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        例析圓的切割線定理的靈活運(yùn)用

        2022-04-16 20:19:34甘肅省天水市清水縣王河鎮(zhèn)中學(xué)張會(huì)軍
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年18期
        關(guān)鍵詞:靈活運(yùn)用思路解題

        ?甘肅省天水市清水縣王河鎮(zhèn)中學(xué) 張會(huì)軍

        1 定理及推論

        圓的切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

        推論:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

        圓的切割線定理及其推論是九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)(華東師大版)第27章第2節(jié)“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”中的一個(gè)重要定理.在證明、計(jì)算角相等,線段相等,線段成比例等具體問題中,如果能夠靈活運(yùn)用圓的切割線定理及其推論,不僅能拓寬解題思路,而且能夠收到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果[1].

        2 定理及推論的靈活運(yùn)用

        例1已知:在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,半圓圓心為點(diǎn)O,過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E.

        (1)求證:DE⊥AC.

        (2)若AB∶BC=5∶6,AF=7,求CE的長(zhǎng).

        分析:(1)有三種思路.證法一,首先由DE是⊙O的切線,可推證出OD⊥DE,再由△ABC是等腰三角形可推出∠C=∠ABC,∠ODB=∠C,進(jìn)而可證明OD∥AC,DE⊥AC.證法二,由AB是直徑可得∠ADC=90°,只需要證∠CAD+∠EDA=90°,或∠C+∠CDE=90°,即可證得DE⊥AC.證法三,可考慮運(yùn)用AB是直徑及DE為⊙O的切線這兩個(gè)條件來證明,先由已知條件推證出OD是△ABC的中位線,再根據(jù)DE是⊙O的切線即可證得DE⊥AC.

        (2)有兩種思路.解法一,只需作出虛線BF即可打開思路,先利用切割線定理的推論求出CF的長(zhǎng)度,再根據(jù)OD是△ABC的中位線就可求出CE的長(zhǎng)度.解法二,先利用切割線定理的推論求得AC,CD的長(zhǎng),再結(jié)合已知條件解Rt△CDE,再通過列方程即可求出CE的長(zhǎng).

        圖1

        解析:(1)證法一.如圖1,連結(jié)OD.

        ∵DE切⊙O于點(diǎn)D,

        ∴OD⊥DE于點(diǎn)D.

        ∵OD=OB(半徑相等),

        ∴∠ODB=∠ABC(等腰三角形底角相等).

        ∵AB=AC,

        ∴∠C=∠ABC.

        ∴∠ODB=∠C(等量代換).

        ∴OD∥AC(同位角相等).

        ∴DE⊥AC.

        點(diǎn)評(píng):靈活運(yùn)用切線和等腰三角形的性質(zhì)證明.

        圖2

        證法二:如圖2,連結(jié)AD.

        ∵ED切⊙O于點(diǎn)D,

        ∴ ∠EDA=∠B.

        ∵AB為⊙O的直徑,

        ∴ ∠ADB=90°.

        即AD⊥BC.

        ∴∠DAB+∠B=90°.

        ∵AB=AC,AD⊥BC,

        ∴ ∠CAD=∠DAB,CD=BD.

        ∴ ∠CAD+∠EDA=∠DAB+∠B=90°.

        ∴DE⊥AC.

        或∵ED切⊙O于點(diǎn)D,

        ∴∠EDA=∠B.

        ∵AB為⊙O的直徑,

        ∴∠ADB=90°.

        ∴∠ADE+∠CDE=90°.

        ∵AB=AC,∠C=∠B,

        ∴ ∠EDA=∠C.

        ∴∠C+∠CDE=90°.

        ∴DE⊥AC.

        點(diǎn)評(píng):在利用DE是⊙O的切線的同時(shí),還利用了弦切角定理.

        圖3

        證法三:如圖3,連結(jié)OD,AD.

        ∵AB為⊙O的直徑,

        ∴AD⊥BC于點(diǎn)D.

        又∵AB=AC,

        ∴CD=BD.

        又∵OA=OB,

        ∴OD為△ABC的中位線.

        ∴OD∥AC.

        ∵DE切⊙O于D,

        ∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.

        點(diǎn)評(píng):推證出OD是△ABC的中位線是關(guān)鍵的一步.

        (2)解法一:如圖1,連結(jié)BF.由AB為⊙O的直徑,

        得∠AFB=90°,即BF⊥AC于點(diǎn)F.

        又∵DE⊥AC,

        ∴DE∥BF(同位角相等).

        ∵OD∥AC,且OA=OB,

        又∵DE∥BF,

        ∵AB∶BC=5∶6,AF=7,

        設(shè)1份為k,AB=AC=5k,BC=6k.

        又CF·CA=CD·CB,

        ∴k1=0(舍去),k2=5.

        ∴CF=AC-AF=25-7=18.

        解法二:∵AB∶BC=5∶6,

        設(shè)1份為k,AB=AC=5k,BC=6k,

        ∴CD=BD=3k,AD=4k.

        ∵DE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,

        ∵CF·AC=CD·BC,

        又CF=AC-AF,AF=7,

        ∴(AC-AF)·AC=CD·BC.

        (5k-7)·5k=3k·6k

        ∴k1=0(舍去),k2=5.

        或∵ED切⊙O于點(diǎn)D,

        ∴DE2=EF·EA=(AE-AF)·EA.

        ∴k1=5,k2=0(舍去).

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)“點(diǎn)C在⊙O外,直線CFA與直線CDB為⊙O的兩條割線”的已知條件,可利用切割線定理的推論求得CF的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)度.本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想與方法,靈活運(yùn)用了切割線定理,達(dá)到了一題多證、一題多解、左右逢源的效果.

        例2已知PT切⊙O于點(diǎn)T,割線PAB交⊙O于點(diǎn)A,B,且AB過O點(diǎn),∠OPT=30°,PT=20 cm,求PB的長(zhǎng).

        分析:按照“執(zhí)果索因”的解題思路,要想求PB的長(zhǎng),需先求出PA的長(zhǎng).因?yàn)椤螼PT=30°是一個(gè)特殊角,所以可考慮構(gòu)造一個(gè)直角三角形,連接OT,得到Rt△OPT,則可得出OP=2OT=2r,AP=r,PB=3r,即可由切割線定理求出r,進(jìn)而求出PB的長(zhǎng).

        圖4

        解析:如圖4, 連接OT,設(shè)⊙O的半徑為r.因?yàn)镻T切⊙O于點(diǎn)T,所以O(shè)T⊥PT.因?yàn)椤螼PT=30°,所以O(shè)P=2OT=2r,于是PB=3r,PA=r.

        由PT2=PA·PB(切割線定理),PT=20,

        點(diǎn)評(píng):本題由已知“P為⊙O外一點(diǎn),PT為切線”,可直接應(yīng)用切割線定理PT2=PA·PB來求解.

        3 結(jié)論

        圓的切割線定理及其推論是初中平面幾何中的重要內(nèi)容,許多與圓有關(guān)的問題,我們都可以直接應(yīng)用它或借助它的轉(zhuǎn)化獲得解決[2].從上述例題的解題思路與方法中我們可以看到,所謂的“靈活運(yùn)用”,主要是指設(shè)法把不能直接運(yùn)用切割線定理解決的問題轉(zhuǎn)化為能夠運(yùn)用定理來解決的問題.解題思路往往表現(xiàn)為幾種方法的綜合運(yùn)用,例如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法,利用三角形、線段與比例的性質(zhì),結(jié)合三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程求解,等等.總之,“運(yùn)用之妙存乎一心”,只有認(rèn)真分析題目的已知條件,找到問題的內(nèi)在聯(lián)系,靈活變通,才能找到解題的突破口.

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