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        循環(huán)MDS矩陣的構(gòu)造

        2022-04-13 14:28:42孫春雨陳博聰
        關(guān)鍵詞:單位根雙循環(huán)長(zhǎng)度

        孫春雨, 陳博聰

        (華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510641)

        循環(huán)MDS矩陣不僅在編碼理論中很重要, 而且在密碼學(xué)中也有許多應(yīng)用. 本文在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上, 提出了有限域上循環(huán)MDS矩陣的新構(gòu)造, 并構(gòu)造了奇特性有限域上的一類(lèi)循環(huán)對(duì)合MDS矩陣.

        1 準(zhǔn)備知識(shí)

        令Fq為具有q個(gè)元素的有限域,n表示一個(gè)正整數(shù). 令Fq[X]為變量X的多項(xiàng)式環(huán), 其系數(shù)在Fq中, 并令

        (1.1)

        被稱(chēng)為與多項(xiàng)式A(X)相關(guān)的循環(huán)矩陣. 然后, 可以通過(guò)將A到A(X)來(lái)驗(yàn)證Fq上的m×m循環(huán)矩陣的環(huán)與商環(huán)Fq[X]/〈Xm-1〉同構(gòu).

        最后, 我們需要從文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]得到一些關(guān)于Fq上長(zhǎng)度為2m的2-準(zhǔn)循環(huán)碼的已知結(jié)果. 注意文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]已經(jīng)發(fā)展了關(guān)于在Fq上長(zhǎng)度為lm的2-準(zhǔn)循環(huán)碼的一般理論; 然而, 出于我們的使用目的, 我們只重申在特定情況下l=2時(shí)的結(jié)果.

        Fq[X]/〈Xm-1〉×Fq[X]/〈Xm-1〉的Fq[X]/〈Xm-1〉子模稱(chēng)為在Fq上長(zhǎng)度為2m的2-準(zhǔn)循環(huán)碼. Lally和Fitzpatrick[5]表明,F(xiàn)q上長(zhǎng)度為2m的任何準(zhǔn)循環(huán)碼都具有關(guān)于上的POT項(xiàng)序以減少的Gr?bner基形式存在的生成集. 這個(gè)基可以用上三角2×2矩陣的形式表示如下:

        (1.2)

        其中元素在Fq[X]中, 必須滿(mǎn)足以下條件:

        (1) degg1, 1(X)>degg0, 1(X);

        (2)g0, 0(X) 和g1, 1(X)是Xm-1的除數(shù);

        (3) 若g0, 0(X)=Xm-1, 則g0, 1(X)=0.

        Semenov和Trifonov[6]提供了一種有效的方法, 一旦獲得了C的具有簡(jiǎn)化的Gr?bner基形式(1.2)的生成矩陣, 就可以找到C的奇偶校驗(yàn)矩陣.

        是通過(guò)堆疊向量vij獲得的ui×2矩陣. 構(gòu)造一個(gè)ui×2m矩陣

        (1.3)

        假設(shè)λ0,λ1, …,λt-1都是C的不同特征值, 并且λi在0≤i≤t-1時(shí)具有多重ui. 因此, 我們有t個(gè)矩陣H0,H1, …,Ht-1. 從文獻(xiàn)[6]引理2得出:

        (1.4)

        是一個(gè)(2m-k)×2m矩陣, 其秩等于2m-k, 其中k是C的維數(shù). Semenov和Trifonov[6]進(jìn)一步得出結(jié)論,H可以用作C的奇偶校驗(yàn)樣矩陣, 如下所示.

        2 主要結(jié)論

        令C為Fq上的[2m,m]-線性碼, 具有生成矩陣

        G=(Im∣A),

        其中Im是m×m單位矩陣,A是m×m循環(huán)矩陣, 如(1.1)所示. 在本節(jié)中, 假設(shè)m與q互素. 我們的最終目的是明確找到0≤i≤m-1的Fq的m值ai, 使得C是MDS碼.為此, 我們要給出C的一個(gè)奇偶校驗(yàn)矩陣.為此, 我們首先證明C可以看作Fq上長(zhǎng)度為2m的2-準(zhǔn)循環(huán)碼. 由于G=(Im|A)是C的生成矩陣, 因此可以得出

        然后, 我們有以下引理.

        我們有

        =(c0,c1, …,cm-1)(Im∣A).

        對(duì)于所有0≤i≤m-1

        其中a的下標(biāo)以模m計(jì)算.容易驗(yàn)證:

        =(cm-1,c0, …,cm-2)(Im∣A).

        我們注意到, 具有引理1.1的雙循環(huán)性的碼在文獻(xiàn)中稱(chēng)為雙循環(huán)碼(例如參見(jiàn)[7]). 如[7]所述, 將

        映射到

        ∈Fq[X]/〈Xm-1〉×Fq[X]/〈xm-1〉

        的映射為

        的雙射. 顯然,

        Fq[X]/〈Xm-1〉×Fq[X]/〈Xm-1〉在通常意義上是Fq[X]/〈Xm-1〉模; 此外, 標(biāo)量乘法X對(duì)應(yīng)于向量(c,c′)的雙循環(huán)移位. 因此,C可以視為

        Fq[X]/〈Xm-1〉×Fq[X]/〈Xm-1〉

        的Fq[X]/〈Xm-1〉子模. 換句話說(shuō),C是在Fq上長(zhǎng)度為2m的2-準(zhǔn)循環(huán)碼(例如參見(jiàn)[6]或[7]).

        接下來(lái), 我們的目標(biāo)是通過(guò)使用文獻(xiàn)[6]中介紹的方法為C導(dǎo)出一個(gè)奇偶校驗(yàn)矩陣. 現(xiàn)在很容易看出,C是由(1,A(X))生成的, 其中

        degf(x)≤m-1}

        =(αi, 1λiαiλi,λ2iαi,λ2i, …,λ(m-1)t)

        此時(shí)我們得到形式為(1.4)的C的奇偶校驗(yàn)矩陣:

        其中δ=λ-1也是Fqr中第m個(gè)單位根.

        定理2.1假設(shè)m>1是q-1的除數(shù).令

        λ∈Fq為本原的第m個(gè)單位根. 令α≠1是Fq的一個(gè)非零元素, 以使Fq的乘法群中α與m互素. 令

        相反, 假設(shè)對(duì)于某個(gè)0≤i,j≤m-1有λi=αλj, 得出α=λi-j. 假設(shè)Fq的乘群中的α的階等于s. 因此, 1=αs=λs(i-j).然后, 我們看到m是s(i-j)的因子. 由假設(shè)s與m互素, 則m是i-j的因子.推出i=j, 因此α=1. 這與α≠1矛盾.

        推論2.1令q為奇素?cái)?shù), 令Fq中α=1. 假設(shè)m>1是q-1的奇因子. 令λ∈Fq是本原的第m個(gè)單位根. 設(shè)δ=λ-1且

        相關(guān)的循環(huán)矩陣是循環(huán)對(duì)合MDS矩陣.

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