?新疆石河子第一中學 傅祖勇

1 引言

創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，推動了人類社會的進步.當今社會、科學技術日新月異，靠的就是創(chuàng)新型人才.高中數(shù)學教學雖然屬于基礎教育，但同樣肩負著培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重任.那么，高中數(shù)學教學創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)的落腳點在何處呢？筆者認為，教學中，教師應引導學生做到以下三點：一是發(fā)揮想象能力，培養(yǎng)直覺思維；二是構建建模意識，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力；三是以“構造”為載體，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.下面談談具體做法，不當之處，敬請斧正.

2 發(fā)揮想象能力，培養(yǎng)直覺思維

追溯數(shù)學的發(fā)展歷程，我們可以發(fā)現(xiàn)，不勝枚舉的數(shù)學發(fā)現(xiàn)往往來自于數(shù)學家的直覺思維.史上有名的有笛卡兒坐標系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想以及歐拉定理等，這些非凡的“發(fā)現(xiàn)”不是數(shù)學家通過邏輯思維得到的，而是他們經(jīng)過細致觀察、反復對比、深刻參悟最終數(shù)學靈感勃然而出的.在數(shù)學建模教學中，教師應引導學生進行直覺思維和直觀想象，讓學生提出獨特的見解，通過建立數(shù)學模型來快捷地解決問題，從而實現(xiàn)溝通數(shù)學知識內(nèi)在的聯(lián)系，激發(fā)學生創(chuàng)新思維，提升學生數(shù)學能力的目的.

例1除錯位相減法之外，你能求S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)嗎？

學生直覺：可以將S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)看作某函數(shù)的導函數(shù)，于是想到構造一個新的函數(shù)，借助導數(shù)巧妙地解決問題.

由于本題解答要求避開“錯位相減法”，所以學生解答時必須另辟蹊徑.學生借助直覺思維，根據(jù)所求代數(shù)式的特點，想到通過構造函數(shù)并妙用導數(shù)來解決，可謂新穎自然，巧奪天工，毫無斧鑿之跡，怎不令人拍案叫絕！反映出學生善于觀察又積極想象的思維品質(zhì).試想，假如教師在日常教學中沒有一定量的建模訓練，他們能“創(chuàng)造”出如此“高大上”的優(yōu)美證明嗎？大數(shù)學家泰勒曾經(jīng)說過，豐富的知識和經(jīng)驗是產(chǎn)生新的聯(lián)想和獨創(chuàng)見解的源泉.

高中數(shù)學內(nèi)容豐富，思想與方法也千姿百態(tài).從一個問題出發(fā)，聯(lián)想到另一個問題，并建立新的數(shù)學模型，這種創(chuàng)造性思維的形成往往離不開直覺思維.因此，在數(shù)學建模的教學中，教師應重視稍縱即逝的直覺思維的培養(yǎng).

3 構建建模意識，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力

恩格斯說過，數(shù)學形式的相互轉(zhuǎn)化，不是一種無聊的游戲，而是體現(xiàn)了數(shù)學中的平衡關系，如同物理中的“杠桿原理”.一旦離開這個原理，數(shù)學就會“擱淺”.而數(shù)學建模從本質(zhì)上看，就是實現(xiàn)實際問題與數(shù)學問題之間的轉(zhuǎn)化，因此在數(shù)學教學中，我們要注重這種轉(zhuǎn)化，并用好這根“杠桿”，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維意義非凡，同時從應試角度看，對提高學生的解題速度也大有益處.

在函數(shù)模型的教學中，筆者給學生舉了一個“洗衣問題”的例子：現(xiàn)在有一桶水，需要洗一件衣服，是直接將衣服放入一桶水中洗呢，還是將一桶水一分為二，洗滌兩次？哪種洗法的效果好？答案自然是不言而喻的，你能從數(shù)學角度來分析并解決這個問題嗎？

例2衣服洗滌甩干后需要多次漂洗，如果每次漂洗后衣服上的殘留物都是均勻分布的，而且每次漂洗并甩干后衣服中含有的水分和殘留物的重量也相同，也就是說每次漂洗前后的衣服上的殘留物的含量百分比一致.現(xiàn)有一臺全自動小天鵝洗衣機，假定漂洗的用水總量為a，漂洗并甩干的次數(shù)定為3.為了讓漂洗后衣服中殘留物最少，請同學們想一想，如何確定每次漂洗的用水量？

生1：設每次漂洗并甩干后衣服中的殘留水分(含殘留物)的重量為m，洗滌并甩干后(漂洗前)衣服中殘留物(不含水分)為n0.3次漂洗并甩干后衣服中的殘留物(不含水分)分別為y1，y2，y3，3次用水量分別為x1，x2，x3(以上各量單位相同)，則由每次漂洗前后殘留物的重量百分比濃度相等可知：

師：本問題的關鍵是利用每次漂洗前后殘留物重量的百分比濃度相等來建立關系式，請同學們思考這是為什么？

通過大家的集思廣益，得到了本題的推廣結論：

通過實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用數(shù)學手段，問題似乎已經(jīng)解決.從理論上講，定量的水漂洗次數(shù)越多，殘留物就越少.但全自動洗衣機通常設定為3次漂洗，這是為什么？這又是一個日常生活中的問題，再次激發(fā)出學生探究數(shù)學的熱情，顯然這個問題是剛解決的問題的進一步深化，筆者讓學生課后進一步研究，于是把學生數(shù)學轉(zhuǎn)化能力向更高的層次推進.

4 以“構造”為載體，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

所謂“建?！?，顧名思義就是構造模型，說來簡單，但模型如何構造并非一蹴而就的容易事，這需要學生有足夠強的構造能力.而這種能力同樣離不開教師在課堂教學中的著力培養(yǎng)，教師應該精選教學素材，以“構造”為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

足球運動深受高中生喜愛，于是筆者提出了如下關于足球的問題：

例3如圖1所示，甲方球員A把球傳給甲方球員B，乙方的球員C出擊阻斷該球.球員C斷球是否成功，主要由以下因素確定：△ABC的形狀、傳球的速度、傳球的軌跡，還有球員奔跑的速度、球員C的出擊角度、球員們反應的時間、比賽時的天氣等.我們?yōu)榱撕喕瘑栴}，提出如下幾個假設：首先不考慮客觀因素；其次把球員反應時間當成零，并且球員奔跑速度都相等，且他們與球在同一個平面上作勻速直線運動.在這樣的假設下，球員C可否成功斷球的主要因素，一受△ABC的大小與形狀的影響；二受該球員奔跑速度的制約；三還得看傳球速度；最后還要看球員C出擊的角度.于是，我們可以把球員斷球問題，通過數(shù)學建模，轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學問題：

圖1 圖2

問題1：如圖2所示，甲方球員A把球傳給本隊同伴B，而乙方球員C想搶斷傳球，在∠A與θ(θ=∠ACD)滿足何種條件的時候，球員C才可能實現(xiàn)斷球目的？假設A=28°，B=40°，球的速度是16 m/s，球員C的速度是8 m/s，試求球員C出擊的方向.

問題2：若依然假設∠A=28°，∠B=40°，球的速度是16 m/s，球員的奔跑速度是8 m/s，試問：

(1)假如球員B積極回搶，那么他能否成功反斷球？

(2)球員C由哪個方向出擊，他肯定能成功阻斷球？

本問題完全數(shù)學化后，就是一個解三角形和平面幾何問題.由此可見，要把一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，首先應該從題目的實際出發(fā)，確定選擇何種數(shù)學模型，依據(jù)刪繁就簡原則，通過主觀“構造”，讓其顯出數(shù)學的本質(zhì).我們還可以改變假設的條件，如本例中球員對球作出反應的時間，讓球員們奔跑的速度各不相同，由于受空氣阻力的影響，還可以將球的速度變?yōu)闇p速運動等，于是球員成功斷球的條件就變得異常復雜了，這樣對學生的創(chuàng)新思維提出了更高的要求.但只有循序漸進，學生的創(chuàng)新性思維能力才能提高.

以上幾個例子告訴我們，觀察能力的培養(yǎng)與思維能力的培養(yǎng)，在數(shù)學建模教學中同樣重要.教師只有在數(shù)學建模中引導學生眼、手、腦三者聯(lián)動，創(chuàng)新思維的培養(yǎng)才能落地生根.