文／張曉東

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市教師發(fā)展中心）

在初中數(shù)學(xué)中，代數(shù)有式子的恒等變形，幾何有圖形的變換，但其本質(zhì)都是在變化中存在不變的量。圖形變換是初中數(shù)學(xué)研究圖形經(jīng)常會(huì)碰到的問(wèn)題，是幾何構(gòu)圖的一種常見(jiàn)方法。初中階段我們經(jīng)常用到的變換有平移、旋轉(zhuǎn)以及翻折，這三種變換貫穿初中幾何研究，是幾何圖形學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。

一、三角形的平移“運(yùn)動(dòng)”

例1如圖1，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AD，垂足為E。將△AEF沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向平移，得到△A'E'F'。設(shè)P、P'分別是EF、E'F'的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)B重合時(shí)，求四邊形PP'CD的面積。

圖1

【思路點(diǎn)撥】由已知條件，△AEF沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向平移，得到△A'E'F'，且P、P'是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再根據(jù)平移的性質(zhì)可知PP'=AB=CD=AD=8，PP'∥AB∥CD，從而四邊形PP'CD是平行四邊形，于是可以考慮用平行四邊形的面積公式來(lái)計(jì)算面積。又由菱形ABCD，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，∠A=60°的條件，聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”。因此，連接DF、DB，DF交PP'于點(diǎn)H（如圖2），可證明DF⊥PP'，求出DH即可計(jì)算出四邊形PP'CD的面積為。

圖2

【評(píng)注】平移變換是在平面內(nèi)將一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平行移動(dòng)得到另一個(gè)圖形的幾何變換。平移變換只是改變了圖形的位置，而圖形的大小和形狀是不會(huì)改變的，因而圖形上各點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中方向不變（即平行）、距離不變（即線段相等），平移前后的兩個(gè)圖形是全等圖形。同學(xué)們?nèi)绻莆樟诉@些平移的本質(zhì)，那么解決三角形平移問(wèn)題也就得心應(yīng)手了。

二、三角形的旋轉(zhuǎn)“運(yùn)動(dòng)”

例2如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，∠EDF=45°，連接EF。將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM。若AE=1，求線段EF的長(zhǎng)。

圖3

【思路點(diǎn)撥】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=DM，CM=AE，∠EDM=90°。結(jié)合已知條件∠EDF=45°，可 得∠FDM=45°，再 由DF=DF，故△EDF≌△MDF，得FM=EF。不難發(fā)現(xiàn)Rt△EFB的三條邊中，EB=AB-AE=2 是已知的，EF、BF兩邊之間存在數(shù)量關(guān)系，所以可以根據(jù)勾股定理列方程求出EF。設(shè)EF=x，則FM=EF=x。因?yàn)锳E=1，所以CM=1，可得FC=FM-CM=x-1，再根據(jù)正方形邊長(zhǎng)為3，得BF=3-FC=4-x，通過(guò)列方程可求出EF=2.5。

【評(píng)注】旋轉(zhuǎn)變換是在平面內(nèi)將一個(gè)圖形繞著某個(gè)定點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到另一個(gè)新的圖形。在解答三角形旋轉(zhuǎn)這種類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要注意掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，充分利用旋轉(zhuǎn)變換的基本特征：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形是全等三角形，而且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所有的旋轉(zhuǎn)角都是相等的。我們要善于找到旋轉(zhuǎn)中的這兩個(gè)不變的元素，以此探求出問(wèn)題的解決途徑。

三、三角形的翻折“運(yùn)動(dòng)”

例3如圖4，矩形ABCD中，AB=8，AD=12。將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE。若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值。

圖4

【思路點(diǎn)撥】由已知條件△ADE沿DE翻折，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得對(duì)稱點(diǎn)連線AP與對(duì)稱軸DE互相垂直，另外還能得到∠ADE=∠EDP。題目要我們求的值，可以考慮通過(guò)尋找和AP、DE兩條線段相關(guān)的兩個(gè)相似三角形來(lái)解決。Rt△DAE中，AP⊥DE，所以∠ADE=∠EAP，故Rt△DAE∽R(shí)t△ABP。又因?yàn)锳B=8，AD=12，利用相似三角形性質(zhì)求出。

【評(píng)注】翻折變換又稱軸對(duì)稱變換，是指在平面內(nèi)，以某直線為對(duì)稱軸，將某一圖形沿著這條對(duì)稱軸翻折而得到另一個(gè)新的圖形。翻折變換僅僅是圖形位置發(fā)生了改變，其圖形的大小保持不變。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，一方面要弄清翻折后圖形中不變的元素，結(jié)合全等三角形性質(zhì)，使問(wèn)題得以順利解答；另一方面要注意翻折中對(duì)稱軸與對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分關(guān)系及角度的倍分關(guān)系。