廣西南寧市第三中學(xué)（530021） 陳 康 覃俊明

拋物線是平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡。這一概念反映了拋物線的幾何特征。類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法可以推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。由于焦點的位置不同，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式也不同。學(xué)生通過討論得出焦點在不同的坐標(biāo)軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以研究拋物線的幾何性質(zhì)及其簡單應(yīng)用。這樣的研究體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般過程。

如何在“拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中融入“立德樹人”思想，體現(xiàn)教學(xué)的育人功能，達到學(xué)科育人的目的？下面談?wù)劰P者的教學(xué)設(shè)想。

一、教學(xué)設(shè)計

（一）新課引入

展示生活中的拋物線實例，引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

1.播放我國跳水運動員在奧運會比賽中的高臺跳水視頻，提問：運動員經(jīng)過的軌跡是什么圖形？

2.展示趙州橋圖片（如圖1），提問：趙州橋的橋拱是什么圖形？

圖1

設(shè)計意圖：通過生活中的實例，吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生對拋物線有一個感性認識，意識到研究拋物線的必要性，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，生活離不開數(shù)學(xué)，同時感受到中國古代文明的偉大和體育健兒在努力為國爭光。

（二）概念形成

問題1：拋物線有什么樣的幾何性質(zhì)？怎樣給拋物線下定義呢？

教師：我們知道，在平面內(nèi)與一個定點F(c,0)的距離和一條定直線l（其中定點F不在定直線l上）的距離的比是常數(shù)e。當(dāng)0 ＜e＜1時，點的軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1 時，點的軌跡是雙曲線。那么當(dāng)e=1 時，即平面內(nèi)與一個定點F(c,0)的距離恰好等于它到一條定直線l（其中定點F不在定直線l上）的距離的點的軌跡是什么呢？下面老師通過幾何畫板描出滿足這樣條件的點的軌跡，請大家注意觀察。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生對“平面內(nèi)與一個定點F(c,0)的距離恰好等于它到一條定直線l（其中定點F不在定直線l上）的距離的點的軌跡”有一個感性認識。

問題2：幾何畫板描出的點的軌跡像是拋物線，真的是拋物線嗎？為什么？你能通過求方程來證明嗎？

讓學(xué)生分組討論，教師列出討論提綱：（1）如何建立直角坐標(biāo)系？（2）推出怎樣的動點軌跡方程？

教師巡堂指導(dǎo)，然后收集幾個小組的討論結(jié)果并做投影展示。

第一組：以定點F為原點垂直于l的直線為x軸，所得方程為y2=2px+p2。

第二組：以直線l為y軸，過定點F且垂直于l的直線為x軸，所得方程為y2=2px-p2。

第三組：過定點F作垂直于l的直線交l于K，以FK的中點為原點，垂直于l的直線為x軸，所得方程為y2=2px。

教師：哪一組的結(jié)果正確？哪一組的結(jié)果最好？為什么？

學(xué)生：第三組的結(jié)果最好，它方程簡單，結(jié)構(gòu)很美。

教師：美在哪里？

學(xué)生：一是左邊為二次項，右邊為一次項；二是沒有常數(shù)項。

教師：很好！下面我們一起來分析第三種方程的推導(dǎo)過程。

推出拋物線方程y2=2px后，得出拋物線的定義，點叫作拋物線的焦點，直線l：x=叫作拋物線的準(zhǔn)線，正數(shù)p是拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離，叫作焦準(zhǔn)距。（板書）

用直接法求點的軌跡方程的過程：建系設(shè)點，列出等量關(guān)系，將點的坐標(biāo)代入等量關(guān)系得方程，化簡方程，證明（或說明）。

設(shè)計意圖：通過分組討論，一方面讓學(xué)生鞏固用直接法求軌跡方程的基本步驟，另一方面使學(xué)生感性認識拋物線的幾何性質(zhì)。

問題3：拋物線y2=2px(p＞0)有哪些特征？

（1）圖像關(guān)于x軸對稱；

（2）沒有常數(shù)項；

（3）方程左邊為二次項而右邊為一次項；

（4）一次項的未知數(shù)是x（或y），圖像就關(guān)于x軸（或y軸）對稱。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會拋物線方程的結(jié)構(gòu)美和曲線的對稱美，加深學(xué)生對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的理解。

（三）概念深化

問題4：如果拋物線開口向左，那么它的標(biāo)準(zhǔn)方程又如何呢？它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程各是什么？拋物線開口向下或向上呢？

分組討論，第一組討論拋物線開口向左的情況，第二組討論拋物線開口向上的情況，第三組討論拋物線開口向下的情況，第四組自由討論。

再由各組代表填寫表1。

表1

續(xù)表

我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

問題5：根據(jù)表1，四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的相同點和不同點是什么？如何根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點的位置？

焦點位置的判斷方法：

在標(biāo)準(zhǔn)形式下，看一次項。若一次項的變量為x（或y），則焦點就在x（或y）軸上；若一次項的系數(shù)為正（或負），則焦點在正（或負）半軸。

四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點：

（1）左邊為二次項，且系數(shù)為1；

（2）右邊為一次項；

（3）沒有常數(shù)項；

（4）圖像關(guān)于x軸或y軸對稱；

（5）一次項的未知數(shù)是x或y，圖像就關(guān)于x軸（或y軸）對稱；

（6）焦點的非零坐標(biāo)數(shù)是一次項系數(shù)的四分之一；

（7）準(zhǔn)線方程中的非零常數(shù)項是焦點坐標(biāo)中的非零坐標(biāo)數(shù)的相反數(shù)。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生一起分析，推導(dǎo)出焦點在x軸正半軸的情況的標(biāo)準(zhǔn)方程，再類比得到其他三種情況。通過四種情況的觀察、對比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到一般性的規(guī)律，得出四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點。

（四）應(yīng)用探索

［例1］（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）已知拋物線的焦點是F(0,-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式1：求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2=8y

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo)，以及由拋物線的準(zhǔn)線方程或焦點坐標(biāo)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，加深對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)的理解。

［例2］一種衛(wèi)星接收天線如圖2 所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，已知接收天線的徑口（直徑）為4.8 m，深度為1 m。試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)。

圖2

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，初步了解拋物線知識在實際生活中的應(yīng)用。

（五）小結(jié)

問題6：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識、技能和數(shù)學(xué)思想方法？

（1）拋物線的定義；

（2）拋物線的四種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；

（3）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟；

（4）加深對類比法和待定系數(shù)法的理解。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自我反饋、自我總結(jié)，并對所學(xué)知識進行提煉升華，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，掌握內(nèi)化知識的方法和數(shù)學(xué)思想方法。

（六）布置作業(yè)

教材選修2-1第73頁習(xí)題2.4A組第1、2、4題。

二、課例評析

“拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程”是繼橢圓和雙曲線后的一節(jié)新授課，教材通過幾何畫板演示，讓學(xué)生對“平面內(nèi)與一個定點F(c,0)的距離和一條定直線l（其中定點F不在直線l上）的距離相等的點的軌跡稱為拋物線”有一個感性認識，然后類比橢圓和雙曲線的學(xué)習(xí)方法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，整個過程比較程序化，也比較枯燥。如何把問題講活？如何讓學(xué)生學(xué)會思考問題，讓學(xué)生在活動中學(xué)習(xí)，同時又融入“立德樹人”思想，體現(xiàn)教學(xué)的育人功能，達到學(xué)科育人的目的？筆者基于這樣的思考設(shè)計了本節(jié)課的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計能體現(xiàn)以下幾個方面。

（一）能體現(xiàn)“立德樹人”思想和史料育人功能

黨的十八大報告明確指出：“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人?！弊鳛榛A(chǔ)教育工作者，更應(yīng)認真領(lǐng)會，堅定執(zhí)行。課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生道德認知、道德情感的主要途徑。課堂上，教師不僅要傳授給學(xué)生知識與技能，還要適時培養(yǎng)學(xué)生的道德認知和道德情感。

本節(jié)課通過展示趙州橋圖片，讓學(xué)生感受到中華文明的偉大；通過播放視頻，讓學(xué)生感受到體育健兒在努力為國爭光。通過這樣的教學(xué)設(shè)計，既能達到“立德樹人”的目的，又能體現(xiàn)史料育人功能。

（二）能體現(xiàn)思維育人和活動育人功能

在教學(xué)中，讓學(xué)生進行小組活動，類比橢圓和雙曲線推導(dǎo)“平面內(nèi)與一個定點F（c，0）的距離和一條定直線l（其中定點F不在定直線l上）的距離相等的點的軌跡方程”，通過小組活動探索“拋物線開口向左、向上、向下時的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及其特點”以及“四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點”，讓學(xué)生在活動中學(xué)習(xí)，在活動中思考問題，在活動中解決問題，從而提高他們的認知能力和思維能力，培養(yǎng)他們的合作精神。這樣的教學(xué)，既符合新課標(biāo)的“將課堂還給學(xué)生”的要求，又符合“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，能充分體現(xiàn)思維育人和活動育人功能。

（三）能體現(xiàn)審美育人功能

黨的教育方針是培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。“審美育人”既是教育方針要求，又是學(xué)科育人的基本要求。因此，教師要在教學(xué)中適時培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“美”的能力。本節(jié)課能體現(xiàn)“審美育人”的地方有：趙州橋設(shè)計之美，拋物線的圖像對稱之美，四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的結(jié)構(gòu)之美，等等。

數(shù)學(xué)學(xué)科的幾個育人功能，即史料育人、思維育人、活動育人和審美育人，其實都是緊緊圍繞著黨的教育方針和黨的十八大所提出的“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人”。課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生道德認知和道德情感的主要途徑，也是學(xué)生獲取知識、培養(yǎng)合作精神、發(fā)展思維的舞臺。在課堂教學(xué)中，教師只要做個有心人，努力做到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲”，就一定能取得意想不到的效果。