山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學(xué)(255000) 劉慧 王廷

當(dāng)前,核心素養(yǎng)的提出,要求教師在課堂教學(xué)中必須堅持“以生為本”的理念,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.其中,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)致力于學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等方面的提升,這需要教師將核心素養(yǎng)的教育理念與教學(xué)課堂實踐進(jìn)行有機結(jié)合.下面,筆者以“平方差公式(第1 課時)”為例,談?wù)勗诤诵乃仞B(yǎng)的視角下對初中代數(shù)課堂的教學(xué)實踐與思考.

1 教材分析

平方差公式是多項式乘法運算中的一個重要公式,是在學(xué)習(xí)了整式乘法基本運算法則之后,對于特殊形式的多項式乘法的進(jìn)一步研究,屬于數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動的結(jié)果.平方差公式在整式乘法,因式分解,分式運算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用.同時,它也是構(gòu)建學(xué)生有價值的數(shù)學(xué)知識體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容,是讓學(xué)生感悟化歸、換元、整體等數(shù)學(xué)思想,以及感受數(shù)學(xué)再創(chuàng)造性的好教材.

2 教學(xué)實錄與分析

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣

問題:從前,有一個狡猾的地主,把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植.第二年,他對張老漢說:“我把這塊地的一邊減少b米(b ＜a),相鄰的另一邊增加b米,繼續(xù)租給你,租金不變,你也沒有吃虧,你看如何? ”張老漢一聽,覺得好像沒有吃虧,就答應(yīng)道:“好吧”.回到家中,他把這事和鄰居們一講,大家都說:“張老漢,你吃虧了! ”張老漢非常吃驚.你覺得張老漢吃虧了嗎?

師:同學(xué)們覺得張老漢有沒有吃虧呢?

生1:沒有吃虧!

生2:我覺得沒那么簡單,張老漢可能吃虧了!

師:兩位同學(xué)有不同的意見,誰的觀點是正確的呢? 下面請同學(xué)們小組合作,利用手中的紙片來研究一下吧!

教學(xué)分析:利用故事創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生強烈的求知欲和探索欲,調(diào)動學(xué)生的積極性,并訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力,發(fā)展學(xué)生合情推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時,也為學(xué)生了解平方差公式的幾何背景做鋪墊,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.

2.2 自主探究,獲取新知

師:剛剛同學(xué)們討論的非常熱烈,大部分同學(xué)都有了自己的結(jié)論,下面請一個小組上臺來展示一下.

生3:我們小組通過拼圖(如圖1) 的方式來進(jìn)行研究的:原來正方形的面積為a2,變形后長方形的面積為(a+b)(a-b),通過拼圖可以發(fā)現(xiàn)長方形的面積比正方形的面積少了一個面積為b2的小正方形(動手演示),所以張老漢吃虧了!

圖1

師:很好,十分清晰.通過拼圖我們可以確定張老漢確實吃虧了,那么同學(xué)們能通過這個問題得到一個什么等式呢?

生4:(a+b)(a-b)=a2-b2.

師:很好! 這個等式我們把它叫做平方差公式.

(板書:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.)

師:同學(xué)們能利用多項式乘多項式的法則推導(dǎo)驗證一下這個公式嗎?

生5:(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

師:很好! 請同學(xué)們注意,在這個公式中a、b可以是任意實數(shù)、字母、式子.同學(xué)們能用文字表達(dá)一下這個公式嗎?

生6:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

師:很好,表達(dá)的非常準(zhǔn)確!

教學(xué)分析:通過小組合作以及學(xué)生動手操作,學(xué)生在探索面積變化的過程中,從“形”的角度得出了平方差公式.接下來,學(xué)生再利用乘法法則進(jìn)一步推理驗證,再從“數(shù)”的角度驗證平方差公式,完成了從合情推理到演繹推理的過程,提升了邏輯推理的核心素養(yǎng),也體會了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.同時,學(xué)生在把問題情境抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中,鍛煉了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的能力,在拼圖的過程中也提升了直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3 深度挖掘,明確結(jié)構(gòu)

師:請同學(xué)們利用平方差公式進(jìn)行口算:(x+1)(x-1);(m+2)(m-2).

生7:(x+1)(x-1)=x2-1;(m+2)(m-2)=m2-4.

師:很好,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)平方差公式的作用了嗎?

生8:利用平方差公式可以進(jìn)行快速運算!

師:對! 但是平方差公式可不能亂用! 下面請同學(xué)們看看下列這些乘法運算可以用平方差公式進(jìn)行計算嗎?

(1) (7ab -3b)(7ab+3b);(2) (-8 +a)(a-8);(3) (a+2b)(2b+a);(4)-(a-b)(a+b);(5) (-3-m)(m-3);(6)(x+3)(-x-3).

生9:第1 個和第4 個可以用!

生10:還有第5 個和第6 個可以用!

生11:不對! 第6 個不可以用!

師:能說明理由嗎?

生11:因為兩個括號里的第一項符號不一樣!

師:觀察非常仔細(xì)! 那同學(xué)們能總結(jié)一下整式乘法要滿足什么樣的結(jié)構(gòu)才可以用平方差公式呢?

生12:兩個乘式的第一項必須都是正的,第二項必須一正一負(fù)互為相反數(shù).

師:有不同意見嗎?

生13:兩個乘式的第一項也可以都是負(fù)的,只要第一項相同就可以了.

師:不錯,那么一定是第一項相同,第二項互為相反數(shù)嗎?

生14:不一定! 只要兩個乘式的兩項中,有一項完全相同,另一項互為相反數(shù)就可以用平方差公式.

師:能具體說明一下原因嗎?

生14:因為我們可以利用加法的交換律把相同的項都放在第一項,互為相反數(shù)的項都放在第二項,就可以應(yīng)用平方差公式了.

師:非常好,觀察認(rèn)真,理由充分! 所以,在進(jìn)行兩個二項式乘法計算時,我們一定要觀察好兩個乘式是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,必要的時候需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃卧龠\用公式進(jìn)行計算.

教學(xué)分析:在這個環(huán)節(jié)中,學(xué)生先通過兩道簡單的口算題初步感受平方差公式在乘法運算中帶來的簡便性,同時也鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.接下來,學(xué)生自主辨析并深入挖掘平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,這一步是學(xué)生理解公式,進(jìn)而靈活運用公式解決問題的重要條件.在這個過程中,學(xué)生通過明辨結(jié)構(gòu),發(fā)展了抽象思維、符號意識以及推理能力,進(jìn)一步提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.4 典例實踐,學(xué)以致用

例1 計算:

(1)(2x+1)(2x-1);(2)(3x+2)(3x-2);(3)(b+2a)(2ab);(4)(-x+2y)(-x-2y).

例2 計算:

(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).

教學(xué)說明:教師選取個別學(xué)生板演,在巡視過程中及時記錄學(xué)生出現(xiàn)的問題,然后師生一起糾錯.其中,例1 的第(4)題學(xué)生錯的較多,教師提醒學(xué)生要先對原多項式進(jìn)行變形,再應(yīng)用公式;例2 的第(2)題,個別學(xué)生由于思維定式認(rèn)為(y-1)(y+5)也可以用平方差公式,教師要提醒學(xué)生注意:不能用平方差公式進(jìn)行計算的應(yīng)該用多項式乘法法則進(jìn)行計算!

教學(xué)分析:通過這兩個例題,讓學(xué)生體會平方差公式如何正確運用,并檢測學(xué)生對公式的理解程度.在這里放手讓學(xué)生自主完成,充分體現(xiàn)了學(xué)生在課堂的主體地位,挖掘了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和潛力,提升了學(xué)生的運算能力,同時也發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感和符號意識.

2.5 實踐反饋,強化新知

練習(xí)1：判斷下面各式的計算對不對? 若不對,應(yīng)當(dāng)怎樣改正?

(1)(x+2)(x-2)=x2-2;

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4.

練習(xí)2：運用平方差公式計算:

(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);(3)51×49;(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).

教學(xué)說明:學(xué)生獨立完成,完成后小組內(nèi)互相訂正,互查錯誤,教師巡視指導(dǎo).

教學(xué)分析:通過此環(huán)節(jié),進(jìn)一步加強學(xué)生對平方差公式的理解和運用,不僅能繼續(xù)發(fā)展學(xué)生的運算能力,也培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識.在組內(nèi)互查訂正的過程中,學(xué)生的自我管理和合作意識也得到了有效提升,初步發(fā)展了適應(yīng)社會需要的必備品格和能力.

2.6 總結(jié)收獲,感悟升華

師:通過這節(jié)課你學(xué)到了什么? 有什么收獲呢?

生15:我學(xué)到了平方差公式,知道了平方差公式可以幫助我們簡化計算!

生16:利用平方差公式要注意觀察多項式的形式,滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)特征才可以用! 有時需要先變形再用!

師:同學(xué)們在數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法方面有什么收獲呢?

生17:在研究公式的時候可以借助拼圖,用圖形來幫助我們研究代數(shù)!

師:很好,這就是我們常說的數(shù)形結(jié)合思想! 剛剛同學(xué)們總結(jié)的非常好! 在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,同學(xué)們也要繼續(xù)努力,積極探索,在代數(shù)的海洋中發(fā)現(xiàn)更多的公式和結(jié)論!

教學(xué)分析:學(xué)生在總結(jié)中對學(xué)到的知識、方法、思想進(jìn)行再升華、再提煉,通過有條理地表達(dá)鍛煉了勤于總結(jié),勤于反思的良好素養(yǎng).

3 核心素養(yǎng)視角下對代數(shù)課堂教學(xué)的思考

3.1 注重對運算法則的探索過程

“數(shù)與代數(shù)”這部分課程內(nèi)容的教學(xué),不能簡單地要求學(xué)生記憶各種運算法則,應(yīng)關(guān)注學(xué)生對法則的探索過程.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》中指出:數(shù)學(xué)課程不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法.在課堂教學(xué)中,教師不僅要關(guān)注結(jié)果,更要關(guān)注過程.只有在對法則的探索過程中讓學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,才能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

3.2 注重發(fā)展學(xué)生的推理能力

推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.也許有人認(rèn)為推理能力的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在幾何教學(xué)中,這是不準(zhǔn)確的.事實上,代數(shù)對發(fā)展學(xué)生的推理能力也有十分重要的作用.學(xué)生在對事物之間的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律進(jìn)行分析的過程中,通過歸納與概括,發(fā)現(xiàn)隱含其中的量與量之間的關(guān)系,并用符號一般性地表示出來,再用運算法則證明猜想,從合情推理再到演繹推理,都能發(fā)展學(xué)生的推理能力,有助于提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

3.3 注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

在代數(shù)的課堂教學(xué)中,教師應(yīng)注重將代數(shù)推理與幾何直觀相結(jié)合.幾何直觀有效幫助學(xué)生探索、理解、記憶代數(shù)結(jié)論的意義和結(jié)構(gòu).同時,在代數(shù)中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀也可以幫助學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

總之,核心素養(yǎng)視角下,在初中代數(shù)課堂的教學(xué)中,教師應(yīng)致力于將發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作為各項教學(xué)活動安排的基本思想.只有將核心素養(yǎng)的教育理念融入到課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié),才能在課堂教學(xué)中體現(xiàn)并落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的持續(xù)性發(fā)展[2].