江蘇省南京市六合區(qū)教師發(fā)展中心 孫德萍

1 引言

“雙減”政策落地以來，學生的作業(yè)量得到全面壓減，但升學壓力仍然存在.如何利用課堂這個主陣地提升學習效率，這是“雙減”政策給教師提出的重大考驗.初三中考復習一般分為一輪復習、二輪復習和綜合訓練，其中二輪復習一般是以專題復習為主.那么在“雙減”的背景下，中考專題復習如何設計呢？筆者以“探究存在性問題”為例，談一談“教學練一體化”的做法和思考.

存在性問題是指根據題目所給定的條件，探究是否存在符合要求的結論.此類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，解題方法靈活，對學生分析問題的能力、應用知識的能力和解決問題的能力要求較高，解決起來有一定的難度，所以一直是各地中考數學試卷常見的壓軸題型.

2 精選例題，提高教學的針對性

2.1 特殊關系的存在性問題

例1(由2021年遂寧市中考題改編)如圖1，已知二次函數的圖象與x軸交于A和B(-3，0)兩點，與y軸交于C(0，-3)，對稱軸為直線x=-1，直線y=-2x+m經過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F.

圖1

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點P，使得以P，D，E為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由.

解：(1)拋物線的解析式為y=x2+2x-3；m=2.

(2)由m=2可得D點坐標為(0，2).建立方程x2+2x-3=-2x+2解得x1=1，x2=-5，所以點E坐標為(-5，12).

假設在y軸上存在點P使得以D，E，P為頂點的三角形與△AOD相似，可分兩種情況：

如圖2，過點E作EP垂直于y軸，垂足為點P.易得△EDP∽△ADO，求得點P坐標為(0，12).

圖2

設計意圖：本題屬于二次函數綜合題，涉及相似三角形的判定和性質、解直角三角形、待定系數法、方程思想及分類討論思想等知識.作為第一個例題主要在于幫助學生弄清什么是存在性問題，如何解決存在性問題，積累分析特殊關系存在性問題的解題經驗，提高學生分析問題的能力.

教學說明：對于常見的找一個點使兩個三角形相似的問題，一般先假設存在符合條件的相似三角形，然后根據題目條件求點的坐標.本題中△PDE與△AOD相似的對應關系不明確，所以需要進行分類討論.通過觀察兩個三角形的特點，發(fā)現(xiàn)隱含條件∠EDP=∠ODA，又因為△ADO是直角三角形，由三角形相似的判定方法，可得∠EPD=∠AOD=90°或∠PED=∠AOD=90°.引導學生畫出圖形，結合圖形厘清線段之間的對應關系，從而解決問題.

2.2 特殊圖形的存在性問題

例2(2021年重慶市中考題)如圖3，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經過點A(0，-1)，點B(4，1).直線AB交x軸于點C，P是直線AB下方拋物線上的一個動點.過點P作PD⊥AB，垂足為D，PE平行于x軸，交AB于點E.

圖3

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)當△PDE的周長取得最大值時，求點P的坐標和△PDE周長的最大值；

(3)把拋物線y=x2+bx+c平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點P.M是新拋物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來.

(3)由題意可知，平移后拋物線的函數表達式為y=x2-4x，對稱軸為直線x=2.以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況：

①若AB是平行四邊形的對角線，如圖4，當MN與AB互相平分時，四邊形ANBM是平行四邊形.因為AB的中點C(2，0)，所以MN的中點也是點C.由點N的橫坐標為2，根據中點坐標公式，可知點M的橫坐標也為2，所以點M的坐標為(2，-4).

圖4

②若AB是平行四邊形的邊，如圖5，當MN∥AB且MN=AB時，四邊形ABNM(或ABMN)是平行四邊形.因為A(0，-1)，B(4，1)，點N的橫坐標為2，根據平行四邊形的對邊平行且相等，所以點M的橫坐標為2-4=-2或2+4=6，因此點M的坐標為(-2，12)或(6，12).

圖5

綜上所述，點M的坐標為(2，-4)或(-2，12)或(6，12).

設計意圖：存在性問題一般會出現(xiàn)在中考卷壓軸題的位置，所以第2個例題選擇綜合性的壓軸題，與例1相區(qū)別，考查特殊圖形的存在性問題.此類題型經常在二次函數的背景下展開，會運用到方程思想、數形結合思想、分類討論思想等，對學生的運算能力、思維能力有較高的要求.選用本題的意義在于幫助學生積累解決特殊圖形存在性問題的基本策略，提高學生從圖形特征入手解決問題的能力.

教學說明：解決平行四邊形的存在性問題主要分為兩步.首先，根據平行四邊形的性質適當分類，確定平行四邊形存在的個數并畫出符合條件的圖形；其次，依據性質求出滿足條件的量.本題解答的關鍵在于完整地畫出平行四邊形存在的兩種情形圖，即把已知線段AB作為平行四邊形的對角線和邊兩類.當AB是平行四邊形的對角線時，依據“對角線互相平分”和“中點坐標公式”求存在點的坐標；當AB是平行四邊形的邊時，依據“對邊相等”和“兩點間的距離公式”求存在點的坐標.教學時要給學生留足時間思考討論，引導學生結合圖形厘清平行四邊形的頂點及邊的關系，同時教師還要引導學生進行題后反思，歸納總結.

3 提煉方法，提高學習的有效性

存在性問題是近年來中考的熱點題型，注重對學生探索性思維能力和創(chuàng)新性思維能力的考查.常見類型有特殊圖形的存在性問題和特殊關系的存在性問題，其中特殊圖形包括特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形)和特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形)，特殊關系包括線段、角的等量關系(相等關系、倍數關系)和兩個圖形之間的關系(三角形全等、相似)等.

在解決存在性問題時，結合題目條件，分析討論圖形結構，常常需要畫出示意圖，借助幾何直觀分析，假設存在，再根據條件列出方程或圖形特征求解.探究存在性問題的教學，不能只停留在探究具體題目的解法上，而是要在此基礎上領會解決問題的方法，形成更具一般性和策略性的解題認識.

“雙減”背景下的中考復習課教學，應充分考慮學生的實際情況，減少題目數量，提高題目質量，不求題難，但求提高學生的思維能力，促進知識的遷移，增強應用意識．因此，應以基礎性題目為主，既能鞏固和復習知識，又能提升學生探究問題的能力，發(fā)展其數學核心素養(yǎng)．本設計是存在性問題的專題性復習，既要讓學生理解什么是存在性問題，又要讓學生體會解決存在性問題的一般方法思路，使學生提高知識的靈活運用能力，發(fā)展其思維能力，促進學科素養(yǎng)提升.

4 優(yōu)化作業(yè)，提高練習的實用性

4.1 作業(yè)設計

(1)如圖6，已知△ABC是邊長為3 cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t(單位：s)，解答下列問題：

圖6

1)當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

2)設四邊形APQC的面積為y(單位：cm2)，求y與t的關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由.

圖7

1)求k的值并直接寫出點B的坐標；

2)點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；

3)P是坐標軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4.2 作業(yè)答案

(1)1)當t=1 s或t=2 s時，△PBQ是直角三角形.

無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的三分之二.

(2)1)k=6，點B的坐標為(2，3)；

4.3 設計意圖

布置作業(yè)的目的是為了鞏固和理解課堂知識，所以布置作業(yè)是有必要的.但是，布置作業(yè)應該考慮學情、教學任務、課標要求等因素．在“雙減”背景下，數學作業(yè)的布置要尊重差異，滿足不同層次學生的需要，提倡分層布置作業(yè).作業(yè)的第(1)題是中考題的改編題，經過改編后屬于中等難度題型，主要考查特殊關系的存在性問題，跟課堂上的例1相呼應，通過此題可了解出學生對特殊關系的存在性問題的掌握情況.作業(yè)的第(2)題是中考的壓軸題，主要考查特殊圖形的存在性問題，與課堂上的例2相呼應，由例2的平行四邊形的存在性問題變成矩形的存在性問題，以檢驗學生的學習效果.

5 “教學練一體化”做法的思考

5.1 優(yōu)化教學設計，實現(xiàn)高效學習

“教學練一體化”的第一步是教，即教師首先應精心設計科學的教學過程，為后面的學與練打下基礎.從備課時的目標定位，到課堂教學時的問題設置，都應充分準備.“雙減”背景下的中考專題復習應減少題目的數量，增加題目的質量，注重方法的引導.教師應該有針對性地進行備課和教學，學生已經會的不講，講了學生也不會的不講.在教學中應看到學生的差異，承認學生的差異，做到因材施教，分類指導.“教學練一體化”的第二步是學.“雙減”背景下的課堂是以學生為主體的課堂，教師要將自己的“教”與學生的“學”進行結合， 應把“教為中心”轉變?yōu)椤皩W為中心”，讓學生能主動學、學會學、自主學是整個 “教學練一體化” 模式有效實施的關鍵.所以課堂實踐中教師應組織、引導和幫助學生學習，做學生學習的組織者和推動者.

5.2 注重練習反饋，完善評價機制

“教學練一體化”的最終環(huán)節(jié)是練.這一環(huán)節(jié)是檢驗學生學習效果的重要一環(huán).教師教學之后，讓學生通過練習來鞏固知識，形成技能.“練”是課堂教學的鞏固與延續(xù)，也是提高學生學習能力的重要一步.“雙減”背景下，教師還應注意 “練”的目標要明確且有深度，做到少而精，針對性強.另外，要完善“練”的評價機制，多樣化且具有激勵性；要注重過程性評價，學習狀態(tài)和進步程度都可以成為評價的主要內容，通過積極鼓勵的評價方式激發(fā)其學習欲望.總之，要讓學生在課堂中 “練”得輕松，“練”得有效.