廣東省佛山市順德區(qū)北滘中學(xué)(528311) 雷火華

本文探討2 個尺規(guī)作圖問題:

①過圓外一點,作直線與圓相切.

②過圓外兩點(這兩點與圓心不共線),作圓與已知圓相切.

希望能起到拋磚引玉的作用,讓更多的尺規(guī)作圖問題得到關(guān)注討論.

1 過圓O 外一點A 作與圓O 相切的直線問題

已知:⊙O以及⊙O外一點A,求作直線過點A且與⊙O相切.

作法:①連結(jié)AO;②取線段AO的中點B;③以點B為圓心,BA長為半徑作⊙B,交⊙O于點C、D;④作直線AC、AD;則,直線AC、AD為所求.

如圖1,連結(jié)BC、OC,∵BC=BO,∴∠BOC=∠BCO,同理可得∠BCA=∠BAC,∴∠OCA=∠BCO+∠BCA=,∴AC與⊙O相切于點C.故,AC為所求.

2 過圓A 外兩點C、D(C、D、A 三點不共線)作與圓A 相切的圓問題

已知:⊙A以及⊙A外兩點C,D(C、D、A三點不共線),求作一圓過C,D兩點且與⊙A相切.

作法:①連結(jié)AC,取AC的中點E;②作AC的垂直平分線EG;③取CD的中點F;④作CD的垂直平分線FG,交EG于點G;⑤以G為圓心,GA長為半徑作圓G,交⊙A于H、I兩點;⑥作直線HI,交直線CD于點J;⑦連結(jié)AJ,取AJ的中點K;⑧以K為圓心,KA長為半徑作圓K,交⊙A于點L;⑨連結(jié)CL,取CL的中點M;⑩作線段CL的垂直平分線MN,交FG于點N;?以N為圓心,NL長為半徑作圓N;則,⊙N為所求.

如圖2,圖3,⊙N與⊙A有外切、內(nèi)切兩種情況.

圖2

圖3

證明:如圖4,連結(jié)JL;∵AJ為⊙K的直徑,

圖4

由①④得:∠ALN=∠ALJ+∠JLN=π,∴A、L、N三點共線,又∵點L既在⊙A上,又在⊙N上,∴⊙N與⊙A相切于點L,又∵⊙N過C,D兩點,故⊙N為所求.

當(dāng)圓心A與圓外兩點C、D共線時,又如何呢? 有空,大家研究研究.

空閑時,筆者常常點開“幾何畫板”,設(shè)計一些曲線、圖形,拖動一些點,設(shè)計一些點的變化,而產(chǎn)生一些新的、有特別意義的曲線,一來可以讓自己欣賞變化曲線的優(yōu)美,二來也進(jìn)一步研究一些自己以前不知道的數(shù)學(xué)結(jié)論,借助于“幾何畫板”工具,讓自己在尺規(guī)作圖上有不少的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).

筆者認(rèn)為,借助“幾何畫板”工具進(jìn)行尺規(guī)作圖教學(xué),既能讓學(xué)生欣賞變化曲線的優(yōu)美性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,又有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,更有助于培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力.