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        “雙減”背景下“教學(xué)練一體化”的做法與思考
        ——以中考專題復(fù)習(xí)“探究存在性問題”為例

        2022-04-16 19:07:09江蘇省南京市六合區(qū)教師發(fā)展中心孫德萍
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年14期
        關(guān)鍵詞:四邊形拋物線平行四邊形

        江蘇省南京市六合區(qū)教師發(fā)展中心 孫德萍

        1 引言

        “雙減”政策落地以來,學(xué)生的作業(yè)量得到全面壓減,但升學(xué)壓力仍然存在.如何利用課堂這個(gè)主陣地提升學(xué)習(xí)效率,這是“雙減”政策給教師提出的重大考驗(yàn).初三中考復(fù)習(xí)一般分為一輪復(fù)習(xí)、二輪復(fù)習(xí)和綜合訓(xùn)練,其中二輪復(fù)習(xí)一般是以專題復(fù)習(xí)為主.那么在“雙減”的背景下,中考專題復(fù)習(xí)如何設(shè)計(jì)呢?筆者以“探究存在性問題”為例,談一談“教學(xué)練一體化”的做法和思考.

        存在性問題是指根據(jù)題目所給定的條件,探究是否存在符合要求的結(jié)論.此類問題涉及的知識(shí)面較廣,綜合性較強(qiáng),解題方法靈活,對(duì)學(xué)生分析問題的能力、應(yīng)用知識(shí)的能力和解決問題的能力要求較高,解決起來有一定的難度,所以一直是各地中考數(shù)學(xué)試卷常見的壓軸題型.

        2 精選例題,提高教學(xué)的針對(duì)性

        2.1 特殊關(guān)系的存在性問題

        例1(由2021年遂寧市中考題改編)如圖1,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(-3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C(0,-3),對(duì)稱軸為直線x=-1,直線y=-2x+m經(jīng)過點(diǎn)A,且與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.

        圖1

        (1)求拋物線的解析式和m的值;

        (2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.

        解:(1)拋物線的解析式為y=x2+2x-3;m=2.

        (2)由m=2可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).建立方程x2+2x-3=-2x+2解得x1=1,x2=-5,所以點(diǎn)E坐標(biāo)為(-5,12).

        假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)P使得以D,E,P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似,可分兩種情況:

        如圖2,過點(diǎn)E作EP垂直于y軸,垂足為點(diǎn)P.易得△EDP∽△ADO,求得點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,12).

        圖2

        設(shè)計(jì)意圖:本題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、待定系數(shù)法、方程思想及分類討論思想等知識(shí).作為第一個(gè)例題主要在于幫助學(xué)生弄清什么是存在性問題,如何解決存在性問題,積累分析特殊關(guān)系存在性問題的解題經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生分析問題的能力.

        教學(xué)說明:對(duì)于常見的找一個(gè)點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題,一般先假設(shè)存在符合條件的相似三角形,然后根據(jù)題目條件求點(diǎn)的坐標(biāo).本題中△PDE與△AOD相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確,所以需要進(jìn)行分類討論.通過觀察兩個(gè)三角形的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)隱含條件∠EDP=∠ODA,又因?yàn)椤鰽DO是直角三角形,由三角形相似的判定方法,可得∠EPD=∠AOD=90°或∠PED=∠AOD=90°.引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形,結(jié)合圖形厘清線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而解決問題.

        2.2 特殊圖形的存在性問題

        例2(2021年重慶市中考題)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),點(diǎn)B(4,1).直線AB交x軸于點(diǎn)C,P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作PD⊥AB,垂足為D,PE平行于x軸,交AB于點(diǎn)E.

        圖3

        (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

        (2)當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長(zhǎng)的最大值;

        (3)把拋物線y=x2+bx+c平移,使得新拋物線的頂點(diǎn)為(2)中求得的點(diǎn)P.M是新拋物線上一點(diǎn),N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),直接寫出所有使得以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo),并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來.

        (3)由題意可知,平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x,對(duì)稱軸為直線x=2.以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況:

        ①若AB是平行四邊形的對(duì)角線,如圖4,當(dāng)MN與AB互相平分時(shí),四邊形ANBM是平行四邊形.因?yàn)锳B的中點(diǎn)C(2,0),所以MN的中點(diǎn)也是點(diǎn)C.由點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)也為2,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-4).

        圖4

        ②若AB是平行四邊形的邊,如圖5,當(dāng)MN∥AB且MN=AB時(shí),四邊形ABNM(或ABMN)是平行四邊形.因?yàn)锳(0,-1),B(4,1),點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2-4=-2或2+4=6,因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,12)或(6,12).

        圖5

        綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-4)或(-2,12)或(6,12).

        設(shè)計(jì)意圖:存在性問題一般會(huì)出現(xiàn)在中考卷壓軸題的位置,所以第2個(gè)例題選擇綜合性的壓軸題,與例1相區(qū)別,考查特殊圖形的存在性問題.此類題型經(jīng)常在二次函數(shù)的背景下展開,會(huì)運(yùn)用到方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力有較高的要求.選用本題的意義在于幫助學(xué)生積累解決特殊圖形存在性問題的基本策略,提高學(xué)生從圖形特征入手解決問題的能力.

        教學(xué)說明:解決平行四邊形的存在性問題主要分為兩步.首先,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)適當(dāng)分類,確定平行四邊形存在的個(gè)數(shù)并畫出符合條件的圖形;其次,依據(jù)性質(zhì)求出滿足條件的量.本題解答的關(guān)鍵在于完整地畫出平行四邊形存在的兩種情形圖,即把已知線段AB作為平行四邊形的對(duì)角線和邊兩類.當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)“對(duì)角線互相平分”和“中點(diǎn)坐標(biāo)公式”求存在點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí),依據(jù)“對(duì)邊相等”和“兩點(diǎn)間的距離公式”求存在點(diǎn)的坐標(biāo).教學(xué)時(shí)要給學(xué)生留足時(shí)間思考討論,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形厘清平行四邊形的頂點(diǎn)及邊的關(guān)系,同時(shí)教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思,歸納總結(jié).

        3 提煉方法,提高學(xué)習(xí)的有效性

        存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)題型,注重對(duì)學(xué)生探索性思維能力和創(chuàng)新性思維能力的考查.常見類型有特殊圖形的存在性問題和特殊關(guān)系的存在性問題,其中特殊圖形包括特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形)和特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形),特殊關(guān)系包括線段、角的等量關(guān)系(相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系)和兩個(gè)圖形之間的關(guān)系(三角形全等、相似)等.

        在解決存在性問題時(shí),結(jié)合題目條件,分析討論圖形結(jié)構(gòu),常常需要畫出示意圖,借助幾何直觀分析,假設(shè)存在,再根據(jù)條件列出方程或圖形特征求解.探究存在性問題的教學(xué),不能只停留在探究具體題目的解法上,而是要在此基礎(chǔ)上領(lǐng)會(huì)解決問題的方法,形成更具一般性和策略性的解題認(rèn)識(shí).

        “雙減”背景下的中考復(fù)習(xí)課教學(xué),應(yīng)充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況,減少題目數(shù)量,提高題目質(zhì)量,不求題難,但求提高學(xué)生的思維能力,促進(jìn)知識(shí)的遷移,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).因此,應(yīng)以基礎(chǔ)性題目為主,既能鞏固和復(fù)習(xí)知識(shí),又能提升學(xué)生探究問題的能力,發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本設(shè)計(jì)是存在性問題的專題性復(fù)習(xí),既要讓學(xué)生理解什么是存在性問題,又要讓學(xué)生體會(huì)解決存在性問題的一般方法思路,使學(xué)生提高知識(shí)的靈活運(yùn)用能力,發(fā)展其思維能力,促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)提升.

        4 優(yōu)化作業(yè),提高練習(xí)的實(shí)用性

        4.1 作業(yè)設(shè)計(jì)

        (1)如圖6,已知△ABC是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從A,B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB,BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1 cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P,Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s),解答下列問題:

        圖6

        1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?

        2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(單位:cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出相應(yīng)的t值;不存在,說明理由.

        圖7

        1)求k的值并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);

        2)點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn),連接GB,GC,求GB+GC的最小值;

        3)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn),Q是平面內(nèi)一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,Q,使得四邊形ABPQ是矩形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

        4.2 作業(yè)答案

        (1)1)當(dāng)t=1 s或t=2 s時(shí),△PBQ是直角三角形.

        無論t取何值,四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的三分之二.

        (2)1)k=6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3);

        4.3 設(shè)計(jì)意圖

        布置作業(yè)的目的是為了鞏固和理解課堂知識(shí),所以布置作業(yè)是有必要的.但是,布置作業(yè)應(yīng)該考慮學(xué)情、教學(xué)任務(wù)、課標(biāo)要求等因素.在“雙減”背景下,數(shù)學(xué)作業(yè)的布置要尊重差異,滿足不同層次學(xué)生的需要,提倡分層布置作業(yè).作業(yè)的第(1)題是中考題的改編題,經(jīng)過改編后屬于中等難度題型,主要考查特殊關(guān)系的存在性問題,跟課堂上的例1相呼應(yīng),通過此題可了解出學(xué)生對(duì)特殊關(guān)系的存在性問題的掌握情況.作業(yè)的第(2)題是中考的壓軸題,主要考查特殊圖形的存在性問題,與課堂上的例2相呼應(yīng),由例2的平行四邊形的存在性問題變成矩形的存在性問題,以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

        5 “教學(xué)練一體化”做法的思考

        5.1 優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)

        “教學(xué)練一體化”的第一步是教,即教師首先應(yīng)精心設(shè)計(jì)科學(xué)的教學(xué)過程,為后面的學(xué)與練打下基礎(chǔ).從備課時(shí)的目標(biāo)定位,到課堂教學(xué)時(shí)的問題設(shè)置,都應(yīng)充分準(zhǔn)備.“雙減”背景下的中考專題復(fù)習(xí)應(yīng)減少題目的數(shù)量,增加題目的質(zhì)量,注重方法的引導(dǎo).教師應(yīng)該有針對(duì)性地進(jìn)行備課和教學(xué),學(xué)生已經(jīng)會(huì)的不講,講了學(xué)生也不會(huì)的不講.在教學(xué)中應(yīng)看到學(xué)生的差異,承認(rèn)學(xué)生的差異,做到因材施教,分類指導(dǎo).“教學(xué)練一體化”的第二步是學(xué).“雙減”背景下的課堂是以學(xué)生為主體的課堂,教師要將自己的“教”與學(xué)生的“學(xué)”進(jìn)行結(jié)合, 應(yīng)把“教為中心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)為中心”,讓學(xué)生能主動(dòng)學(xué)、學(xué)會(huì)學(xué)、自主學(xué)是整個(gè) “教學(xué)練一體化” 模式有效實(shí)施的關(guān)鍵.所以課堂實(shí)踐中教師應(yīng)組織、引導(dǎo)和幫助學(xué)生學(xué)習(xí),做學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和推動(dòng)者.

        5.2 注重練習(xí)反饋,完善評(píng)價(jià)機(jī)制

        “教學(xué)練一體化”的最終環(huán)節(jié)是練.這一環(huán)節(jié)是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要一環(huán).教師教學(xué)之后,讓學(xué)生通過練習(xí)來鞏固知識(shí),形成技能.“練”是課堂教學(xué)的鞏固與延續(xù),也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要一步.“雙減”背景下,教師還應(yīng)注意 “練”的目標(biāo)要明確且有深度,做到少而精,針對(duì)性強(qiáng).另外,要完善“練”的評(píng)價(jià)機(jī)制,多樣化且具有激勵(lì)性;要注重過程性評(píng)價(jià),學(xué)習(xí)狀態(tài)和進(jìn)步程度都可以成為評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容,通過積極鼓勵(lì)的評(píng)價(jià)方式激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望.總之,要讓學(xué)生在課堂中 “練”得輕松,“練”得有效.

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