吳丹

[摘 要]增強學(xué)生空間感知能力有利于提高學(xué)生的空間想象能力，有助于學(xué)生學(xué)好立體幾何。教師可通過幫助學(xué)生建立立體幾何基礎(chǔ)模型庫，制作立體幾何基礎(chǔ)模型、畫直觀圖、利用數(shù)學(xué)軟件制作動態(tài)立體圖形來增強學(xué)生的空間感知能力。

[關(guān)鍵詞]空間感知能力;立體幾何;途徑

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0017-03

空間感知是人對客觀物體的空間特性與空間關(guān)系的認(rèn)識，包括對物體的大小、形狀、方位、距離等的知覺。在人教版教材（2019年版）高中數(shù)學(xué)第二冊第96頁第八章“立體幾何初步”的前言中提到：“立體圖形是由現(xiàn)實物體抽象形成的。直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算，是認(rèn)識立體圖形的基本方法?！奔訌娍臻g感知教學(xué)，有助于提高學(xué)生的想象能力，也為其建立空間概念奠定基礎(chǔ)。在立體幾何的教學(xué)中，筆者歸納了增強學(xué)生空間感知能力的幾種途徑。

一、建立立體幾何基礎(chǔ)模型庫

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程?！皵?shù)學(xué)建?！笔菙?shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。立體幾何模型是對立體幾何知識的集中概括，是凝結(jié)在學(xué)生頭腦中的一系列的加工和認(rèn)識對象，立體幾何就是跟各色各樣幾何模型“打交道”的學(xué)科。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解題方法的過程，其實就是在建立一個個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模型，再用這些模型去解決一個個或抽象或有具體情境的數(shù)學(xué)問題的過程。要解決更為復(fù)雜的立體幾何問題，就要先幫助學(xué)生建立好立體幾何基礎(chǔ)模型庫，增強他們的空間感知能力，讓他們有將空間問題平面化的本領(lǐng)，有將立體幾何問題化歸為平面幾何問題來處理的能力。

幫助學(xué)生建立立體幾何基礎(chǔ)模型庫是一個積累的過程，積累的形式可以多樣化。比如，可以借助熟悉的實物來讓學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體，讓學(xué)生在實物觀察中培養(yǎng)空間感知能力。例如，在對“棱柱”的認(rèn)知教學(xué)中，我們可以設(shè)計如下例題。

[例1]下面命題中正確的是（ ）。

A.有一個側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱

B.有一個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

C.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

分析：此題需要用到的是直棱柱、斜棱柱的模型，當(dāng)教師列舉出一個符合選項中題設(shè)條件卻是斜棱柱的反例后，部分學(xué)生懵了。當(dāng)教師畫出斜棱柱的直觀圖后，還有部分空間感知能力比較弱的學(xué)生仍然無法理解。而反例中涉及的實物很難直接找得到，此時我們可以拿出一沓大小一致的作業(yè)本，將豎直立起來，由此就構(gòu)建出直棱柱模型;再把這疊作業(yè)本傾斜成斜棱柱，它的側(cè)面是2個相對的矩形與2個相對的平行四邊形，這樣學(xué)生就很容易理解了。

反思：通過斜棱柱的實物立體模型，學(xué)生對棱柱有了清晰的感知，他們能完成由抽象到具體的轉(zhuǎn)變。在立體幾何的學(xué)習(xí)中，不妨讓學(xué)生多儲備一些立體幾何基礎(chǔ)模型，讓學(xué)生在腦海中建立屬于他們自己的模型庫。

二、制作立體幾何基礎(chǔ)模型

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，幾乎沒有數(shù)學(xué)活動與數(shù)學(xué)實驗。開展恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，能加快學(xué)生感知、理解、轉(zhuǎn)化空間幾何體中線線、線面、面面間位置關(guān)系的速度。

例如，在教學(xué)“簡單幾何體的表面積和體積”時，不妨開設(shè)一節(jié)數(shù)學(xué)模型制作活動課，把學(xué)生分成幾個活動小組，讓他們用硬卡紙制作常見的立體幾何模型，比如圓柱、圓錐、圓臺。小組成員先商議出合理的方案，教師對學(xué)生強調(diào)要確保自己裁剪出的矩形、扇形、扇環(huán)與剪出的底面圓粘貼時能做到嚴(yán)絲合縫。這就要求學(xué)生對圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖有充分的認(rèn)識，且能較為精準(zhǔn)地度量與計算底面圓和側(cè)面展開圖間的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)。模型制作完成后，讓學(xué)生回顧整個制作過程，填寫“立體幾何模型制作小組活動研究報告”表格，并派代表談?wù)勚谱鬟^程中小組遇到的困難、解決方案和收獲，讓他們厘清立體圖和展開圖之間的關(guān)系。

[例2]如圖1是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞頂點[S]滾動，當(dāng)圓錐轉(zhuǎn)回原位置時，其本身恰好滾動了3周，則（ ）。

A.圓錐的母線長為18

B.圓錐的表面積為27π

C.圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°

D.圓錐的體積為[182π]

分析：此題考查了圓錐的表面積和體積公式、扇形弧長和面積公式、圓錐與其側(cè)面展開圖的聯(lián)系?？臻g感知能力不佳的學(xué)生難以轉(zhuǎn)化“圓錐在此平面內(nèi)繞頂點[S]滾動，當(dāng)圓錐轉(zhuǎn)回原位置時，其本身恰好滾動了3周”這一已知條件，而用硬卡紙制作過圓錐的學(xué)生再做一下滾動實驗，就容易得到圓錐在平面內(nèi)繞頂點[S]滾動轉(zhuǎn)回到原位置時平面內(nèi)留下的軌跡是以[S]為圓心，[SA]為半徑的圓，這個圓的面積等于圓錐側(cè)面積的3倍，即[πl(wèi)2=3×3πl(wèi)]，解得[l=9]。用硬卡紙制作過圓錐的學(xué)生更能理解圓錐與其側(cè)面展開圖間的聯(lián)系，其他選項就不難判斷了。

反思：通過用硬卡紙制作幾何模型，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，提升了學(xué)生的動手能力，增強了學(xué)生的空間感知能力，提高了學(xué)生對圓柱、圓錐、圓臺和其側(cè)面展開圖關(guān)聯(lián)性的認(rèn)知水平，也提升了解決此類問題的能力。

通過用硬卡紙制作正方體、長方體模型，還可以讓學(xué)生進一步理解正方體、長方體的展開圖，這對解答“螞蟻爬行最短路線”問題有很大幫助。

[例3]如圖2所示，長方體的長、寬、高分別為5 cm、4 cm、3 cm，一只螞蟻從[A]點沿著表面爬行到[C1]點的最短路程是多少？

分析：此題涉及的是長方體的展開圖，考查學(xué)生對長方體的空間感知能力和將空間問題平面化處理的能力。如果學(xué)生用硬卡紙親手做過長方體，那么對于長方體的三種展開方式，學(xué)生漏掉其中一種或兩種的概率將大大降低。依題意，長方體[ABCD-A1B1C1D1]有如圖3所示的三種展開圖。

學(xué)生自制實物模型并展開后，可算得[A]，[C1]兩點間的距離[AC1=3+42+52=74]（cm），[5+32+42=45]（cm），[5+42+32=310]（cm）。三者進行比較得[74] cm為螞蟻從[A]點沿著表面爬行到[C1]點的最短路程。

反思：通過用卡硬紙制作立體幾何模型，增強學(xué)生的空間感知能力和將空間問題平面化處理的能力。

還可以讓學(xué)生用細木棍制作正方體、長方體、正四面體、正四棱錐等常見的多面體的模型，從中讓學(xué)生直觀感受四棱錐的高與斜高的區(qū)別與聯(lián)系;在正方體的模型上加上細線可以分割出正四面體，從而促使學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，求正四面體的外接球可以化歸為求正方體的外接球。這些模型還有利于學(xué)生理解線線、線面、面面間的位置關(guān)系。例如，有學(xué)生較難感知直觀圖中的異面直線，總認(rèn)為它們是相交的，這時拿出數(shù)學(xué)活動中制作好的模型，在上面纏兩條細線就可讓學(xué)生感知兩線的位置關(guān)系。通過制作立體幾何模型可以訓(xùn)練、增強學(xué)生的形象思維和邏輯思維，提高學(xué)生的空間感知能力。

三、訓(xùn)練學(xué)生畫直觀圖

雖然學(xué)生親手制作了常見的立體實物模型，也具備了一定的空間感知能力，但是做題時還是需要將模型從實物中抽象出來，所以要培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力。以實物為依據(jù)，以問題為驅(qū)動，教師做引導(dǎo)，學(xué)生來模仿，在激發(fā)學(xué)生作圖熱情的同時，不斷糾正其錯誤，規(guī)范其作圖。提高學(xué)生畫直觀圖的能力，是增強學(xué)生空間感知能力的有效方法。

[例4]畫出一個三棱臺[ABC-A'B'C']，再用兩個平面把它分成3個三棱錐。

分析：此題考查學(xué)生的作圖能力和空間感知能力。空間感知能力較差的學(xué)生對此手足無措，而對三棱臺、三棱錐、四棱錐有一定空間感知的學(xué)生則能順利解答此題。三棱臺可分割為一個三棱錐和一個四棱錐，此四棱錐又可分割為兩個三棱錐（如圖4）。引導(dǎo)學(xué)生畫出對應(yīng)的兩個截面的過程，就是提高學(xué)生空間感知能力的過程。

反思：訓(xùn)練學(xué)生畫直觀圖，比照實物圖和直觀圖來想象，讓學(xué)生在頭腦中建立起點、線、面的位置關(guān)系，從而增強學(xué)生的空間感知能力。

四、利用數(shù)學(xué)軟件制作動態(tài)立體圖形

學(xué)生通過手工制作常見的立體幾何基礎(chǔ)模型，就容易在頭腦中形成此模型的空間構(gòu)造，而對于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的幾何體，大部分學(xué)生很難光靠自己儲備的模型和邏輯推理來完成模型構(gòu)建。利用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件（如3D MAX、GeoGebra等）可幫助學(xué)生建立復(fù)雜立體幾何模型的直觀形象。在課堂上，教師可以用數(shù)學(xué)軟件將動態(tài)模型展示給學(xué)生，通過平移、旋轉(zhuǎn)指令，讓學(xué)生多視角觀察和感知，這比單純地去想象更能培養(yǎng)學(xué)生的空間感知能力。

[例5]已知直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的棱長均為2，[∠BAD=60°]。以[D1]為球心，[5]為半徑的球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線長為? ? ? ? ? ? ?。

分析：此題容易畫出直四棱柱的直觀圖，但不易畫出球，更難以讓學(xué)生領(lǐng)悟出球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線是什么形狀。我們需要借助數(shù)學(xué)軟件制作空間動態(tài)圖來讓學(xué)生觀察、感知。

通過GeoGebra圖讓學(xué)生意識到球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線其實就是小圓的圓?。ū举|(zhì)上就是用平面[BCC1B1]去截球），用化歸思想來處理即可。我們要找到球面和側(cè)面[BCC1B1]的兩個公共點（側(cè)面上與點[D1]距離為[5]的兩點J和L）和小圓的圓心（點[D1]在側(cè)面[BCC1B1]上的射影K），求出圓弧的半徑和圓心角就可算出弧長。

反思：利用數(shù)學(xué)軟件幫助學(xué)生打開空間感知的新視角后，他們會有豁然開朗之感，學(xué)生的空間感知能力和邏輯推理能力會得到進一步的提高，從而打破限制他們空間思維發(fā)展的“天花板”。

增強學(xué)生空間感知能力的途徑還有很多，教師在教學(xué)中要巧妙融合立體幾何知識，融入數(shù)學(xué)實驗和借助信息技術(shù)，活躍課堂氣氛，啟發(fā)學(xué)生的空間思維，有效增強學(xué)生的空間感知能力，構(gòu)建高效、有魅力的立體幾何課堂。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 萬興燦.發(fā)揮感知作用 培養(yǎng)空間想象能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1985（8）：19-20.

[2]? 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）：必修第二冊[M].北京：人民教育出版社，2019：96.

[3]? 徐敏.加強空間感知 提升想象能力[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2017（11）：79.

[4]? 郭敏.再認(rèn)識、再構(gòu)建、再運用：基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（13）16-18.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）