山東省曲阜市田家炳中學(xué) 孔琳琳

1 引言

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,挖掘問(wèn)題中不變的量或關(guān)系.本研究對(duì)2021年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)第25題進(jìn)行分析，此題以等邊三角形為基本圖形,考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

2 原題呈現(xiàn)

圖1

(1)當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC內(nèi)部時(shí),求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S(用含x的代數(shù)式表示,不要求寫x的取值范圍);

(2)當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí),求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S的值;

(3)當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC外部時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S(用含x的代數(shù)式表示).

3 解題分析

3.1 第(1)問(wèn)考查等邊三角形的面積.

圖2

本小題考查學(xué)生基本的分析和推理能力,只要分析得出當(dāng)點(diǎn)Q在△ABC內(nèi)部時(shí),與△ABC重疊的部分就是△CPQ,即可根據(jù)等邊三角形的面積公式求得.

3.2 第(2)問(wèn)考查相似三角形的性質(zhì).

圖3

本小題需要添加輔助線,通過(guò)相似三角形的性質(zhì),列出關(guān)系式,從而求得x的值,進(jìn)而求解.

3.3 第(3)問(wèn)考查割補(bǔ)法求圖形的面積以及相似三角形的性質(zhì).

如圖4中,當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC外部時(shí),設(shè)CQ交AB于點(diǎn)N,PQ交AB于點(diǎn)M,此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分為不規(guī)則四邊形CPMN,下面提供四種利用割補(bǔ)法求四邊形CPMN的面積的方法.

圖4

解法一：(S=S△ANC-S△AMP)

如圖4-1,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)M作MJ⊥AC于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)N作NT∥PQ交AC于點(diǎn)T.

圖4-1

由(2)可知,CT=8,又CP=2x,

∴AT=AC-CT=4，

AP=AC-CP=12-2x.

由NT∥PQ，得△AMP∽△ANT,

∴S=S△ANC-S△AMP

解法二：(S=S△CPQ-S△MQN)

如圖4-2,過(guò)點(diǎn)N作NT∥PQ交AC于點(diǎn)T.

圖4-2

由NT∥PQ，得△AMP∽△ANT.

∵△CPQ為等邊三角形,且CP=2x,

由(2)可知,CT=8,

∴NT=CN=CT=8，AT=AC-CT=4,

AP=AC-CP=12-2x.

由NT∥PQ，得△AMP∽△ANT,

∴MP=24-4x.

∵PQ=CQ=PC=2x,∠Q=60°,

QM=PQ-MP=6x-24,

QN=CQ-CN=2x-8，

解法三：(S=S△CHN+S梯形HJMN+S△PMJ)

如圖4-3,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)M作MJ⊥AC于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)N作NT∥PQ交AC于點(diǎn)T.

圖4-3

∵CT=8,CP=2x,

∴AT=AC-CT=4,AH=AC-CH=8,

AP=AC-CP=12-2x.

由NH∥MJ,得△AMJ∽△ANH.

∴AJ=24-4x,PJ=AJ-AP=12-2x.

∵CP=2x,CH=4,PJ=12-2x,

∴HJ=CP-CH-PJ=4x-16.

解法四：(S=S△MNI+S梯形CPMI)

如圖4-4,過(guò)點(diǎn)M作MI∥CP交CQ于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)I、交MI于點(diǎn)O.

圖4-4

由解法二可知,MQ=6x-24,NQ=2x-8,可得

MI=QI=MQ=6x-24,

NI=QI-NQ=4x-16.

由MI∥CP，得△NIO∽△NCH,

本小題所提供的解法都需要添加輔助線,通過(guò)相似三角形的性質(zhì),求得線段的長(zhǎng)度,進(jìn)而求解.解法一和解法二都是在四邊形CPMN的基礎(chǔ)上補(bǔ)上一個(gè)三角形得到一個(gè)規(guī)則圖形,解法三和解法四都是把四邊形CPMN分割為幾個(gè)容易計(jì)算面積的圖形.此題有一定計(jì)算難度和思維難度，要求學(xué)生要有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

4 反思再提高

通過(guò)以上對(duì)2021年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)第25題的解析，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,解決問(wèn)題的第一步是挖掘問(wèn)題中不變的量或關(guān)系,化動(dòng)為靜.其次是添加輔助線構(gòu)造相似三角形,通過(guò)相似三角形的性質(zhì),求得線段的長(zhǎng)度,進(jìn)而求解.

處理好動(dòng)與靜的關(guān)系，是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵.運(yùn)動(dòng)是永恒的，靜止則是相對(duì)的，動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，相互制約，相互統(tǒng)一.