郭紅敏
[摘 ?要] 有效的復習題不僅可以幫助學生鞏固數(shù)學知識和技能,還可以有效發(fā)展學生的數(shù)學思維,提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)。文章從復習題的“自主性”“針對性”“綜合性”“開放性”“遷移性”“文化性”這幾個方面,探討其與數(shù)學思維發(fā)展之間的關(guān)系。
[關(guān)鍵詞] 復習題;數(shù)學思維;六性;整理與復習
數(shù)學習題是鞏固所學知識,形成基本技能,提高解決問題能力,發(fā)展數(shù)學思維,溝通數(shù)學與生活的聯(lián)系,培養(yǎng)數(shù)學情感的重要途徑。在人教版六年級下冊的“整理與復習”教學中,如何讓學生落實“四基”且有效發(fā)展和提高“四能”?復習題的設(shè)計和甄選尤為重要。本文從習題設(shè)計原則與學生思維發(fā)展之間的緊密聯(lián)系探討如何設(shè)計習題讓學生的數(shù)學思維得到發(fā)展。
[?] 一、自主性復習題,讓思維更具批判性
自主性是指學生按自己的意愿行事的動機、能力或特性。在教學“整理與復習”時,設(shè)計的復習題要能引起學生自主探究、自主參與的強烈意愿,在已有的認知水平上找到新的生長點,將知識點有機地串聯(lián)起來,形成新的數(shù)學活動經(jīng)驗,讓學生自主思考,產(chǎn)生新的想法,提出疑問,讓學生的批判性思維得到發(fā)展,讓學習真正發(fā)生。如復習平面圖形時,筆者給出問題:在長為12.4cm,寬為7.2cm的長方形紙中,剪半徑是1cm的圓,能剪多少個?畫一畫,剪一剪。(人教版六年級下冊第90頁第7題)
學生通過畫一畫、剪一剪等操作活動發(fā)現(xiàn):在長方形里剪出固定大小的圓,不能直接用長方形面積除以圓面積得出可剪圓的個數(shù)。由于有長方形面積計算公式推導的活動經(jīng)驗,學生會想到方中圓,正方形的邊長即圓的直徑,長方形的長有幾個正方形邊長,就表示一排可以剪幾個圓;長方形的寬有幾個正方形邊長,就表示可以剪幾排。學生最終通過計算發(fā)現(xiàn):12.4÷2=6(個)……0.4cm,7.2÷2=3(行)……1.2cm。一排可以剪6個,有3排,利用這樣的剪法,可以剪6×3=18個,如圖1。
自主性的復習題給了學生思維的活動空間、方法的分享空間。學生在交流中碰撞經(jīng)驗,于是就會產(chǎn)生疑問:如果圓與圓交錯相拼,會不會擺放更多的圓?問題是讓學習真實發(fā)生的內(nèi)驅(qū)力,學生主動參與解決問題,通過再一次的畫一畫、剪一剪等實踐操作,可以體會到圓與圓之間兩兩相切拼擺后不同的結(jié)果:第一行剪6個,第二行剪5個,剪出4行這樣的圓,共有6+5+6+5=22個,如圖2。
[?] 二、針對性復習題,讓思維更深刻
針對性是指在復習過程中,根據(jù)學生知識儲備的差異,從教材和學生的實際出發(fā),設(shè)計適合學生發(fā)展的學習內(nèi)容。在教學“整理與復習”時需要因材施教,既要顧慮班級里大部分學生的學習情況,又要滿足小部分學生的學習需求,所以設(shè)計復習題要做到“三針對”:
1. 針對不同層次的學生
通過作業(yè)反饋等方式了解全體學生及個別學生的知識儲備情況。習題要由淺入深,由易到難,循序漸進,讓每一層次的學生都能在關(guān)鍵處“練”,在生長點上“習”,讓每一位學生的數(shù)學思維能力都能在已有的水平上提升。如復習百分數(shù)時出示:商場搞活動,所有服飾類物品一律八折銷售。(1)一套西服原價950元,現(xiàn)在多少錢可以買到?(2)一條連衣裙原價700元,實際買到時節(jié)約了多少錢?(3)李阿姨買了一件羊毛衫,省了120元。這件羊毛衫原價應(yīng)是多少錢?
這是一道典型的百分數(shù)應(yīng)用的練習題,但是卻分成了不同難度的三個小題,各小題的練習目標依次是鞏固“已知一個數(shù),求這個數(shù)的百分之幾是多少”“一個數(shù)減去它的百分之幾是多少”和“已知一個數(shù)減去它的百分之幾后的得數(shù),求這個數(shù)”。這樣的題組設(shè)計,先是順向思維,鞏固基礎(chǔ)知識,后是逆向思維,提升思考能力,滿足了不同層次學生的練習需求。
2. 針對知識的易混淆處
六年的數(shù)學知識細碎繁雜,概念抽象,學生易混淆。但這是復習的重點,具體的操作方法是厘清相關(guān)知識的前瞻和后延,針對學生出現(xiàn)的典型錯誤,進行對比練習,讓他們在比較中抓住數(shù)學本質(zhì),抽絲剝繭般地領(lǐng)悟數(shù)學知識所蘊含的思想方法。如復習比和比例時出示:
(1)一項工程,甲完成要5小時,乙完成要4小時,甲、乙兩人的工作效率比是________。
(2)從甲地到乙地,客車要行1/4小時,貨車要行2/3小時,客車與貨車的速度比是________。
由于工作總量一定,工作時間和工作效率成反比,甲、乙兩人的工作時間的比是5∶4,所以甲、乙兩人的工作效率比是4∶5,同理可以解決第(2)題。這樣針對易混淆的知識進行對比練習,易于化濁為清,明晰概念。
3. 針對知識的重難點處
數(shù)學知識不是孤立存在的,彼此間既有層次,又有關(guān)聯(lián),而重難點知識好比“神經(jīng)元”,各種細小的基礎(chǔ)知識連起來好比“神經(jīng)纖維”,只有凸顯出“神經(jīng)元”,知識網(wǎng)狀的整體性才得以明晰。針對性地復習重難點知識,有利于強化學生對知識的結(jié)構(gòu)性的認識,讓其數(shù)學思維變得有序且深刻。如復習平面圖形的面積時出示:如圖3,在方格紙上畫出與給定的平行四邊形面積相等的圖形,你能畫出幾個?你發(fā)現(xiàn)了什么?
此題主要溝通不同平面圖形形狀不同、面積相同時底和高之間的關(guān)系。學生通過觀察長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形的面積,從而得出它們都可以用(a+b)h÷2的面積計算公式,進而體會“變中不變”的思想,發(fā)展空間觀念。
[?] 三、綜合性復習題,讓思維更靈活
綜合性是指將不同的知識融合在一個情境之中。創(chuàng)設(shè)綜合性的復習題,是為了更好地激發(fā)學生的求知欲,提高復習的效率,同時讓學生在解決問題中培養(yǎng)思維的靈活性。
1. 數(shù)學與實際生活相融合
以現(xiàn)實世界為背景和實際生活問題為引導,帶動知識點的復習,既能解決實際問題,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,又能激發(fā)學習興趣,變枯燥為生動,促進學生的學習可持續(xù)發(fā)展。如在整理復習“統(tǒng)計與概率”這一相關(guān)知識時,教師結(jié)合“新冠疫情”來設(shè)計復習題:以收集的2020年2月3日—2月13日全國30個省區(qū)市和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團新冠肺炎新增確診病例數(shù)量為例(如圖4,數(shù)據(jù)來源:國家衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站),要求學生繪制統(tǒng)計圖,分析數(shù)據(jù),談發(fā)現(xiàn)、說感想和提建議。
學生在經(jīng)歷統(tǒng)計的過程中,復習了數(shù)據(jù)的收集、整理和分析的步驟與方法,同時,進一步認識了統(tǒng)計的現(xiàn)實意義,感受了統(tǒng)計與生活的緊密聯(lián)系,并能引發(fā)對數(shù)據(jù)變化正確預測的思考。
2. 數(shù)學與其他學科相融合
數(shù)學不是一門孤立的學科,而應(yīng)融入各學科組成的大知識之中,所以要關(guān)注數(shù)學與其他學科的融合,要讓學生善于應(yīng)用數(shù)學和喜歡數(shù)學。設(shè)計與多學科相融合的復習題,也是增強學生綜合能力的一種手段。如復習體積時出示:怎樣測量一個馬鈴薯的體積?對于不規(guī)則物體的體積測量,需要用到轉(zhuǎn)化的思想,轉(zhuǎn)化的途徑多樣,用得較多的是物理的方法——排水法。而要利用這一方法測出馬鈴薯的體積,學生需要對實驗程序有一定的統(tǒng)籌與安排。①杯中放入部分水,測量出水的高度h1;②將馬鈴薯完全浸沒于水中,記錄水的高度h2;③用皮尺測量出杯底周長,從而推算出半徑r;④根據(jù)水排開的體積就是馬鈴薯的體積,利用V=Sh=πr2(h2-h1),求出其體積。將數(shù)學與物理相結(jié)合,體會知識間的關(guān)聯(lián)性,也為學習初中物理利用排水法求相關(guān)物體密度等知識積累活動經(jīng)驗。
3. 數(shù)學內(nèi)部知識間相融合
數(shù)學知識間具有逐步遞進的關(guān)系,有著一定的合理的認知結(jié)構(gòu)。復習題應(yīng)注重內(nèi)部知識間的融合,教師應(yīng)將一道題精講、講透、講活,由此真正提高復習的效率。比如教學等底等高的長方體、正方體、圓柱和圓錐的體積時,設(shè)計復習題:如果圓柱體積是1立方分米,則圓錐的體積是多少?圓錐的底面積是多少?那么,正方體的表面積又是多少?如果圓錐體積要和長方體的體積相等,高度應(yīng)該怎么變化?要使高度不變,圓錐的底面積又和正方體的底面積成什么關(guān)系?同一道題,不同的切入點,就有不同的思維深度。
[?] 四、開放性復習題,讓思維更具獨創(chuàng)性
開放性是指學生不拘泥于單一內(nèi)容和形式,解決問題時可以有不同的方式,也可以得到不同的答案。復習中,開放的題型以意識的創(chuàng)新為引導,以思維的新度為側(cè)重點,以思維的發(fā)散為核心。培養(yǎng)學生思維的獨創(chuàng)性,大致分為以下三類:
1. 條件開放,一題多變,培養(yǎng)舉一反三的能力
通過改變條件,題型變得接近卻又不盡相同,學生在變式中厘清概念,追本溯源,能夠有效克服定式思維的負遷移,從而培養(yǎng)舉一反三的能力。
題1 ?一根繩子被剪成兩段,第一段長米,第二段占全長的,這兩段繩子相比( ? ?)。
A. 第一段長 B. 第二段長
C. 一樣長 D. 無法比較
題2 ?兩根同樣長的繩子,第一根剪去它的米,第二根剪去它的,剩下的兩段繩子相比( ? ?)。
A. 第一段長 B. 第二段長
C. 一樣長 D. 無法比較
類似的情境,數(shù)據(jù)相同,求解時都需要真正去理解單位“1”的含義。學生只有通過變化個別條件,進行對比練習,才能做出正確的選擇。
2. 方法開放,一題多解,培養(yǎng)發(fā)散變通的能力
方法的開放可以理解為解決問題的多元化,多元化并不是形式的多元,而是新思路、新視角的多元。但是有時并不是思路越多樣越好,而是應(yīng)在“優(yōu)化”的前提下,重視方法間的比較,引導“多元化”的達成,這才是思維發(fā)散變通的本質(zhì)。
如數(shù)學書90頁的第11題:把一個棱長6cm的正方體切成棱長2cm的小正方體,可以得到多少個小正方體?它們的表面積之和比原來大正方體的表面積增加了多少?
對于第二問,學生思考時借助畫圖來直觀分析題意,從而理出不同的解題思路:可以是先求出所有小正方體的表面積之和,再減去原來大正方體的表面積;也可以是直接求出大正方體被切割后增加的表面積,沿著長、寬、高三個方向各切2次,一共就切了6次,每切一次就增加2個大正方形的面積,也就總共增加了6×2=12個大正方形的面積。
3. 結(jié)論開放,多題一解,培養(yǎng)概括歸納的能力
一題可以有不同結(jié)論,當然,多題也可以有同一結(jié)論。結(jié)論的開放,需要學生在各種數(shù)學現(xiàn)象中“撥云見日”,梳理出關(guān)聯(lián)性,分離出問題核心,區(qū)分出相同本質(zhì)。
題3 ?擺一擺,找規(guī)律。
(1)用小棒擺三角形,按照圖5擺放的規(guī)律,每多搭1個三角形就要增加多少根小棒?
(2)擺第7個圖形需要用多少根小棒?
(3)擺第n個圖形需要用多少根小棒?
在觀察比較中,學生會發(fā)現(xiàn)小棒根數(shù)與三角形個數(shù)之間的關(guān)系:以第1根小棒數(shù)為基準,添上2根,就成為一個三角形,再添2根,就再增加1個三角形,那么,新增n個三角形需要增加2n根小棒,加上基準的1根小棒,便是2n+1,所以擺第n個圖形需要用2n+1根小棒。
當然,這樣的結(jié)論也適用于擺正方形:用火柴按照圖6的方法擺正方形(每條邊擺1根火柴),照這樣,擺15個正方形共需要( ? )根火柴。
A. 45 ? ? B. 46 ? ? C. 60
不管是三角形,還是正方形,抑或是五邊形,其實都是“新瓶裝舊酒”,學生在這樣的開放式題目中,一一試錯,一一提煉,一一厘清,在特殊中找到一般,從具體中抽象出模型,進而培養(yǎng)概括歸納的能力。
[?] 五、遷移性復習題,讓思維更敏捷
遷移性可以理解為學生已獲得的知識經(jīng)驗對完成其他學習活動產(chǎn)生的影響。如果復習時,學生的練習沒有得到層層推進,沒有發(fā)生知識遷移,那么學生的獲得也只能夠停留在知識層面,不能夠有思維的提升,也難有活動經(jīng)驗的積累。
“用一根長24cm的鐵絲圍一個長方體(或正方體)框架。在這個長方體(或正方體)的表面糊一層紙,怎樣用紙最多?”
此復習題是關(guān)于已知立體圖形的總棱長求此立體圖形的最大面積的問題。此復習題對學生來說有一定難度,只有遷移到更為低階的知識或方法,才能更好地理解此問題的解決方法。
解決前,可通過厘清兩個知識點來實現(xiàn)方法的遷移,一是周長相等時,長方形與正方形相比,正方形的面積最大;二是底面周長和高相等時,長方體與正方體相比,正方體的體積最大。由這兩個稍微低階的問題,類比遷移來解決此復習題,學生便能理解總棱長一定的長方體與正方體相比,正方體的表面積最大,其表面糊一層紙的紙量也最多。在這里,教師要告知學生正方體是特殊的長方體。
[?] 六、文化性復習題,讓思維更廣闊
文化性凸顯數(shù)學的精神、思想及方法的形成和發(fā)展。學生通過涉獵具有數(shù)學文化性的復習題,不僅能理解數(shù)學內(nèi)涵,還能了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的重要性,在開闊數(shù)學視野的同時培養(yǎng)思維的廣闊性。
比如,在我國古代,隨著農(nóng)業(yè)的發(fā)展,各種谷倉、糧庫容積的計算也益加繁重,到《九章算術(shù)》成書時代,我國的各種幾何體體積公式都已具備,如計算堆積的方法,以編成歌訣的形式在古代民間廣泛應(yīng)用:尖堆法用三十六,倚壁須分十八停。內(nèi)角聚時如九一,外角三九甚分明。
每一句表達一種形式的堆積公式。比如第一句的意思:糧食堆積在平地上成圓錐體,其體積為底面周長的平方乘高,再除以36,即平地堆積=C2h。
試根據(jù)上面的平地堆積公式求下面圓錐的體積:一個圓錐形沙堆的底面周長是6米,高是2米,它的體積是多少?
“解題不單單是為了找到答案,應(yīng)當學會這樣一種對待習題的態(tài)度,即把習題看作精密研究的對象,而把解答習題看作設(shè)計和發(fā)明的目標。” 衡量數(shù)學習題質(zhì)量的一個重要標準就是所設(shè)計的習題是否能充分引起學生思考,使學生在鞏固知識的同時,思維也得到發(fā)展??傊?,復習題把握住自主性、針對性、綜合性、開放性、遷移性和文化性,有助于學生在現(xiàn)實生活中找尋到數(shù)學的影子,點燃探索的好奇火種,用數(shù)學的理性角度去思考問題,認識世界,并在解決問題中,讓思維“活”起來。