?江蘇省南京市南站中學(xué)(雨花臺(tái)中學(xué)南站校區(qū)) 杭秉全

1 引言

現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)與教材編排都體現(xiàn)了“螺旋式上升”的原則[1]．同一內(nèi)容主題，初一學(xué)一點(diǎn)，初二學(xué)一些，初三繼續(xù)學(xué)，逐漸加深．這比把一個(gè)內(nèi)容主題，一步到位、體系敘述完善地放在一起，用學(xué)時(shí)連續(xù)的學(xué)段學(xué)習(xí)，更貼近循序漸進(jìn)地認(rèn)知發(fā)展規(guī)律．但遵循“螺旋式上升”原則編寫的數(shù)學(xué)教材，因同主題學(xué)習(xí)內(nèi)容分解到各學(xué)年段，導(dǎo)致教材中前后章節(jié)的學(xué)習(xí)往往缺乏知識(shí)內(nèi)容的邏輯聯(lián)系．本文中以“反比例函數(shù)”章節(jié)啟示課教學(xué)為例，將反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，置于函數(shù)這一主題式學(xué)習(xí)單元之中，建立各類函數(shù)之間的聯(lián)系，借鑒已學(xué)函數(shù)研究的基本思路與基本方法，豐富函數(shù)研究的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)認(rèn)知的螺旋式上升．

2 回顧，為類比學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)任何一個(gè)新知識(shí)，都要關(guān)注它的來龍去脈，要清楚與之在知識(shí)內(nèi)容、研究方法以及所蘊(yùn)含的思想等方面相近的前繼學(xué)習(xí)和后續(xù)學(xué)習(xí)．同一主題下不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有很多學(xué)習(xí)經(jīng)歷趨同、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)相通．因此，在同主題學(xué)習(xí)經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)的回顧中，可以為新知識(shí)的類比學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

活動(dòng)1觀察與思考

觀察表1，并思考以下幾個(gè)問題：

表1 路程與時(shí)間的關(guān)系

(1)時(shí)間t與路程s之間有何關(guān)系？

追問：s是t的函數(shù)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過觀察表格，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量之間是正比例關(guān)系，兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系(s是t的正比例函數(shù))，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)前面正比例函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧與再認(rèn)．

(2)在前面的學(xué)習(xí)中，我們圍繞“正比例函數(shù)”從哪些方面展開了研究？

(3)經(jīng)過這些研究，大家對(duì)“正比例函數(shù)”有哪些認(rèn)識(shí)？

(4)在 “正比例函數(shù)”的研究中，我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生有順序、有層次地全面回顧正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步梳理出函數(shù)主題式學(xué)習(xí)單元的研究思路、經(jīng)驗(yàn)和方法．為后續(xù)類比正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

3 類比，探究同主題新內(nèi)容

類比遷移是解決很多新問題的一個(gè)重要而有效的方法．類比遷移發(fā)生在具有相同結(jié)構(gòu)特征的兩種不同的概念領(lǐng)域，或發(fā)生在相同或非常接近的概念領(lǐng)域．同主題下不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)充分運(yùn)用類比遷移的學(xué)習(xí)策略，在與同主題學(xué)習(xí)經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)的類比中，進(jìn)行同主題新內(nèi)容的學(xué)習(xí)探究．

在“反比例函數(shù)”章節(jié)啟示課的新知探究環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)如下2個(gè)教學(xué)活動(dòng)，可以引導(dǎo)學(xué)生類比正比例函數(shù)，將研究基本思路、方法策略等遷移到反比例函數(shù)的研究中．

活動(dòng)2類比與探究

觀察表2，并探究以下幾個(gè)問題：

表2 時(shí)間與速度的關(guān)系

(1)時(shí)間t與速度v之間有何關(guān)系？

追問：v是t的函數(shù)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過觀察表格，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量之間是反比例關(guān)系，兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系．

(2)實(shí)際生活中，哪些情境下的兩個(gè)變量也具有類似的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生舉例，其一，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，其二，為通過歸納下定義提供豐富而具體的例子．

(3)請(qǐng)給這類函數(shù)命名，并嘗試下定義．

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生在正比例函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，以及多個(gè)具體例子的基礎(chǔ)上，自主歸納出反比例函數(shù)的一般表達(dá)式，類比正比例函數(shù)定義的表述形式，給出反比例函數(shù)的定義．進(jìn)一步感悟歸納的數(shù)學(xué)思想方法，和類比的研究策略．

(4)圍繞“反比例函數(shù)”，在有了定義之后，還可以研究哪些內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖：再一次引發(fā)學(xué)生類比正比例函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，梳理出反比例函數(shù)的研究主線，架構(gòu)出本章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容框架．進(jìn)一步感悟類比的研究策略，明晰函數(shù)主題式學(xué)習(xí)單元的基本研究思路(如圖1)．

圖1

活動(dòng)3猜想與推理

(1)請(qǐng)你猜想反比例函數(shù)的圖象大致是什么樣子？并說說你的依據(jù)．

設(shè)計(jì)意圖：在畫反比例函數(shù)圖象之前，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注反比例函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn)，由“數(shù)”想“形”．初步分析兩變量的取值范圍以及正負(fù)性特征，猜想反比例函數(shù)的圖象大致分布在哪些象限；根據(jù)一個(gè)變量隨另一個(gè)變量增大或減小的變化特點(diǎn)，猜想反比例函數(shù)圖象的增減性．用猜想、說理的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，開啟反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)的研究．

(2)選擇一個(gè)反比例函數(shù)，并畫出它的圖象，檢驗(yàn)之前對(duì)反比例函數(shù)圖象大致樣子的猜想是否正確．

追問1：利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，有哪些步驟？

追問2：選擇怎樣的反比例函數(shù)，方便描點(diǎn)？

追問3：列表時(shí)，自變量取值有限制嗎？如何取值能更具代表性，且便于描點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：用特例驗(yàn)證之前對(duì)反比例函數(shù)圖象特征的猜想，并為后續(xù)歸納反比例函數(shù)圖象的一般性質(zhì)提供基礎(chǔ)．設(shè)計(jì)追問1，引導(dǎo)學(xué)生回顧用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的操作經(jīng)驗(yàn)；設(shè)計(jì)追問2，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生由“數(shù)”想“形”，選擇適合的反比例函數(shù)特例，方便畫其圖象，即被選擇的反比例函數(shù)關(guān)系式能保證其圖象上有多個(gè)橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，且數(shù)值均不大的點(diǎn)，方便在坐標(biāo)系中描出它們的位置；追問3，再一次引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)從沒有思考的“隨意”列表，向考量代表性的“有意”列表的轉(zhuǎn)變，讓“分析思考”走在“動(dòng)手操作”之前，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)函數(shù)關(guān)系式特征的分析是畫好其圖象的前提，感悟數(shù)形結(jié)合思想．

(3) 觀察所畫的反比例函數(shù)圖象，結(jié)合反比例函數(shù)關(guān)系式，歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)．

設(shè)計(jì)意圖：由特例歸納一般性結(jié)論．在歸納活動(dòng)中，既有結(jié)合特例圖象的“幾何直觀”，又有結(jié)合反比例函數(shù)關(guān)系式的“代數(shù)推理”，還有從特殊到一般的歸納思想，以及與同主題“一次函數(shù)圖象性質(zhì)”學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的類比．促進(jìn)學(xué)生在觀察、分析以及類比中，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

追問：結(jié)合上面問題的研究結(jié)論，你對(duì)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)有新發(fā)現(xiàn)嗎？觀察前面所畫的函數(shù)圖象，有這樣的直觀感受嗎？

設(shè)計(jì)意圖:因一次函數(shù)圖象的性質(zhì)研究中不討論對(duì)稱性，所以對(duì)于反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性的研究沒有同主題研究經(jīng)驗(yàn)指引．因此，設(shè)計(jì)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生用代數(shù)推理的方式認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，并用特例的幾何直觀驗(yàn)證．同時(shí)，再一次讓學(xué)生從數(shù)(代數(shù)推理)與形(幾何直觀)兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的性質(zhì)，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法．

4 梳理，豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

在個(gè)人知識(shí)管理流程中，知識(shí)結(jié)構(gòu)化是知識(shí)提煉環(huán)節(jié)的一個(gè)要點(diǎn)．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只有零散的知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)做好相關(guān)知識(shí)的梳理與提煉．在梳理中，將各知識(shí)節(jié)點(diǎn)串為知識(shí)鏈，將多條知識(shí)鏈縱橫聯(lián)系，編織成知識(shí)網(wǎng)；在提煉中，對(duì)新知識(shí)的再認(rèn)，形成這類主題式學(xué)習(xí)單元的整體性、結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)．相同類型的主題應(yīng)采用相同的詮釋框架，盡量使用一致的順序、一致的用語、一致的圖表，在對(duì)同主題不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)梳理中，可以豐富主題式學(xué)習(xí)單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的認(rèn)知．

在“反比例函數(shù)”章節(jié)啟示課的課堂小結(jié)環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)如下教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)行再認(rèn)，明確函數(shù)研究的基本思路與方法，豐富函數(shù)主題學(xué)習(xí)的研究經(jīng)驗(yàn)．

活動(dòng)4梳理與再認(rèn)

(1)填表3：

表3 函數(shù)主題單元小結(jié)

(2)總結(jié)：通過正比例函數(shù)、一次函數(shù)以及本節(jié)課對(duì)反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，你對(duì)研究某一類函數(shù)，有何經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖:在梳理中，明晰之前以及本節(jié)課所學(xué)的各類函數(shù)的知識(shí)內(nèi)容，認(rèn)清所學(xué)各類函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，形成函數(shù)這一主題的知識(shí)結(jié)構(gòu)；在總結(jié)中，再認(rèn)函數(shù)這一主題的研究基本思路，豐富函數(shù)這一主題的研究經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)同主題內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)置于主題式學(xué)習(xí)單元之中的學(xué)習(xí)策略．

5 結(jié)束語

“螺旋式上升”的原則不只是體現(xiàn)在教材編排上，同時(shí)也體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)重要概念的獲得、思想方法的感悟與數(shù)學(xué)核心素的提升養(yǎng)．教材把同一內(nèi)容主題的學(xué)習(xí)分解到各學(xué)年段中，教學(xué)時(shí)，應(yīng)聯(lián)“分”為 “合”，這種“合”不是簡單地把教學(xué)內(nèi)容合在一起，而是在各學(xué)年段遵循從簡單到復(fù)雜，將同主題內(nèi)容的學(xué)習(xí)置于主題式學(xué)習(xí)單元之中，加強(qiáng)同主題不同學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的聯(lián)系，運(yùn)用類比的研究策略，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)、能力與素養(yǎng)的螺旋式上升．