揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225000) 王張毅

1 問題提出

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn),也是許多地區(qū)中考的熱門考點(diǎn),同時(shí)作為初中、高中階段的重要銜接部分,二次函數(shù)既是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),又是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要工具.

一直以來各地中考對(duì)于二次函數(shù)的要求都較高,對(duì)二次函數(shù)的考察也比較靈活與綜合,不僅考察二次函數(shù)性質(zhì)、圖像,還常與其它知識(shí)結(jié)合來綜合考察學(xué)生的思維與應(yīng)用能力.

中考是高中選拔學(xué)生的重要依據(jù),學(xué)生只有順利通過中考才有機(jī)會(huì)接受更高層次的教育,而壓軸題具有較大的難度與區(qū)分度,對(duì)于學(xué)生的考試成績至關(guān)重要,因此如何順利解出壓軸題是一個(gè)重要的課題.壓軸題的題型多變,涉及的知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜,其中以二次函數(shù)為知識(shí)背景的壓軸題出現(xiàn)頻率較高.

由于中考對(duì)二次函數(shù)考察的復(fù)雜性以及問題結(jié)論的多樣性,往往需要運(yùn)用分類討論的思想方法對(duì)問題的因素進(jìn)行分類.分類討論思想方法是依據(jù)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性,將其劃分為若干不同種類,然后逐類研究,是解決此類復(fù)雜問題的有效工具.

2 分類討論思想

分類討論思想是依據(jù)一定的原則與標(biāo)準(zhǔn),將所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為若干種不同的情形,再分別對(duì)每一種情形進(jìn)行討論的數(shù)學(xué)思想.分類討論思想對(duì)于簡化復(fù)雜問題、厘清研究思路起著重要的作用.

分類討論的基本步驟是:(1)明確分類對(duì)象(2)確立分類依據(jù)(3)合理實(shí)施分類(4)逐類分析討論(5)歸納總結(jié).分類討論一般要滿足不重復(fù)、不遺漏、分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一等原則.

上述關(guān)于分類討論思想的討論可以用以下數(shù)學(xué)語言表述:

若要證明命題Q對(duì)于集合I成立,只要將集合I分為若干個(gè)子集Ii(i=1,2,3,...,n),且滿足I1∪I2∪I3∪...∪In=I,I1∩I2∩I3∩...∩In=?,再證明命題Q對(duì)于Ii(i=1,2,3,...,n)都成立,則命題Q對(duì)于集合I成立.

3 例題分析

3.1 與二次函數(shù)圖像和對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的分類

例1 (2020·宿遷·28)二次函數(shù)y=ax2+bx+3 的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式,并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)如圖①,D是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3) 如圖②,P是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接OP,取OP中點(diǎn)Q,連接QC,QE,CE,當(dāng)ΔCQE的面積為12 時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

分析:第(2)問中的點(diǎn)D與第(3)問中的點(diǎn)P都是動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)問題往往采用靜態(tài)化的處理策略,也就是在運(yùn)動(dòng)過程中選取某一靜止?fàn)顟B(tài)下的特殊情形來代表某一連續(xù)狀態(tài),通過對(duì)具有代表性的靜止?fàn)顟B(tài)的分析可以掌握連續(xù)狀態(tài)下的整體性質(zhì),以完成動(dòng)點(diǎn)問題的求解,因此選取合適的靜止?fàn)顟B(tài)成為解決動(dòng)點(diǎn)問題的突破口.

如何選取合適的靜止?fàn)顟B(tài)? 首先就要在分類討論思想的指導(dǎo)下對(duì)動(dòng)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分類,其中的關(guān)鍵就是找到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中不同情形的分界點(diǎn).如本題的第(2)問,將“BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)C”這一條件轉(zhuǎn)化為“CB=CD”后,實(shí)際上該問題就變成“當(dāng)二次函數(shù)對(duì)稱軸上的點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),CB=CD”,考慮點(diǎn)D的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程,可以劃分為點(diǎn)D在線段BC上方與下方兩種情況,將點(diǎn)D這一動(dòng)態(tài)過程劃分為兩個(gè)動(dòng)態(tài)過程,再靜態(tài)化處理畫出兩個(gè)動(dòng)態(tài)過程下滿足CB=CD這一條件的草圖,充分考慮這兩種情況后再結(jié)合幾何特性與代數(shù)方法,該問題就可以順利解決.而題目中給出的圖只包含點(diǎn)D在線段BC上方一種情況,如果不在分類討論思想的指導(dǎo)下,可能就會(huì)導(dǎo)致該問題的漏解.

第(3)問是由于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致ΔCQE的形狀在變化,這就意味著在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中ΔCQE的面積也在不斷變化.考慮點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)滿足ΔCQE的面積為12,思路自然是引入?yún)?shù)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo),再利用幾何性質(zhì)用參數(shù)表示ΔCQE的面積,通過求解方程即可解決本題.但由于在運(yùn)動(dòng)過程中ΔCQE的形狀在不斷改變,其幾何特征也在變化,所以要將動(dòng)態(tài)過程靜態(tài)化,找到具有代表性的靜止?fàn)顟B(tài)下的ΔCQE的形狀,分析其幾何特征才能順利列出方程.在分類討論的思想指導(dǎo)下,考慮點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程,不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、E為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分界點(diǎn),即可以將整個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊、點(diǎn)P在點(diǎn)C與點(diǎn)E之間、點(diǎn)P在點(diǎn)C右邊三種情形,然后再畫出草圖分別考慮三種情形下ΔCQE的幾何特征,該題便可游刃而解.

例2 (2020 ·常州市· 28) 如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+3 的圖像與y軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B,拋物線過點(diǎn)C(1,0),且頂點(diǎn)為D,連接AC、BC、BD、CD.

圖2

(1)填空:b=____;

(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線BD于點(diǎn)Q.若∠CQD=∠ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)E在直線AC上,點(diǎn)E關(guān)于直線BD對(duì)稱的點(diǎn)為F,點(diǎn)F關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)為G,連接AG.當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí),直接寫出AG的長.

分析:本題是一道難度較大的中考?jí)狠S題,實(shí)際上與例1 同樣屬于動(dòng)點(diǎn)問題,不少學(xué)生難以下手,但是在分類討論思想的指導(dǎo)下,將動(dòng)點(diǎn)問題靜態(tài)化處理,第(2)問的解題難度會(huì)陡然下降.

題目中的∠ACB的大小是確定的,∠CQD的大小因?yàn)辄c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而不確定,考慮點(diǎn)Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程與點(diǎn)P相關(guān),假設(shè)點(diǎn)P從左往右運(yùn)動(dòng),不難發(fā)現(xiàn)∠CQD的度數(shù)存在先增大再減小的過程,所以可將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程一分為二,由此可知應(yīng)該至少有兩種情況滿足題目要求,再分別考慮兩種情況下的圖形的幾何特性進(jìn)行求解,該題的難度大大降低,在解題時(shí)能夠有路可走.

3.2 與二次函數(shù)圖像中直角三角形有關(guān)的分類

例3 (2020·無錫·17)二次函數(shù)y=ax2-3ax+3的圖像過點(diǎn)A(6,0),且與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)M在該拋物線的對(duì)稱軸上,若ΔABM是以AB為直角邊的直角三角形,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_____.

分析:本題中只給出邊AB是直角邊,而一個(gè)直角三角形中有兩條直角邊,現(xiàn)在根據(jù)邊AB是直角邊這一條件可以確定邊AB對(duì)應(yīng)的∠AMB一定不是直角,但剩下的∠AMB與∠BAM都有可能是直角,因此在分類討論的思想下指導(dǎo),該題的解答思路會(huì)更加清晰.

在ΔABM中A,B兩點(diǎn)為定點(diǎn),點(diǎn)M在對(duì)稱軸上,兩種情況在圖像上的分界點(diǎn)應(yīng)該是AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn),所以一種情況是點(diǎn)M在這個(gè)交點(diǎn)的上方,另一種情況是點(diǎn)M在這個(gè)交點(diǎn)的下方,根據(jù)分類的情況各自畫出草圖,再利用圖形之間的幾何關(guān)系就可以解答本題,所以求解本題的關(guān)鍵就是找到分類討論的依據(jù)進(jìn)行合理分類.

例4 (2020·鹽城·25)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M(x1,0),N(x2,0)(0＜x1＜x2),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,2) 過點(diǎn)A的直線l與x軸交于點(diǎn)C,與該函數(shù)的圖像交于點(diǎn)B(異于點(diǎn)A) .滿足ΔACN是等腰直角三角形,記ΔAMN的面積為S1,ΔBMN的面積為S2,且

圖3

(1)拋物線的開口方向____(填“上”或“下”);

(2)求直線l相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(3)求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

分析:本題與例3 一樣都是與直角三角形中直角的不確定有關(guān)的分類,但是因?yàn)橹苯拥南拗茥l件比例3 中更加少,所以在本題中ΔACN的三個(gè)角都有可能是直角,因此在完成本題第(2)問時(shí)需要分三種情況討論.在對(duì)每種情況單獨(dú)分析后可以發(fā)現(xiàn)其中兩種情況可以舍去,最后只剩下一種情況可以求解,所以實(shí)際上本題中存在隱藏的限制條件,導(dǎo)致本題中滿足要求的只有一種情況.

在用分類討論思想方法時(shí),要注意所分的每一種情況都需要滿足題目中的條件,對(duì)于不滿足條件的情況討論后可以舍去,所以對(duì)于復(fù)雜的問題可以使用分類討論的思想方法進(jìn)行簡化,在對(duì)每一種分類情況逐類討論時(shí)也更加有條理,避免邏輯與思路上的混亂,以提高解題的效率與正確率.

4 小結(jié)

由于二次函數(shù)的代數(shù)與幾何性質(zhì)特征明顯,易與其它知識(shí)模塊產(chǎn)生聯(lián)系,常常出現(xiàn)在中考?jí)狠S題中.從上述例題可以看出,這些考題的難度較大,大多處于中檔題與難題的區(qū)間,所涉及的題目條件復(fù)雜,不少考生往往難以下手.對(duì)于其中的一些題目,分類討論思想方法是極其有效的工具,若在解題過程中合理使用分類討論,往往會(huì)將復(fù)雜的問題簡化,使解答過程更加條理清晰,也可避免漏解、少解,有助于學(xué)生厘清思路,從而達(dá)到事半功倍的效果.在使用分類討論思想方法的過程中一定要先認(rèn)識(shí)討論對(duì)象的全域再確立合適的分類依據(jù),然后進(jìn)行合理的分類,要保證分類不重不漏,在分類后要對(duì)每一個(gè)分類進(jìn)行逐類討論,最后再將各類情況歸納總結(jié).