黃美發(fā)，茍國秋，唐哲敏，梁健偉

(1.桂林電子科技大學機電工程學院，桂林 541004；2.廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術重點實驗室，桂林 541004)

0 引言

同軸度是機械加工零件檢測中一種常見的定位公差[1]，對其快速、精確地測量評定具有重要實際意義。三坐標測量機(coordinate measuring machine,CMM)具有測量精度高、測量范圍廣的優(yōu)點[2-3]，被廣泛應用于機械加工零件幾何誤差檢測。同軸度誤差檢測時，不僅要保證測量點數足夠反映檢測零件表面信息，同時也要兼顧檢測效率與檢測精度。因此，采用CMM進行同軸度誤差檢測時，制定合理的采樣方法和選擇合適的測點數尤為重要。

相關國家標準推薦了測點分布方法，比如鳥籠法、圓周線法、母線法及隨機布點法，并未給出測量點數的選取方法，對此，QI等[4]使用輪廓信號的奈奎斯特采樣定理計算幾何誤差的測量點數，該方法首先確定截止波長或截止波動數，再確定軸向與徑向測點數。然而，該方法計算得到的測量點數偏多，雖然滿足測量精度要求，但同時降低了測量效率，增加了測量成本。

近年來，國內外學者針對零件幾何誤差檢測如何選擇合適的測點數問題進行了相關研究。對于圓柱面、平面、圓錐面這類規(guī)則曲面要素的測量，主要采用Hammersley序列[5]和改進Halton序列[6]這類低差異序列的隨機分布方法。對于非規(guī)則曲面的測量，主要有粒子群算法[7]、奈奎斯特采樣定理[8]、Kriging模型[9]以及Greedy search算法[10]等基于數學過程的方法?，F有方法研究了如何在零件測量表面分布測點，使測點分布盡可能的反映零件表面信息，很少考慮零件加工誤差來源對測點分布的影響，不同加工方法下加工的零件產生的誤差將會影響測點數的分布[11-13]。

針對現有研究的不足，本文將蒙特卡洛法[14]引入到同軸度誤差檢測測點數的優(yōu)化中。針對軸類零件同軸度誤差檢測測點數偏多問題，分析實際加工零件誤差來源預測尺寸誤差；根據誤差來源和同軸度工程語義構建零件表面模擬函數；利用表面模擬函數建立測點模擬函數，通過同軸度誤差評定方法分析給定零件測量截面數與誤差評定值的關系；進一步基于蒙特卡洛法分析批量零件的最佳測量截面數。最后，通過實例驗證該方法的正確性，為工程中零件同軸度檢測的測點數選擇提供理論指導。

1 零件同軸度誤差來源

1.1 零件加工誤差分析

實際工程中，零件加工伴隨著隨機誤差，同一批加工出來的兩個零件不會完全相同。對于車削加工零件，加工誤差主要體現在加工過程中車刀與工件發(fā)生相對位置偏移[11]，加工誤差大致可以歸為兩類：一類是已知零件材料、加工刀具、切削用量等確定性條件下產生的確定性誤差δC，另一類是由于加工時溫度隨機變化引起的隨機性誤差δR。本文分析在相同的裝夾方式下，切削力與溫度的共同作用導致加工零件形貌發(fā)生彎曲變形，從而預測尺寸誤差。典型的誤差模型包括錐形、凹形、凸形和香蕉形等。

圖1給出了車削過程中工藝系統(tǒng)受力變形與尺寸誤差的幾何關系?；趫D1中幾何關系，得到加工后零件的實際直徑Dw如式(1)所示。

(1)

式中，D表示零件的初始直徑;dp表示切削深度;δtx、δty分別表示車刀在X、Y方向的變形量;δmy和δwy、δmx和δwx分別表示在主切削力Fc和背切削力Fp作用下引起工件、夾具變形造成的誤差量。通過圖1分析得到實際加工零件某z坐標對應的確定性誤差δC如式(2)所示。

δC=Dw,z-D+2dp

(2)

零件加工中溫度變化引起的隨機誤差δR如式(3)所示。

δR=ae(ΔTz)(Lz-L)

(3)

式中，ΔTz表示溫度的變化量；L為零件加工長度；ae(ΔTz)表示不同溫度條件下隨機誤差曲線斜率，反映隨機誤差與溫度變化關系。最后，得到給定加工條件下零件實際尺寸誤差如式(4)所示。

δT=δC+δR

(4)

圖1 工藝系統(tǒng)受力變形與尺寸誤差的幾何關系

1.2 加工零件同軸度幾何約束

如圖2a所示，加工零件被測軸標注有同軸度公差，且被測軸與基準軸同時應用最大實體要求(maximum material requirement,MMR)；圖2b為動態(tài)公差圖，表示被測軸軸線應在公差帶內。相關標準對圖2標注零件具有以下要求：

圖2 同軸度公差與動態(tài)公差圖

(1)被測軸與基準軸的局部尺寸da處于各自最大實體尺寸(maximum material size，MMS)和最小實體尺寸(least material size，LMS)之間，即dL≤da≤dM，dL等于公稱直徑d加上偏差es，dM等于公稱直徑d加下偏差ei。

(2)被測軸與基準軸的體外作用尺寸dfe不得超過各自最大實體實效邊界(maximum material virtual boundary,MMVB)，且兩者的MMVB同軸，即dfe≤dMV，dMV等于MMS加上同軸度公差值，dfe表示與實際孔體外接觸的最大理想表面直徑。

(3)當da=dM，對應的同軸度公差為T，當da=dL，尺寸誤差補償同軸度公差，此時對應的同軸度公差為Tb，Tb=es2-ei2+T。

2 零件表面形貌模擬

2.1 加工零件表面模擬函數

通過第一節(jié)中預測加工零件尺寸誤差，模擬出標注有同軸度誤差的零件表面形狀，以圖2檢測零件為例，當滿足1.2節(jié)中同軸度誤差要求，誤差允許值變大，模擬測點區(qū)域變寬。設已模擬零件表面一系列測點，繪出圖3所示測點誤差分布曲線圖，可計算零件表面第i個測點實際直徑Dp,i，如式(5)所示。

(5)

式中，d為零件公稱直徑；xi(i=1,2,...,I)為0～1內的隨機變量，xi集合服從正態(tài)分布：xi～N(T/2,σ)，表示隨機變量xi的均值；Dp,i表示零件上第i個測點的實際直徑。

圖3 測點誤差分布曲線圖

當一次測量隨機變量xi達到下極限xi,m時，實際直徑達到極小值Di,m，式(5)變?yōu)槭?6)：

(6)

同理，隨機變量xi達到上極限xi,M時，實際直徑達到極大值Di,M，式(5)變?yōu)槭?7)：

(7)

當|δ|=3σ時，一次測量不超出|δ|的概率為99.73%，由于|Tb|=6σ，可得到圓柱徑向截面某測點的實際直徑如式(8)所示，從而得到具有如圖1所示標注信息的零件表面形狀模擬函數。

(8)

式中，Tb為尺寸誤差δT補償同軸度公差后所允許的同軸度公差，如圖2b所示，即Tb=δT+T。

2.2 零件表面測點模擬

本文采用周向均勻布點，徑向方向非均勻布點方法，每個截面測點數N由經驗公式得出，如式(9)所示。

(9)

式中，ε=(1/3～1/10)T為測量允差；ε2為三坐標測量機誤差；R為圓柱體公稱半徑；θ為測點間角度。

如圖4b所示，模擬表面誤差在X、Y、Z方向分別由三個尺度的軸向誤差與徑向誤差合成。根據2.1節(jié)給定零件的模擬函數，模擬零件截面上所有測點{qi,n=(xi,n,yi,n,zi,n)T；n=1,2,...,N(N>3)；i=1,2,...,I}作為零件表面提取要素。測點精度模擬函數如式(10)所示。

(10)

式中，i為截面序號；n為每個截面上的測點序號；R是被測軸段半徑；t1是測量截面位置的不確定度；L是被測軸段長度；Zi,j分別表示截面i在z坐標方向上的誤差尺度的隨機誤差系數，服從正態(tài)分布N(0,1)；j(j=1,2,3)表示三個誤差尺度的幅值和頻率系數。

圖4 公差標注與模擬測點示意圖

3 同軸度誤差檢測測點優(yōu)化

3.1 測量截面數與誤差評定值的關系

根據同軸度誤差評定準則，調用評定算法對2.2節(jié)中得到的測點集{qi}進行誤差評定，分析零件測量截面數與同軸度誤差評定值的關系，如圖5所示。

圖5 截面數與誤差評定值的關系

每個圓周截面均勻分布相同數量測點，隨著截面數增加，零件同軸度誤差增加，但當截面數增加到一定數目，零件誤差值基本趨于穩(wěn)定。繼續(xù)增加測量截面會影響測量效率和增大測量成本，所以，滿足零件精度要求時的測量截面數可作為最佳測量截面數。

3.2 測量截面數優(yōu)化

本文引入蒙特卡洛法仿真原理思想，將被測零件測量長度L、圓周截面測點數目N、同軸度公差T、測量允差ε以及初始截面數Ic作為算法輸入，輸出最佳截面數I，最后得到最佳測量點集，其步驟如下所示：

步驟1：輸入L、N、T、ε及Ic，其中(N≥3)；

步驟2：逐漸增加測量截面數；

步驟3：根據式(9)得到符合正態(tài)分布的測點集(j=1,2,…,M)；

步驟4：計算零件體外作用尺寸，模擬M組測點集(M≥20)，計算M組測點集體外作用尺寸平均值的變化量Δ；

步驟5：根據測點模擬基于“誤差評定的結果服從正態(tài)分布”這一假設，設置判定條件：Δ≤0.001，模擬測點符合所要求樣本條件，且同軸度誤差服從正態(tài)分布，執(zhí)行下一步；否則返回步驟3，直到符合條件；

步驟6：計算體外作用尺寸平均值與其測量指標的差值，即測量誤差。當測量誤差不超過測量允差時，停止增加截面數；否則返回步驟2繼續(xù)增加截面數，循環(huán)迭代直到符合判斷條件，最后輸出測點集。

4 實例驗證

4.1 實例測點數生成

如圖6所示為某標有同軸度公差的實際閥芯，通過MATLAB R2018a軟件模擬零件表面測點并進行測量結果不確定性分析，用于驗證方法的正確性，最后再用三坐標測量機進行測量，用于驗證方法的可行性。

圖6 某閥芯尺寸與幾何公差規(guī)范

本文研究懸臂裝夾方式下加工的零件，在切削力與溫度作用下，其尺寸誤差與加工尺寸的關系如圖7所示，其誤差模型為香蕉形，加工最大尺寸誤差為0.071 3 mm，符合尺寸誤差要求。

圖7 尺寸誤差與加工長度關系圖

尺寸誤差補償同軸度公差，得到綜合公差Tb=0.1+δT。閥芯為階梯軸，進行同軸度誤差檢測需測量基準軸與被測軸兩個圓柱體，將各自軸段長度L，測量允差ε=0.01～0.066 7 mm，取ε=0.066 7 mm，三坐標測量機誤差ε1=0.003 mm，帶入式(8)計算得到被測軸與基準軸單個截面上測點數分別為N1=41、N2=42，輸入相關參數到3.2節(jié)步驟，計算出被測軸的體外作用尺寸的平均值以及測量誤差，部分結果如表1所示。

表1 被測軸體外作用尺寸平均值及測量誤差

對比表1中數據，截面數越多，被測軸體外作用尺寸平均值越大，當截面數達到一定數量時，測量誤差變化量逐漸減小。

如表1所示，被測軸截面數為10時，體外作用尺寸平均值為34.833 8 mm和34.833 9 mm，此時對應的測量偏差為0.066 1 mm，滿足小于等于測量允差(ε)的判定條件，雖然繼續(xù)增加截面數測量誤差繼續(xù)變小，但每增加一個截面會增加41個測點，從而減小測量效率，增加測量成本，所以被測圓柱體建議采用10個截面，每個截面41個測點進行測量。

同理，基準軸測量部分結果如表2所示，可以看出，基準軸建議采用12個截面，每個截面42個測點進行測量，軸測圖實例模擬如圖8所示。

表2 基準軸體外作用尺寸平均值及測量誤差

圖8 零件表面模擬示意圖

采用文獻[4]的方法對該零件進行測點數計算，其軸向測點數，即測量截面?zhèn)€數如式(11)所示。

I=2a≥7L/λec

(11)

徑向測點數，即每個截面測點個數如式(12)所示。

N=2b≥7πd/λec

(12)

其測點結果與本文測量結果對比如表3所示。

表3 不同測點數選取方法對比

通過表3對比，本文所提出的測點優(yōu)化方法能夠有效提高測量效率，降低測量成本。

4.2 測量結果不確定度分析

截面數將會影響三坐標測量機評定同軸度公差時的評定結果不確定度，同時給測點模擬和評定過程帶來不確定度，通過分析該實例不同測點數下的測量結果不確定度，以驗證所提出模擬方法的準確性，如圖9所示。

圖9 測量結果不確定度評定流程

根據蒙特卡洛法分析測量結果不確定度，將被測圓柱體推薦截面數I=10，單個截面測點數N=41帶入評定流程，分析多組測點時被測圓柱體的體外作用尺寸包含區(qū)間，從而判定零件合格性。

國標規(guī)定，要計算包含概率為95%的包含區(qū)間，需要模擬計算10 000次[14]，其體外作用尺寸包含區(qū)間如圖10所示。其包含概率為95%的包含區(qū)間為[34.826 5,34.844 8] mm，總耗時351 s，平均耗時0.035 1 s，測點模擬算法魯棒性較好。

圖10 體外作用尺寸

4.3 實例的CMM驗證

針對4.1節(jié)中的實例采用CMM進行驗證，如圖11所示。

圖11 CMM實例測量

使用三坐標測量機為Hexagon Metrology生產的GLOBAL CLASSIC SR 07.10.07，測量精度為0.003 mm，基準軸和被測軸單個截面分別測量41、42個點，截面數分別為10、30進行測量，其被測軸測量評定結果如表4所示。

表4 閥芯評定結果

分析表4可得，當被測軸采用10、30個截面進行零件測量，評定都符合要求，零件都合格，兩者評定結果僅僅相差0.003 1 mm，但采用30個截面卻多增加了820個測點數，降低了測量效率，增加了測量成本，所以實際測量中，該實例建議采用10個測量截面即可滿足精度要求。

5 結論

本文重點研究了數字化測量環(huán)境下同軸度誤差檢測的測點優(yōu)化問題。分析零件的誤差來源，預測零件尺寸誤差；根據誤差理論規(guī)定隨機測量的概率范圍構建測點集模擬函數，模擬零件表面；分析測量截面數與誤差評定值之間的關系，基于蒙特卡洛法優(yōu)化測點數。

通過某閥芯實例驗證該方法正確性與有效性。與現有理論方法相比，所提方法在滿足精度要求下，軸向、徑向測點數分別減少983、246個，為解決目前同軸度誤差檢測測點數偏多問題提供新方法。

本文僅考慮了單一加工方式下零件誤差來源對零件同軸度誤差測量的影響，未來可研究不同加工方式下幾何誤差的智能化測量。