張 媛 王士敏 王 琪

(北京航空航天大學(xué),北京 100083)

描述剛體定點運動姿態(tài)的歐拉角作為一組廣義坐標(biāo)是獨立的,即,任意一個歐拉角的變化不會引起其余兩個的變化,并且與歐拉角相對應(yīng)的轉(zhuǎn)動也與順序無關(guān),這與通常情況下定點運動剛體的有限位移與轉(zhuǎn)動順序有關(guān)并不矛盾,或者說歐拉角對應(yīng)的轉(zhuǎn)動與順序無關(guān)是一個特例。在教學(xué)過程中,導(dǎo)出隨體坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的變換矩陣時,往往又是規(guī)定了先進(jìn)動再章動最后自轉(zhuǎn)的順序,很容易引起學(xué)生困惑：既然歐拉角的變化與順序無關(guān),為何這時又要規(guī)定順序？這里,對上述問題說明以下兩點：(1)歐拉角作為一組廣義坐標(biāo),其與變化順序無關(guān)；(2) 將有限位移分解為三次定軸轉(zhuǎn)動建立變換矩陣時,在可能的轉(zhuǎn)動順序中,存在一個特定的順序,使得變換關(guān)系最為簡單,即,按其他順序也可以導(dǎo)出相同的最終變換矩陣,只是中間變換矩陣相對復(fù)雜。

1 歐拉角的獨立性

設(shè)固定坐標(biāo)軸的三個單位向量為(i,j,k),定點運動剛體隨體坐標(biāo)軸的三個單位向量為(i′,j′,k′),定義n=k×k′,即所謂的節(jié)線方向。由此即可定義歐拉角：k軸與k′軸之間的夾角為章動角θ,節(jié)線n與i軸之間的夾角為進(jìn)動角ψ,i′軸與節(jié)線n之間的夾角為自轉(zhuǎn)角φ,如圖1 所示。

圖1 節(jié)線與歐拉角的定義

從圖1 可以看出,剛體姿態(tài)的變化可以分解為繞k,n和k′三根軸的轉(zhuǎn)動,不難驗證,剛體繞上述三根軸中的任意一根軸做定軸轉(zhuǎn)動時,僅有一個歐拉角隨之變化,也就是說歐拉角是獨立的；從一組歐拉角(ψ0, θ0, φ0)到另一組歐拉角(ψ1, θ1, φ1)的有限位移,可以依次繞上述三根軸轉(zhuǎn)動相應(yīng)的角度差而實現(xiàn),且與順序無關(guān)。可以這樣來理解,定點運動剛體的有限位移分解為一組定軸轉(zhuǎn)動時,多種情況下是與轉(zhuǎn)動順序有關(guān)的,但是繞上述三根軸轉(zhuǎn)動時與順序無關(guān),這也是用歐拉角作為廣義坐標(biāo)的必要條件。值得注意的是,當(dāng)自轉(zhuǎn)軸k′與固定軸k重合時,節(jié)線的方向不確定,這時剛體的運動退化為定軸轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)角為β=ψ+φ,單純從運動學(xué)上來看,在此情況下沒有必要將轉(zhuǎn)角分為進(jìn)動和自轉(zhuǎn),一旦k和k′兩軸分開,節(jié)線自動生成,進(jìn)動角和自轉(zhuǎn)角也隨之確定。

2 中間坐標(biāo)系與變換矩陣

用歐拉角作為廣義坐標(biāo)表示定點運動剛體上任意一點的位置時,通常需要導(dǎo)出一個從隨體坐標(biāo)到固定坐標(biāo)的變換矩陣,導(dǎo)出該變換矩陣時,是按先進(jìn)動ψ,再章動θ,最后自轉(zhuǎn)φ的順序進(jìn)行的,這個“順序”似乎與第1 節(jié)所討論的歐拉角的變化與順序無關(guān)相矛盾,下面將說明,這個順序只是為了讓每次定軸轉(zhuǎn)動的變換矩陣更為簡單,或者說按任何順序都可以導(dǎo)出最終相同的變換矩陣,只是按不同順序,每次轉(zhuǎn)動所給出的中間變換矩陣的復(fù)雜程度不同。

2.1 中間坐標(biāo)系

為了便于討論和歐拉角相對應(yīng)的轉(zhuǎn)動與順序的無關(guān)性,以及導(dǎo)出隨體坐標(biāo)與固定坐標(biāo)的變換矩陣,這里引入兩個中間坐標(biāo)系,設(shè)Oxyz為固定坐標(biāo)系,其坐標(biāo)軸的三個單位向量分別為(i,j,k),第一個中間坐標(biāo)系定義為繞z軸做定軸轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系,其三個坐標(biāo)軸的單位向量分別為(n,k×n,k) 如圖2(a)所示,即該坐標(biāo)系和固定坐標(biāo)系有共同的坐標(biāo)軸z,單位向量n所對應(yīng)的坐標(biāo)軸,也稱為節(jié)線,與x的夾角為ψ,即進(jìn)動角；第二個中間坐標(biāo)系定義為繞節(jié)線n做定軸轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系,其三個坐標(biāo)軸的單位向量分別為(n,k′×n,k′),如圖2(b) 所示,其中,單位向量k′所對應(yīng)的坐標(biāo)軸也稱為自轉(zhuǎn)軸,它與z軸的夾角為θ,即章動角；最后,定義隨體坐標(biāo)系,其三個單位向量分別為(i′,j′,k′),如圖2(c) 所示,隨體坐標(biāo)系繞著k′所對應(yīng)的坐標(biāo)軸,也稱為自轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動,其中,i′與節(jié)線n的夾角為φ,也稱為自轉(zhuǎn)角。

圖2 中間坐標(biāo)系與隨體坐標(biāo)系

下面將說明,借助上述中間坐標(biāo)系,從隨體坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的變換矩陣可以由一組簡單的變換矩陣構(gòu)成。

2.2 利用中間坐標(biāo)系的變換矩陣

考察 2.1 節(jié)的四個坐標(biāo)系可以發(fā)現(xiàn)：固定坐標(biāo)系(i,j,k) 和中間坐標(biāo)系(n,k×n,k) 之間有共同的坐標(biāo)軸k；兩個中間坐標(biāo)系(n,k′×n,k′) 和(n,k×n,k) 之間有共同的坐標(biāo)軸n；中間坐標(biāo)系(n,k′×n,k′) 與隨體坐標(biāo)系(i′,j′,k′) 有共同的坐標(biāo)軸k′。上述存在共同坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系分別如下：

隨體坐標(biāo)系(i′,j′,k′)與中間坐標(biāo)系(n,k′×n,k′)的變換關(guān)系,當(dāng)隨體坐標(biāo)系上的一點,設(shè)其矢徑為r′,隨(i′,j′,k′) 繞k′軸轉(zhuǎn)過φ角后,該點在(n,k′×n,k′) 坐標(biāo)系下的矢徑rk′n為

其中

兩個中間坐標(biāo)系(n,k×n,k) 和(n,k′×n,k′)之間的變換關(guān)系,當(dāng)坐標(biāo)系(n,k′×n,k′)上的一點,設(shè)其矢徑為rk′n,隨(n,k′×n,k′)繞n軸轉(zhuǎn)過θ角后,該點在(n,k×n,k) 坐標(biāo)系下的矢徑rkn為

其中

中間坐標(biāo)系(n,k×n,k)和固定坐標(biāo)系(i,j,k)之間變換關(guān)系,當(dāng)坐標(biāo)系(n,k×n,k)上的一點,設(shè)其矢徑為rkn,隨(n,k×n,k) 繞z軸轉(zhuǎn)過ψ角后,該點在坐標(biāo)系(i,j,k) 下的矢徑r為

其中

式(2),式(4),式(6) 給出的變換矩陣,各對應(yīng)一個歐拉角的變化,或者說,各對應(yīng)一個坐標(biāo)系變換矩陣,分別是隨體坐標(biāo)系(i′,j′,k′) 到中間坐標(biāo)系(n,k′×n,k′)、兩個中間坐標(biāo)系之間、中間坐標(biāo)系(n,k×n,k) 到固定坐標(biāo)系。對于給定的歐拉角,欲求剛體上一點的隨體坐標(biāo)與固定坐標(biāo)的變換關(guān)系,可以利用上述中間變換,按“順序” 將其隨體坐標(biāo)逐次“過渡” 到固定坐標(biāo),即,利用式(1) 將隨體坐標(biāo)過渡到(n,k′×n,k′) 坐標(biāo),再由式(3) 過渡到(n,k×n,k)坐標(biāo),最后由式(5)過渡到固定坐標(biāo)系,得到

上述逐次代入的“順序”是由四個坐標(biāo)系之間的相對位置關(guān)系決定的,或者說,這四個坐標(biāo)系是由三個“共同坐標(biāo)軸” 按“順序” 串聯(lián)起來的,由此決定了上述代入順序。這樣做的目的是為了利用三次簡單的中間變換,得到隨體坐標(biāo)到固定坐標(biāo)系之間的變換矩陣A(ψ)A(θ)A(φ)。同時,利用中間坐標(biāo)系,由式(2),式(4),式(6)可以給出上述四個坐標(biāo)系中任意兩個坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系,例如,隨體坐標(biāo)系到坐標(biāo)系(n,k×n,k)間的變換矩陣是A(θ)A(φ),中間坐標(biāo)系(n,k′×n,k′)到固定坐標(biāo)系的變換矩陣則是A(ψ)A(θ)。

2.3 固定坐標(biāo)系下的定軸轉(zhuǎn)動變換

將有限位移分解為定軸轉(zhuǎn)動時,不引入中間坐標(biāo)系,也可以在固定坐標(biāo)系下直接給出每次轉(zhuǎn)動以及最終位置的變換關(guān)系。例如：剛體從初始?xì)W拉角(0,0,0)到給定歐拉角(ψ,θ,0)的有限位移,可以分解為兩次定軸轉(zhuǎn)動,如圖3 所示,下面我們在固定坐標(biāo)系下,按兩種方案分別將剛體有限位移分解為兩次定軸轉(zhuǎn)動,并求出剛體上的一點M在每次轉(zhuǎn)動后的位置變化。第一種方式是從初始位置,如圖3(a)所示,令剛體繞x軸轉(zhuǎn)動角度θ,如圖3(b)所示,然后再繞z軸轉(zhuǎn)動角度ψ,如圖3(c) 所示；第二種則是先繞z轉(zhuǎn)動角度ψ,如圖3(e) 所示,再繞隨體軸n轉(zhuǎn)動角度θ,如圖3(f)所示,其中n軸在xy平面內(nèi),與x軸夾角為ψ。下面在固定坐標(biāo)系下分析每次轉(zhuǎn)動后M點的位置變化。

圖3 剛體有限位移按不同方式分解為定軸轉(zhuǎn)動

首先可以看出,兩種轉(zhuǎn)動方式給出的最終位置相同。第一種情況,設(shè)M點在固定坐標(biāo)系下的初始、第一次和第二次轉(zhuǎn)動后的位置向量分別為ra,rb和rc,三個位置向量之間的變換關(guān)系為：rb=B(θ)ra,rc=B(ψ)rb,將前面的公式代入后面可得

其中,式(8) 中的兩個矩陣分別與式(4),式(6) 右端的矩陣相同,即,B(θ) =A(θ),B(ψ) =A(ψ),也是簡單的變換矩陣。

第二種情況,由于M點初始和最終的位置向量和第一種情況相同,分別為ra和rc,設(shè)第一次轉(zhuǎn)動后在固定坐標(biāo)系下的位置向量為rd,有

其中,C(ψ)的表達(dá)式仍然與式(6)右端給出的矩陣相同,C(ψ) =A(ψ)。但是,當(dāng)繞n軸做第二次轉(zhuǎn)動時,M點的三個坐標(biāo)都發(fā)生變化,同時,由于n軸的位置與ψ有關(guān),變換矩陣也必將與ψ有關(guān)。由于在兩種情況下,M點都是由初始位置ra出發(fā),最終達(dá)到同樣的位置rc,因此,可以利用式(8),式(9)來導(dǎo)出rc和rd之間的變換矩陣,求式(9) 的逆有ra=C?1(ψ)rd,將該式代入式(8) 可得

從式(10) 不難看出其中的變換矩陣的復(fù)雜程度。

利用式(7) 也可以直接導(dǎo)出固定坐標(biāo)系下的rc和rd之間的變換矩陣,令歐拉角為(ψ,0,0), 由于初始位置隨體坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系重合ra=r′,有rd=C(ψ)ra,或ra=A(ψ)?1rd,再令歐拉角為(ψ,θ,0) 有rc=A(ψ)A(θ)ra,因此

本節(jié)例子說明,定軸轉(zhuǎn)動剛體上任意一點的位置變化取決于軸的位置和轉(zhuǎn)角,同一坐標(biāo)系下,當(dāng)轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸時,兩個坐標(biāo)系繞著共同坐標(biāo)軸作相對轉(zhuǎn)動時,變換關(guān)系最為簡單。

3 結(jié)論

歐拉角是一組獨立的廣義坐標(biāo),如果將定點運動剛體的有限位移分解為繞固定坐標(biāo)系的z軸、隨體坐標(biāo)系的自轉(zhuǎn)軸z′和節(jié)線n=k×k′的定軸轉(zhuǎn)動,剛體的姿態(tài)變化與轉(zhuǎn)動順序無關(guān)。利用上述三根軸可以構(gòu)造出兩個中間坐標(biāo)系,每次轉(zhuǎn)動都是繞著兩個坐標(biāo)系的共同坐標(biāo)軸進(jìn)行的,因此,每次轉(zhuǎn)動的變換矩陣都相對簡單。給定歐拉角,確定剛體上某點的隨體坐標(biāo)與固定坐標(biāo)的變換矩陣時,需要將三個中間變換矩陣按順序相乘,這個順序是由四個坐標(biāo)系的位置關(guān)系決定的,即,取決于三個“共同坐標(biāo)軸”串聯(lián)起四個坐標(biāo)系的“順序”,這個“順序”并非是歐拉角變化必須遵循的順序。不引入中間坐標(biāo)系,也可以導(dǎo)出同樣的隨體坐標(biāo)與固定坐標(biāo)的變換矩陣,只是每次轉(zhuǎn)動的變換關(guān)系相對復(fù)雜。