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        借助GeoGebra對2020高考全國Ⅰ卷第21題的探究及拓展

        2022-04-16 14:51:20武漢大學(xué)附屬中學(xué)齊黎明
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年13期
        關(guān)鍵詞:交點橢圓直線

        ?武漢大學(xué)附屬中學(xué) 齊黎明

        1 問題的提出

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)證明:直線CD過定點.

        2 基于GeoGebra的探究

        問題1~6將橢圓和點P一般化后,由于涉及運算比較復(fù)雜,判斷上述結(jié)論存在一定的難度.因此筆者借助GeoGebra進行探究,通過實驗演示觀察結(jié)論是否成立,同時為后面的代數(shù)證明提供了更加直觀、形象的思路支持.下面以問題1為例進行數(shù)學(xué)實驗探究.

        圖1

        (2)設(shè)置兩個“滑動條”控制變量m,t,在輸入框中輸入直線x=m,輸入P=(m,t),利用直線工具,作出直線PA,利用交點工具作出直線PA與橢圓E的交點C;繼續(xù)利用直線工具作出直線PB,利用交點工具作出直線PA與橢圓E的交點D,最后利用直線工具作出直線CD,利用交點工具作出直線CD與x軸的交點N,如圖2.

        圖2

        圖3

        3 問題的拓展與證明

        通過對以上問題的實驗探究,筆者將上述問題拓展到一般情形.

        圖4

        圖5

        圖6

        圖7

        證明:可以轉(zhuǎn)化為結(jié)論3證明.

        圖8

        (a2k2+b2)x2+2kna2x+a2n2-a2b2=0,

        令Δ>0,設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),有

        (m+x1)y2+y1(m+x2)=0,

        化簡得 2kx1x2+(km+n)(x1+x2)+2mn=0

        圖9

        4 探究后的反思

        在網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)的背景下,信息技術(shù)在人們?nèi)粘V械膽?yīng)用逐漸廣泛,并對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了深遠影響.利用信息技術(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué),會起到事半功倍的效果.在本文的課堂實驗探究中,借助GeoGebra軟件,構(gòu)建橢圓模型,通過控制變量不斷改變動直線和方程參數(shù)來演示圖形變化過程,讓學(xué)生觀察點的軌跡的運動情況,從而猜想出一般結(jié)論,為嚴(yán)謹?shù)倪壿嬐评碜C明提供了實驗支持.在GeoGebra可視化動態(tài)實驗過程中,給學(xué)生搭建了一個探究直線過定點問題的平臺,結(jié)合題目中直線與橢圓的多元聯(lián)系,通過動態(tài)演示,把數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系進行直觀的表征,強化了數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系,加深學(xué)生的體驗,進一步揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力,促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升[2].

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