的初步分析可以看出：整體特征都是隨著翅展長(zhǎng)度的增加，鳥的身長(zhǎng)也在增加。因此可以認(rèn)為這兩種鳥類的分類與它們的翅展、身長(zhǎng)服從一定的規(guī)律。但畫出散點(diǎn)圖之后，自變量之間的關(guān)系仍不清晰，因此決定選用逐步分析法找到對(duì)因變量有顯著影響的自變量，建立模型并運(yùn)用殘差分析法改進(jìn)模型，給出兩種鳥類分類的方法。

對(duì)于問題二，題目要求辨識(shí)給出的3組數(shù)據(jù)來確定鳥的分類。問題二的基礎(chǔ)是問題一所求得的模型，因此分別將3組數(shù)值代入問題一中的回歸模型，根據(jù)求得種類的值確認(rèn)該鳥屬于哪種類別。

對(duì)于問題三，題目要求分析表格中一處錯(cuò)誤對(duì)分類的影響。問題三的基礎(chǔ)同樣是問題一，因此在問題一所求得的模型中，將錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)種類的值進(jìn)行修正，改正后重新建立模型，將新模型所得結(jié)果與問題一的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)兩者的差異分析該錯(cuò)誤對(duì)于分類的影響。

3 模型的假設(shè)與符號(hào)說明

3.1 模型的假設(shè)

假設(shè)一：不考慮除翅展、身長(zhǎng)之外的其他因素對(duì)于分類的影響。

假設(shè)二：假設(shè)數(shù)據(jù)中每一只鳥都是純種鳥，不考慮A、B兩種類別鳥的雜交后代及A、B兩種類別鳥與其他鳥類的雜交后代。

3.2 符號(hào)說明

表2 符號(hào)說明Tab.2 Symbol description

4 模型的建立與求解

4.1 問題一的模型建立與求解

4.1.1 問題一的模型建立

將題目中所給的兩類鳥數(shù)據(jù)按照翅展的值從小到大進(jìn)行排序。

表3 A類鳥翅展值的排序Tab.3 Order of wing expanse value of A type birds

表4 B類鳥翅展值的排序Tab.4 Order of wing expanse value of B type birds

利用matlab軟件畫出散點(diǎn)圖。

a.橫軸為翅展，縱軸為身長(zhǎng)。

圖1 A類鳥散點(diǎn)圖Fig.1 Scattered plot of A type birds

圖2 B類鳥散點(diǎn)圖Fig.2 Scattered plot of B type birds

b.橫軸為翅展+身長(zhǎng)，縱軸為身長(zhǎng)。

圖3 A類鳥散點(diǎn)圖Fig.3 Scattered plot of A type birds

圖4 B類鳥散點(diǎn)圖Fig.4 Scattered plot of B type birds

圖5 所有鳥類散點(diǎn)圖Fig.5 Scattered plot of all birds

c.橫軸為翅展*身長(zhǎng)，縱軸為身長(zhǎng)。

圖6 A類鳥散點(diǎn)圖Fig.6 Scattered plot of A type birds

圖7 B類鳥散點(diǎn)圖Fig.7 Scattered plot of B type birds

圖8 所有鳥類散點(diǎn)圖Fig.8 Scattered plot of all birds

圖9 逐步回歸圖Fig.9 Stepwise regression

因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖所反映的關(guān)系不明確，因此利用matlab系統(tǒng)工具箱中的逐步回歸命令stepwise實(shí)現(xiàn)逐步回歸[1]。

所加入的自變量：x1=x，x2=x^2，x3=s，x4=h，x5=m，x6=翅展與身長(zhǎng)的差，x7=s.*x。其中x2=x^2，x3=s，x4=h，x7=s。

*x加入后，R^2接近于1，F(xiàn)值極大，p接近于0，模型較合適，因此考慮建立翅展的平方項(xiàng)、種類、翅展與身長(zhǎng)的和項(xiàng)、種類與翅展的乘積項(xiàng)相關(guān)的模型。

利用matlab軟件建立模型：y = a + b×s + c×x.^2 + d×h + e×s×x

>> y=[17.80;19.60;18.60;20.00;21.00;19.60;17.20;17.40;16.40;19.00;17.00;18.20;18.20;20.80];

s=[1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0;0];

x=[11.40;11.80;12.30;12.60;12.80;13.00;12.40;13.40;13.80;13.80;14.00;14.80;15.40;15.60];

h=[29.20;31.40;30.90;32.60;33.80;32.60;29.60;30.80;30.20;32.80;31.00;33.00;33.60;36.40];

X=[ones(14,1),s,x.^2,h,s.*x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);

b,bint,stats

4.1.2 問題一的模型結(jié)果分析

利用excel軟件將結(jié)果列成表格。

表5 問題一的模型結(jié)果Tab.5 Modelling of Problem One

因變量的99.96%可由模型確定，F(xiàn)遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值，p遠(yuǎn)小于α=0.05，因此模型從整體上看成立。所有參數(shù)的置信區(qū)間均不包含零點(diǎn)。

模型結(jié)果：y=-7.213 8+1.836 7×s-0.036 0×x^2+1.009 6×h-0.143 8×s×x。

圖10 問題一中 X的殘差圖Fig.10 Residual plot of X in Problem One

4.1.3 問題一的改進(jìn)模型建立

剔除1個(gè)異常數(shù)據(jù)，利用matlab進(jìn)行新的回歸分析。

>>y=[17.80;19.60;18.60;20.00;21.00;19.60; 17.40;16.40;19.00;17.00;18.20;18.20;20.80];

s=[1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0];

x=[11.40;11.80;12.30;12.60;12.80;13.00; 13.40;13.80;13.80;14.00;14.80;15.40;15.60];

h=[29.20;31.40;30.90;32.60;33.80;32.60; 30.80;30.20;32.80;31.00;33.00;33.60;36.40];

X=[ones(13,1),s,x.^2,h,s.*x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);

b,bint,stats

4.1.4 問題一的改進(jìn)模型結(jié)果分析

利用excel軟件將結(jié)果列成表格。

表6 問題一的改進(jìn)模型結(jié)果Tab.6 Improved model results of Problem One

圖11 問題一中改進(jìn)后X的殘差圖Fig.11 Residual plot of improved X in Problem One

改進(jìn)后的模型結(jié)果：y=-7.302 9+2.161 0×s-0.034 6×x^2+1.002 9×h-0.163 3×s×x。

4.2 問題二求解

將(12.50，19.00)(13.00，18.00)(14.00，20.70)三組數(shù)據(jù)分別代入問題一中的模型，計(jì)算得到s的值，s大于等于0.5，則該鳥屬于A類；s小于0.5，則該鳥屬于B類。

利用excel列出表格。

表7 三只鳥的歸類Tab.7 Classification of three birds

4.3 問題三的模型建立與求解

4.3.1 問題三的模型建立

將(13.80，19.00)這組數(shù)據(jù)的s值更改為1，重新建立模型。

建立模型：y=a+b×s+c×x.^2+d×h+e×s×x

>>y=[17.80;19.60;18.60;20.00;21.00;19.60;17.20;17.40;16.40;19.00;17.00;18.20;18.20;20.80];

s=[1;1;1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;0];

x=[11.40;11.80;12.30;12.60;12.80;13.00;12.40;13.40;13.80;13.80;14.00;14.80;15.40;15.60];

h=[29.20;31.40;30.90;32.60;33.80;32.60;29.60;30.80;30.20;32.80;31.00;33.00;33.60;36.40];

X=[ones(14,1),s,x.^2,h,s.*x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);

b,bint,stats

利用excel軟件將結(jié)果列成表格。

表8 問題三的模型結(jié)果Tab.8 Modelling of Problem Three

改正錯(cuò)誤后的模型：y=-7.122 0+1.403 7×s-0.035 8×x^2+1.005 7×h-0.107 9×s×x[2]。

圖12 問題三中改進(jìn)后X的殘差圖Fig.12 Residual plot of improved X in Problem Three

4.3.2 問題三結(jié)果分析

利用excel軟件將結(jié)果列成表格，與問題一所求得的模型數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

表9 改正錯(cuò)誤數(shù)據(jù)后的模型結(jié)果對(duì)比Tab.9 Comparison of modelling results after the modification of wrong data

圖13 改正錯(cuò)誤數(shù)據(jù)后的前后模型結(jié)果對(duì)比圖Fig.13 Comparison of modelling results before and after the modification of wrong data

與問題一中數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤的模型相比，改正錯(cuò)誤數(shù)據(jù)后的模型的常數(shù)項(xiàng)較大，種類的系數(shù)較小，種類與翅展的積的系數(shù)較大，相關(guān)系數(shù)R^2較小，F(xiàn)值較小。

5 模型分析與改進(jìn)

5.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

本建模運(yùn)用逐步回歸法研究變量之間的關(guān)系，找到對(duì)因變量影響較為顯著的自變量，以此得到模型；本建模利用殘差分析法，將異常數(shù)據(jù)剔除，改進(jìn)后的模型的相關(guān)系數(shù)R^2更接近1，F(xiàn)值更大，使模型得到改進(jìn)；本建模中所有模型的置信區(qū)間均不包含零點(diǎn)[3]。

5.2 模型的缺點(diǎn)

由殘差圖可以看出，改進(jìn)后的新模型仍存在異常數(shù)據(jù)；翅展的二次項(xiàng)的系數(shù)極接近于零，對(duì)因變量的影響較不顯著，應(yīng)考慮采用其他自變量進(jìn)行替代。

5.3 模型的改進(jìn)

本研究只給出了一種改進(jìn)后的統(tǒng)計(jì)回歸模型，還有更符合題目要求但未被發(fā)現(xiàn)的模型，因此應(yīng)再給出幾種不同的改進(jìn)模型，進(jìn)行多角度的比較評(píng)價(jià)，從而尋找到更優(yōu)的鳥類分類方案[4]。

6 結(jié)論與反思

6.1 結(jié)論

針對(duì)問題一：利用散點(diǎn)圖及逐步回歸法找到對(duì)因變量有顯著影響的自變量，得到鳥類翅展、身長(zhǎng)等因素間的關(guān)系，建立統(tǒng)計(jì)回歸模型，并利用殘差分析法剔除異常數(shù)據(jù)以后對(duì)建立的模型進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的最終模型是：y=-7.302 9+2.161 0×s-0.034 6×x^2+1.002 9×h-0.163 3×s×x。

針對(duì)問題二：在問題一的基礎(chǔ)上，將題目中給出的3組數(shù)據(jù)依次代入問題一所得模型中，根據(jù)求得種類的值判斷該鳥是哪種鳥類。翅展和身長(zhǎng)的數(shù)據(jù)為(12.50，19.00)的鳥是A類鳥；翅展和身長(zhǎng)數(shù)據(jù)分別為(13.00，18.00)(14.00，20.70)的兩只鳥是B類鳥。

針對(duì)問題三：將錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)種類的值進(jìn)行更改，重新建立模型，對(duì)比修正后的結(jié)果與修正前的結(jié)果在回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)R^2、F值及與F對(duì)應(yīng)概率p四方面的差異，從而得到該錯(cuò)誤對(duì)分類的影響大小。改正錯(cuò)誤后的新模型是：y=-7.122 0+1.403 7×s-0.035 8×x^2+1.005 7×h-0.107 9×s×x。與問題一中模型相比，改正錯(cuò)誤數(shù)據(jù)后的模型常數(shù)項(xiàng)較大，種類系數(shù)較小，種類與翅展積的系數(shù)較大，相關(guān)系數(shù)R^2較小，F(xiàn)值較小。

6.2 反思

最開始建立模型時(shí)未利用好逐步回歸法，常局限于翅展和身長(zhǎng)之間的關(guān)系，但是發(fā)現(xiàn)模型的相關(guān)系數(shù)R^2只有57.44%，F(xiàn)值也非常小。后建立的模型雖然相關(guān)系數(shù)等值都較為合適，但總會(huì)出現(xiàn)自變量置信區(qū)間包含零點(diǎn)的情況。之后，熟悉了逐步回歸法和matlab中stepwise命令的用法時(shí)，對(duì)于自變量的選取有了極大幫助。

剛開始列表格時(shí)常用word自帶表格，非常不方便，后來利用excel軟件可以更加快速簡(jiǎn)潔地設(shè)立表格與圖表，使內(nèi)容表述更加清晰直觀。