吳澤艷 羅 威 田東方 彭 輝 葉 永

(三峽大學水利與環(huán)境學院,湖北宜昌 443002)

材料力學課程中,在推導出直桿的偏心拉(壓)正應力計算公式后,得到了中性軸方程,然后自然地引出了截面核心[1-5]的概念。要引導學生深入理解截面核心的概念,可盡可能多地給出不同截面形狀的截面核心的例子。為此,我們借鑒了相關先進經(jīng)驗[6-8],編寫了相應的MATLAB 程序,實現(xiàn)了可視化教學。計算過程中,需要計算截面的面積、靜矩、慣性矩和慣性積等平面圖形的幾何性質。教材[1]中給出了計算這些幾何量的近似方法。我們利用散度定理給出了一種新的數(shù)值計算方法。

如果對截面核心的教學到此為止,深度似乎有所不足。范欽珊等[9]提出“課程教學改革的思路是：注重基礎,挖掘深度,適當擴展,面向未來”。薛秀麗等[10]提出“適當擴展課程內容,激發(fā)學生的學習興趣”。所以,我們在列舉出若干截面核心的實例后,引導學生探究截面核心的一個性質—外凸性。事實上,該性質容易被忽視,如教材[5] 截面核心示意圖中截面核心不是外凸的。王道敏[11]討論了截面核心的性質,用幾何方法證明了當橫截面為多邊形時截面核心是包圍形心的凸多邊形。我們運用靜力等效和疊加原理從力學角度解釋了該性質,也從數(shù)學上證明了截面核心是凸集。

我們希望通過這樣的教學安排,學生能夠對截面核心概念有清晰的認識,在課堂上“有實實在在的獲得感,或者有學而收獲的預期”[12],同時,我們希望強化一種思考方法：對新事物,首先經(jīng)過大量的觀察,建立初步的認識,再思考猜測其性質,最后證明猜想,完成從感性認識到理性認識的升華。

1 截面核心的概念

考慮受偏心拉伸的直桿。在桿的端部建立如圖1 所示的坐標系,坐標系的原點位于截面的形心。在桿的端部受集中力F的作用,力F的作用點坐標為M(yF,zF),方向與桿的軸線平行。

圖1 偏心拉伸的直桿

在點M(yF,zF) 處作用與軸線平行的力F時,直桿的受力形式為偏心拉伸(壓縮),依組合變形的疊加原理,其橫截面上任意一點C(y,z)處的正應力為[1-5]

這里A為直桿的橫截面面積,iy和iz為慣性半徑,均為常數(shù)。在式(1) 中令σ= 0 可得到中性軸的方程為

土建工程中常用的混凝土構件和磚、石砌體,其拉伸強度遠低于壓縮強度,這就要求桿件在受偏心壓力作用時,其橫截面上不出現(xiàn)拉應力,即應使中性軸不與橫截面相交。當外力作用點位于截面形心附近的一個區(qū)域內時,可保證中性軸不與橫截面相交,這個區(qū)域稱為截面核心。

2 截面核心的計算

截面核心的計算過程教材已經(jīng)給出,在此不再贅述。計算過程中需要求解平面圖形的幾何性質,這里給出一種邊界積分的方法。本方法有別于教材[1]中的近似方法,計算精度高,編程實現(xiàn)簡單。

2.1 平面圖形的幾何性質的計算

在微積分課程中已經(jīng)得到散度定理,即

式中,?和??分別表示積分域及其邊界,n表示邊界的外法線方向,B表示某向量場?，F(xiàn)在考慮某標量T的面積分。為了將面積分轉化為邊界積分,可構造向量B,使得

則有

當標量T的形式比較簡單(如多項式)時,向量B易于構造,對標量T的面積積分就容易轉換為向量B的邊界積分。對于式(5) 中的邊界積分,可先對邊界進行單元剖分,然后逐單元積分,最后求和。當邊界的某部分為直邊時,該部分只劃分為一個單元；當邊界是曲邊邊界時,為保證精度需要劃分為多個單元。

對面積、靜矩、慣性矩和慣性積的計算,只需恰當選擇式(5) 中的向量函數(shù)B即可。這里給出求各幾何量對應的向量函數(shù)B以及最終采用線性單元時的線積分計算公式,如表1 所示。

表1 面積、靜矩、慣性矩和慣性積的計算

式(6)～式(11)中,y和z是節(jié)點的坐標,下標1 和2 表示單元的節(jié)點編號,n是單元數(shù)。公式應用條件為邊界節(jié)點按逆時針方向排列。

2.2 截面核心的計算實例

教學過程中,運用自編的MATLAB 程序計算了若干不同形狀截面的截面核心。程序對形狀規(guī)則的截面,如圓、橢圓、正多邊形等,可直接輸入相關參數(shù)進行計算,對于復雜的圖形,可讀入圖形的邊界點的坐標進行計算,如圖2 所示。因版面所限,這里僅僅給出幾例,如圖3～圖6 所示。特別地,為了增加趣味性,給出了心臟線形截面的截面核心,這也是下一個話題的引子。

圖2 截面核心計算程序

圖3 T 形截面的截面核心

圖4 L 形截面的截面核心

3 截面核心是凸集

教學中,在給出了圖5 所示心臟線形截面的截面核心后,拋出一個問題：是否存在一個截面,其截面核心是心臟線形狀？

圖5 心臟線形截面的截面核心

經(jīng)過前面展示多個不同形狀截面的截面核心,可引導學生思考、猜測截面核心的共同特征：外凸的。如果這個猜測是正確的,那么上述問題的答案就是否定的,只可能是圖6 所示的近似心臟線形狀。下面的工作就是證明該猜想。首先基于靜力等效和疊加原理從力學上解釋截面核心不可能是凹的,再在給出凸集定義的基礎上,從數(shù)學上嚴格證明這一猜想。

圖6 截面核心為近似心臟線形的截面

3.1 力學解釋

假設截面核心是凹的,如圖7 所示。設點A和點B在截面核心內,點C在A和B連線上且位于截面核心外。記AC的長度為lAC,BC的長度為lBC?，F(xiàn)在C點作用壓力FC,因為點C不屬于截面核心,所以橫截面上既有拉應力,也有壓應力。

圖7 力學解釋示意圖

考慮另外一種情況：在點A和點B同時作用壓力FA和FB,且有

則根據(jù)疊加原理,橫截面上只有壓應力,沒有拉應力。

然而,上述兩種情況是靜力等效的,不應該在橫截面上出現(xiàn)不同的應力分布。矛盾源于截面核心是凹的假設。這就從力學上解釋了截面核心不可能是凹的。

3.2 截面核心是凸集的證明

為了使得證明過程清晰,首先給出平面上凸集的定義,再提出兩個命題,最后用這兩個命題證明最終結論。

3.2.1 凸集的定義

按文獻[13-14] 給出平面上凸集的定義：對集合K ?R2,如果任意給定兩點p,q ∈K,直線段包含在K中,則稱K是凸集,如圖8 所示。

圖8 凸集的定義

在集合K ?R2的邊界上任取兩點M1和M2,如果證明了線段上的任何一點都屬于K,那么K是凸集。因為對于任意給定兩點p,q ∈K,總可以作通過點p和q的直線與邊界相交,交點記作M1和M2,如圖9 所示。如果線段上的任何一點都屬于K,那么線段當然也包含在K中,根據(jù)凸集的定義,K是凸集。下文證明截面核心是凸集時正是采用了這種方法。

圖9 凸集的證明策略

3.2.2 命題1

如圖10 所示,位于坐標原點O(0,0) 兩側、相互平行的兩直線l1和l2,其方程分別為

圖10 命題1 示意圖

這里k <0,a和b不同時為0。另有直線l,其含參數(shù)λ的方程為

則當0<λ<1 時,直線l在直線l1和l2外側。

該命題的證明很簡單,此處略。

3.2.3 命題2

不通過坐標原點O(0,0) 的直線l1和l2,其方程分別為

它們相交于點Q。直線l1和l2將平面Oyz劃分為四個角域,如圖11 所示。另有直線l,其含參數(shù)λ的方程為

圖11 命題2 示意圖

則當0<λ<1 時,直線l不會落在包含坐標原點O的角域內。

證明：由方程(15)和方程(16)以及直線族的定義知道,直線l通過直線l1和l2的交點Q。作通過坐標原點O且以直線l1和l2為漸近線的雙曲線s,如圖12 所示。雙曲線s的方程為

通過考察直線l與雙曲線s是否相交來判斷直線l是否落在包含坐標原點O的角域內。為此,當0<λ<1 時,將直線l的方程(16) 改寫為

式(18) 代入式(17) 得到

顯然,式(19)左端非正,故方程無解,直線l與雙曲線s沒有交點,即直線l不會落在包含坐標原點O的角域內。

3.2.4 截面核心是凸集的證明

在截面核心的邊界上任取兩點M1(y1,z1),M2(y2,z2)。與M1點相對應的中性軸記作l1,與M2點相對應的中性軸記作l2,按式(2) 得到它們的方程為

連接M1M2,在線段M1M2上任取一點M,其坐標可表示為

這里,0< λ <1。與點M對應的中性軸記作l,按式(2) 得其方程為

情況一：如果中性軸l1與l2平行,則由方程(20) 和方程(22) 知道,中性軸l1,l2和l相互平行,如圖13 所示?？紤]到l1和l2與橫截面相切,所以它們位于坐標原點O的兩側。由命題1 知道,中性軸l必在中性軸l1和l2的外側,即中性軸l與橫截面不會相交,從而點M屬于截面核心。

圖13 兩條中性軸平行的情況

情況二：如果中性軸l1與l2不平行,則由方程(20)和方程(22)以及直線族的定義知道,中性軸l,l1和l2相交于同一點,記作Q,如圖14 所示。由命題2 知道,中性軸l必不落在包含坐標原點O的角域內,即中性軸l與橫截面不相交,從而點M屬于截面核心。

圖14 兩條中性軸相交的情況

綜合上述兩種情況,再由點M1,M2和M的任意性以及凸集的定義知道,截面核心是凸集。

4 結論

為了講好截面核心的概念,課前編寫了截面核心的計算程序。給出了平面圖形幾何性質的邊界積分數(shù)值計算方法。用該程序計算了多個不同形狀截面的截面核心,使得學生對截面核心的概念有初步的了解。在列舉出若干截面核心的實例后,引導學生探究截面核心的凸性。運用靜力等效和疊加原理從力學角度解釋了該性質,也從數(shù)學上證明了截面核心是凸集。這使得學生對截面核心有了進一步的理解。實踐表明,這樣的教學設計可以活躍課堂氣氛,激發(fā)學生的學習興趣,培養(yǎng)學生認識新事物的思考方法。