鄒小林，王 賓，徐 永，劉洪里

(1. 四川大學 水利水電學院,成都 610065；2. 四川水利職業(yè)技術學院羊馬校區(qū)，四川 崇州 611230；3. 中國電建集團成都勘測設計研究院有限公司 機電部，成都 610072)

0 引 言

由電機驅動的轉子系統(tǒng)是工業(yè)領域中很常見的機電耦合系統(tǒng)，其振動問題是影響機電系統(tǒng)安全運行的重要因素之一；轉子系統(tǒng)振動特性的研究也是轉子動力學的重要研究方向之一[1～2]。目前計算復雜轉子系統(tǒng)的臨界轉速主要采用有限元等數(shù)值計算方法[3]，而電機與轉子系統(tǒng)隸屬兩套不同的系統(tǒng)，耦合之后涉及到大量的計算，缺少簡單有效的手段在滿足電機輸出特性的前提下研究其驅動的轉子系統(tǒng)的振動特性。針對電機的臨界轉速計算與轉子振動特性研究大多著眼于電機軸系結構對轉子振幅的影響[4～6]，電機的工況變化對轉子振幅的影響往往沒有被考慮。Bond Graph作為一種基于功率流的建模方法[7～9]，十分適合用于研究耦合系統(tǒng)；其獨特的推導方法可以方便地獲得系統(tǒng)的狀態(tài)方程(一階常微分方程組)，降低了耦合系統(tǒng)的建模難度。因此，利用Bond Graph對電機與轉子耦合的系統(tǒng)進行建模分析具有獨特的優(yōu)勢。

Bond Graph方法對電機進行建模已經(jīng)有了初步成果，廖連瑩等[10]對電動汽車的直流電機進行了建模；陳煥明等[11～12]對鼠籠式異步電動機以及交流感應電動機進行了建模仿真分析，通過分析比較均驗證了Bond Graph建模方法的正確性，其模型能夠很好地體現(xiàn)電機的輸出特性。對轉子系統(tǒng)的建模分析也得到了學者們的驗證。Pedersen基于平面運動剛體的Bond Graph模型擴展得到了Jeffcott轉 子系統(tǒng)的Bond Graph模型[13]；Campos基于Lagrangian Bond Graph法推導得到Jeffcott轉子的Bond Graph模型，并設計實驗驗證了所得模型的準確性[14]。

本文擬將Bond Graph應用于由電機驅動的轉子系統(tǒng)動力學建模分析，并以此模型為基礎仿真分析該機電耦合系統(tǒng)的動力學特性，結合轉子試驗臺考察電機工況變化及故障情況下對轉子系統(tǒng)振動特性的影響。

1 Bond Graph建模理論

Bond Graph是美國麻省理工學院的H.M.Paynter教授于1959年提出的一種基于功率流的建模方法[7]。該方法在D.C.Karnopp[8～9]等人的進一步研究推廣下逐漸成為機電工程領域成熟實用的建模方法。在Bond Graph的框架下，多種形式能量并存的系統(tǒng)也可以由指定的基本元件以一定的連結方式，用規(guī)定的符號表示出來，能夠更加直觀和清晰的得到各種能量之間的相互作用和轉換關系[15]。目前，這種可以統(tǒng)一不同能域系統(tǒng)的建模方法廣泛應用于各種復雜工程系統(tǒng)中[16]。

Bond Graph定義了勢變量e、流變量f、動量變量p、變位變量q四種廣義變量，其在不同類別系統(tǒng)所對應的物理變量如表1所示。

表1 Bond Graph廣義變量對應關系

Bond Graph用鍵來表示功率的流向，用規(guī)定的元件來表示各種系統(tǒng)的內(nèi)部成分。標準的Bond Graph模型中一共有9種元件：一通口元件包括勢源Se、流源Sf、阻性元件R、容性元件C和慣性元件I；二通口元件包括轉換器TF、回轉器GY；三端口元件即0節(jié)點及1節(jié)點。以上元件的具體定義可參見參考文獻[9]。

2 電機與轉子系統(tǒng)建模

2.1 永磁無刷直流電機Bond Graph模型

選用永磁無刷直流電機作為驅動Jeffcott轉子的原動機，圖1顯示了其內(nèi)部的電磁結構。根據(jù)Bond Graph的建模規(guī)則，文獻[10]完成了針對這種電機的Bond Graph建模工作，其Bond Graph模型如圖2所示。

圖1 永磁無刷直流電機簡化模型

圖2 永磁無刷直流電機Bond Graph模型

在圖2中，MSe作為可變勢源元件代表電機的各相電壓輸入，R作為阻性元件代表各相繞組電阻與轉子的摩擦阻尼系數(shù)，I作為慣性元件代表繞組電感與轉子的轉動慣量，GY回轉器代表各相的電磁轉矩系數(shù)。整個Bond Graph模型輸入相電壓，輸出轉矩與轉速。在此模型中，定義了4個慣性元件I，根據(jù)Bond Graph的變量定義原則，自然有4個對應的能量變量；根據(jù)0、1結構成的勢、源關系結構，推導對應的狀態(tài)方程如式(1)所示。

(1)

該模型形式簡潔，準確地反映了電機的工作原理，故本文選用該模型與Jeffcott轉子的Bond Graph模型相耦合，得到由電機驅動的轉子系統(tǒng)Bond Graph模型。

2.2 Jeffcott轉子的Bond Graph模型

如圖3所示，Jeffcott轉子把轉子簡化為單盤，兩端為剛性軸承，轉子質心c與軸心o存在偏心距e，是經(jīng)典的單盤轉子系統(tǒng)。

圖3 Jeffcot轉子示意圖

Jeffcott轉子質心點的運動微分方程很容易得到，如式(2)所示。為了方便上述微分方程的求解，可以把二階偏微分方程轉化為一階常微分方程組(狀態(tài)方程組)，這一般采用Hamilton法[17]。但Hamilton法求取狀態(tài)方程的過程繁瑣，得到的狀態(tài)方程式也十分復雜。在下文中將看到，Bond Graph在求取狀態(tài)方程上，有著簡單快捷的優(yōu)勢。

(2)

圖4 Jeffcott轉子Bond Graph模型

在Campos的建模過程中，把轉子放入旋轉坐標系描述，并引入歐拉角的概念，將其用轉換矩陣T表示(這實際上是多通口的TF元件)，完成旋轉坐標系與慣性坐標系的轉換[12]。

為了引入轉子所受的力與力矩，選用R阻性元件來代表Jeffcott轉子系統(tǒng)中的阻尼，多通口的C容性元件代表軸的剛度與儲存的彈性勢能，Se勢元件來代表激勵輸入；再使用恰當?shù)?、1結連接，完成Jeffcott 轉子的Bond Graph模型建模。同樣，根據(jù)定義的變量與關系結構，得到如下狀態(tài)方程：

(3)

式中，ci、cd為慣性阻尼與旋轉阻尼，動量變量P與H為力或力矩。式3與傳統(tǒng)的轉子動力學方程組相比，采用了一階常微分方程組(ODEs)，可以直接應用于面向ODEs求解的各種計算機軟件。在獲取系統(tǒng)狀態(tài)方程這一點上，Bond Graph的建模方法相對于常規(guī)建模方法具有巨大的優(yōu)勢。

3 模型耦合與仿真

3.1 兩種模型的耦合

上文給出了永磁無刷直流電機的Bond Graph模型與Jeffcott轉子的Bond Graph模型，現(xiàn)將兩種模型耦合，得到由電機驅動的Jeffcott轉子系統(tǒng)Bond Graph模型。把Jeffcott轉子模型中的Se元件與電機模型的輸出部分的MSe元件相連，因為兩者同在一個0結上，根據(jù)Bond Graph對0結的定義，Jeffcott轉子與電機軸系伸出端同勢，即電機向Jeffcott轉子輸入力矩(Se)帶動其旋轉。該模型的連接示意圖如圖5所示。

圖5 模型耦合示意圖

該模型可直接看作電機模塊與Jeffcott轉子模塊相接得到的產(chǎn)物，這也體現(xiàn)了Bond Graph建模方法的一大優(yōu)勢：即模型良好的擴展性。Bond Graph模型由于采取統(tǒng)一變量描述各種系統(tǒng)，不同系統(tǒng)的Bond Graph模型可以在保留模型自身結構特點的前提下相互耦合。該機電耦合的轉子系統(tǒng)模型不僅能反映無刷直流電機的內(nèi)部結構關系，也能反映Jeffcott轉子自身的動力學特性[18]。這將在接下來的仿真結果中得到驗證。

3.2 仿真的實施辦法

電機驅動的Jeffcott轉子系統(tǒng)Bond Graph模型直接由兩個Bond Graph模型耦合得到，因此直接將兩個系統(tǒng)的狀態(tài)方程組疊加，將電機輸出方程(即轉子系統(tǒng)輸入方程)用參數(shù)定義的方式代入。使電機的力矩輸出等于Jeffcott轉子系統(tǒng)的力矩輸入，即：

(4)

使電機與Jeffcott轉子系統(tǒng)共用一個角速度，即：

(5)

上述兩式為電機的輸出方程(轉子系統(tǒng)的輸入方程)，在狀態(tài)方程組中以參數(shù)定義形式加入。本文的仿真過程基于Matlab的ODE函數(shù)庫編碼實現(xiàn)。

4 實驗及仿真分析

利用如圖所示的轉子試驗臺信息采集系統(tǒng)，從試驗臺獲取轉子系統(tǒng)的振動信息進行分析。信號采集系統(tǒng)由轉子試驗臺、傳感器、數(shù)據(jù)采集箱以及計算機軟件構成。轉子試驗臺配備有一臺可調速電機、兩端由軸承支撐的轉子、一個減速行星齒輪箱和一個串聯(lián)的磁力制動器，軸的連接處為柔性聯(lián)軸器；位移傳感器為電渦流位移傳感器。

圖6 轉子試驗臺示意圖

4.1 實驗與仿真比較

4.1.1 實驗及仿真系統(tǒng)參數(shù)

實驗電機每相繞組電阻值為6 Ω，電機功率因數(shù)為82.5%，計算出電機繞組電感為0.5162 H。轉子系統(tǒng)轉軸質量不能忽略，轉盤重2 kg，采用傳遞矩法計算出轉子系統(tǒng)臨界轉速約為12636.58 r/min。

在仿真計算中，對電機做三相對稱處理，各相的電阻值Ra=Rb=Rc=0.03 Ω，電磁轉矩系數(shù)Ka=Kb=Kc=0.15 Nm/A,繞組自感La=Lb=Lc=2.45 mH,繞組互感Ma=Mb=Mc= 1.25 mH，摩擦阻尼系數(shù)Rf取0.25。為電機接上一個Jeffcott轉子，該轉子質量m=1 kg，轉動慣量J=0.04 kg，旋轉阻尼與慣性阻尼系數(shù)取1，偏心距e=1 mm。Jeffcott轉子系統(tǒng)的臨界轉速值可按其固有頻率估計，即其臨界轉速值在301.95 r/min左右。

4.1.2 轉子系統(tǒng)動力學特性

首先對轉子系統(tǒng)的動力學特性進行分析，比較仿真模型與轉子試驗臺通過臨界轉速區(qū)時轉子系統(tǒng)振動特性。

為考察轉子在臨界轉速區(qū)的振動特性，使轉子轉速從零開始緩慢通過臨界轉速區(qū)。該假定工況下轉子的振動特性仿真及實驗結果如圖7所示。

圖7 電機轉子系統(tǒng)臨界轉速區(qū)的振幅特性曲線

仿真模型實驗中電機轉速為線性增長，實驗時通過均勻調節(jié)轉速旋鈕增加電機轉速。從圖7分析可得，轉子的振幅在其轉速達到其臨界轉速附近出現(xiàn)大幅波動。隨著轉速進一步升高，系統(tǒng)阻尼的耗散作用越來越強，轉子振幅在自動定心作用下最終趨于穩(wěn)定區(qū)間。

圖7中仿真結果與實驗結果相吻合，表明電機驅動的轉子系統(tǒng)Bond Graph模型在滿足電機輸出特性的前提下，很好的體現(xiàn)了轉子的動力學特性。

圖8中給出了轉子系統(tǒng)在穩(wěn)定運行情況與轉速逐漸增加并通過臨界轉速時的轉軸軸心軌跡。相較于加速過程，穩(wěn)定轉速下軸心軌跡的形狀更接近圓形；在加速過程中，特別是通過臨界轉速時，轉子系統(tǒng)的轉子軸心軌跡呈現(xiàn)出橢圓形軌跡，水平與豎直方向的振幅急劇增大。由此可見，臨界轉速區(qū)對旋轉機械的正常運行具有極大危害，在實際生產(chǎn)工作中需要避免機器在臨界轉速區(qū)工作。

圖8 臨界轉速區(qū)與正常運行情況軸心軌跡比較

4.1.3 不對中故障對轉子振幅的影響

轉軸不對中是常見的造成轉子劇烈振動的故障，仿真模型計算中由橫向恒定力引起的轉軸不對中故障，考察電機驅動轉子系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運行中突發(fā)轉軸不對中故障對轉子振幅的影響，仿真結果如圖9(a)所示。轉子試驗臺上通過調節(jié)聯(lián)軸器的定位孔進行設置。

圖9 電機轉子系統(tǒng)不對中故障下轉子振幅特性

從圖9(a)分析可得，在由單向外力沖擊引發(fā)的轉軸不對中故障工況下，轉子振幅驟升，隨后由于系統(tǒng)阻尼的耗散作用，轉子振幅趨于穩(wěn)定，但轉子形心發(fā)生偏移。轉子試驗臺上設置不對中故障后啟動電機，轉子經(jīng)過劇烈震動后振幅趨于穩(wěn)定，轉子振動的軸心發(fā)生偏移。模型仿真計算 與實驗結果吻合。

圖10給出了轉子轉軸不對中情況下的軸心軌跡，并與轉子系統(tǒng)正常情況的軸心軌跡進行了比較。在試驗臺上設置好不對中故障，啟動電機，轉子經(jīng)過短暫的劇烈振動后趨于穩(wěn)定，轉子的振幅變化不大。但轉子的軸心軌跡形心發(fā)生了較大偏移，軸心軌跡也發(fā)生了較為嚴重的形變。這對實際生產(chǎn)過程中機械的正常運轉十分不利。

5 結 語

本文建立了基于Bond Graph的電機驅動轉子系統(tǒng)模型，通過仿真計算與實驗的對比分析，構建的模型滿足電機的輸出特性，同時也滿足轉子系統(tǒng)的動力學特性，為研究電機工況變化與不對中故障對轉子振幅的影響提供了便利。

通過計算及實驗研究發(fā)現(xiàn)：電機轉速經(jīng)過轉子系統(tǒng)臨界轉速區(qū)時會引起轉子系統(tǒng)的劇烈振動，不利于機電系統(tǒng)的安全運行，在對電機進行調速時，要避開臨界轉速區(qū)以及避免反復通過臨界轉速區(qū)。轉軸系統(tǒng)的不對中故障雖然不會引起轉子振幅的太大變化，但會引起轉子系統(tǒng)的軸心軌跡發(fā)生偏移，在實際生產(chǎn)中，要避免由外力沖擊等因素引起的轉軸不對中故障。