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        基于教材原題的一題一課探究
        ——以“圓周角”專題課教學為例

        2022-04-16 19:07:09武漢市恒大城學校王華峰
        中學數(shù)學 2022年14期
        關(guān)鍵詞:圓周角平分線一題

        武漢市恒大城學校 王華峰

        武漢市東西湖初級中學 封 磊

        1 一題一課,忠于教材

        1.1 “一題一課”的重要意義

        教師在義務(wù)階段的數(shù)學教學中,要尤其注重學生數(shù)學思維的養(yǎng)成[1].數(shù)學是一門抽象的學科,僅僅讓學生執(zhí)行題海戰(zhàn)術(shù)遠遠不夠,題型稍微變化對于學生而言又是一個嶄新未接觸過的“領(lǐng)域”,從而會出現(xiàn)即使做過也沒有思路的現(xiàn)象.作為義務(wù)階段教師,可通過“一題一課”的方式來幫助學生整理并歸納知識點,通過適量的類比性練習讓學生學會解決同類型問題.與此同時,“一題一課”的練習更是為了鍛煉學生舉一反三的能力,提升學生的思維,拓寬學生的能力.

        下面以人教版九年級上學期“圓周角”專題課教學為例進行說明.

        1.2 “一題一課”立足于教材

        “一題一課”并非一道題講一節(jié)課,而是立足于教材本身,以教材母題為載體,通過適當改變題目條件,圍繞本節(jié)習題課“平分圓周角”的知識點,發(fā)揮整理與歸納的重大作用.九年級學生基本具備獨立思考的能力,所以教師更應(yīng)該立足于教材,通過“一題一課”這種形式讓學生最大程度落實與掌握教材中的單一知識點.

        2 試題之源,源于教材

        (人教版九年級上學期數(shù)學教材第90頁第14題)如圖1,A,P,B,C是圓O上的四個點,∠APC=∠CPB=60°,判斷△ABC的形狀?并證明你的結(jié)論.

        圖1

        師:同學們,我們知道頂點在圓上,且兩條邊都與圓相交的角為圓周角.請同學們回顧圓心角、圓周角、弦三者之間的關(guān)系?

        生:同圓或等圓中,等弧所對的圓周角是圓心角的一半;同圓或等圓中,相等的弦所對的劣弧相等.

        師:是的.請同學們先獨立解決課本中的題,思考解題過程中運用了圓的哪些相關(guān)性質(zhì)?

        生:△ABC為等邊三角形.運用了在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弦相等;還運用了圓的內(nèi)接四邊形對角互補.

        師:回答得很好.由題目所給的條件∠APC=∠CPB=60°,細心的同學可以發(fā)現(xiàn),線段PC為圓周角∠APB的角平分線.那么老師將本題追加一個課堂活動:分小組一起探討線段PA,PB,PC三者之間的數(shù)量關(guān)系.

        設(shè)計意義:讓學生對所學的性質(zhì)進行簡單的梳理,并在解題過程中及時鞏固所學過的知識點.在教材練習題基礎(chǔ)上,增設(shè)課堂活動,鼓勵學生獨立或以小組合作的形式探討,加深對本題的理解,同時鍛煉發(fā)散性思維.

        3 題型之變,變于教材

        3.1 學生尋解題之路,教師展學習之法

        在分組談?wù)摰倪^程中,其中幾個小組的學生分別運用不同的方法解決了線段PA,PB,PC數(shù)量關(guān)系問題,但也有個別小組沒有思路.此時,教師應(yīng)該讓學生暢談自己的想法,展現(xiàn)小組合作的成果.待學生展示完畢,教師再引導(dǎo)學生作出歸納并總結(jié).

        生:如圖2,將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至△AQB,因為△ABC為等邊三角形,所以點C旋轉(zhuǎn)后與點B重合,△AQP為等邊三角形,于是PA=PQ.因為PC=QB,QB=QP+PB,所以PC=PA+PB.

        圖2

        師生反饋評價:回答問題的學生思路方向是正確的,但解題過程中忽視了某個知識點的細節(jié),從而解法存在問題.在運用旋轉(zhuǎn)思想解題的時候,如何保證三點共線呢?在整個思路中,△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°時,因為△ABC為等邊三角形,所以點C恰好與點B重合.又因為∠PAQ=60°,PA=QA,所以△PQA為等邊三角形,從而∠QPA=60°,所以∠QPB=∠QPA+∠APB=180°,那么點Q,P,B三點共線.

        旋轉(zhuǎn)思想在幾何題的計算與證明中大有用處,為了鍛煉學生的思維能力并鞏固所學的知識點,嘗試探討是否有其他解法.在探討的過程當中時刻關(guān)注學生存在的問題,并引導(dǎo)學生獨立解決.如圖3,在弦PC上取一點G,使PG=PB,連接BA,BG.因為∠GPB=60°,所以△PBG為等邊三角形,故PB=GB.因為∠PBA+∠ABG=60°,∠GBC+∠ABG=60°,便可以得到∠PBA=∠GBC.又因為∠BGC=180°-∠PGB=180°-60°=120°,∠BPA=120°,所以∠BGC=∠BPA,從而得到△BPA≌△BGC.進一步得到PA=GC,PC=PG+GC=PB+PA.

        圖3

        點評:本題探討了在圓中平分120°圓周角的角平分線所具有的一些性質(zhì).兩種不同的思路與方法詮釋了解題的過程.在運用旋轉(zhuǎn)思想解題時,需要證明點的共線.用第二種方法截取線段長相等來考慮時,就必須觀察圖中有哪些三角形是全等的.

        3.2 原題重現(xiàn),并非偶然

        例1(2021-2022學年武漢市元月調(diào)考第20題)如圖4,A,P,B,C是⊙O上的四點,∠APC=∠CPB=60°.(1)判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論;(2)求證:PA+PB=PC.

        圖4

        分析:本題第(1)(2)兩問不難看出就是人教版九年級上學期數(shù)學教材中的第90頁第14題,并且在上述討論中提供了兩種不同的解法.教師還可以循循善誘,反問學生既然我們可以在弦PC上取一點G,使PG=PB,那么,我們是否也同樣可以在弦PC上取一點M,使PM=PA呢?解法和上述的方法異曲同工.

        3.3 深化鞏固,環(huán)環(huán)緊扣教材

        元月調(diào)考試題源于教材,這可能是一個命題趨勢,所以在平時的學習過程當中更應(yīng)該注重教材的使用.在課堂教學與課后練習中,幫助學生適量地刷題,不能盲目地執(zhí)行題海戰(zhàn)術(shù).引導(dǎo)學生共同探討課本中的題型可以做何種變式,讓學生自己嘗試在教材母體基礎(chǔ)上改編,最大限度地發(fā)揮學生的主體思維,讓學生在做題的同時領(lǐng)悟題型的變化.

        師:目前討論的是平分120°的圓周角所具有的一些性質(zhì),請同學們共同探討,還可以平分多少度的圓周角呢?

        生:90°,60°.

        師:請同學們分為兩個小組,分別探討平分90°圓周角和平分60°圓周角的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.

        變式1如圖5,若把上述條件∠APB=120°改為∠APB=90°,其余條件不變,試判斷△ABC的形狀?線段PA,PB,PC三者的數(shù)量關(guān)系?

        圖5

        解析:△ABC為等腰直角三角形.如圖6,將△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CBN.

        圖6

        ∵△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,

        ∴點A旋轉(zhuǎn)后與點B重合.

        ∵四邊形PACB為圓O內(nèi)接四邊形,

        ∴∠PAC+∠PBC=180°.

        ∵∠PAC=∠NBC,

        ∴∠NBC+∠PBC=180°,

        ∴P,B,N三點共線.

        又∵△PCN為等腰直角三角形,

        ∵PN=PB+BN=PB+PA,

        圖7

        3.4 中考真題再現(xiàn)

        變式2(武漢中考)如圖8,⊙O的直徑AB的長為10,弦AC的長為6,∠ACB的平分線交⊙O于點D,求CD的長.

        圖8

        分析:觀察圓周角∠ACB=90°時,CD為∠ACB的角平分線,可運用上述方法來求解.

        圖9

        圖10

        3.5 真題引申,發(fā)散性解題

        變式3在變式2的基礎(chǔ)上對試題進行相應(yīng)的變化,能否求解出變式2中圓內(nèi)接四邊形CADB的面積?

        4 教學思考

        本課題以人教版九年級上學期數(shù)學教材原題作為模板,以一題一課[2]的形式逐漸展開,研究并探討了武漢市元月調(diào)考真題到武漢市中考真題.整節(jié)專題課的設(shè)計,在問題呈現(xiàn)上從封閉式轉(zhuǎn)為開放式旨在促使學生對特殊圓周角角平分線性質(zhì)的掌握.在師生互動和學生分組討論的過程中,學生有能力自己解決的問題交給學生展示,能力范圍外的,教師因勢利導(dǎo),引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)題目的切入點.同時,精簡課程的內(nèi)容,避免大范圍的題海戰(zhàn)術(shù),有助于學生掌握題目的內(nèi)在規(guī)律,抓住問題的本質(zhì),忠于教材.本節(jié)課更加注重圓周角問題中的幾何模型,教師在日常教學中應(yīng)指導(dǎo)學生構(gòu)造基本模型,讓學生在原有的認知上持續(xù)鍛煉概括與總結(jié)能力,對知識體系的形成有很大的幫助.

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