王 勇 陳靖逸

(湖北省襄陽市第一中學，441000)

2021年1月23日是值得紀念的日子,由國家教育部命題考試中心統(tǒng)一命題,江蘇、河北、遼寧、福建、湖北、湖南、廣東和重慶等八省市高三學生參加的大聯(lián)考拉開序幕,考生總人數(shù)達331萬，約占全國高考總人數(shù)的三分之一,這也是中國歷史上第一次大規(guī)模的聯(lián)考,絕對可以載入史冊.本次大聯(lián)考數(shù)學試卷中的立體幾何題的背景及考查點令人耳目一新,試題以大興機場的建設成就和高等數(shù)學中的微分幾何為背景,考查新定義“空間彎曲率”——“曲率”,對學生獲取信息能力、抽象概括能力、理解能力要求較高,是大聯(lián)考的一大亮點.下面給出此題的深刻剖析及此題的幾道變式題,供同學們研讀.

一、試題分析

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)如果多面體滿足頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類多面體的總曲率是常數(shù).

解(1)如圖2,四棱錐共有5個頂點,5個面.

四棱錐所有面角之和等于4個三角形內(nèi)角之和再加上1個四邊形的內(nèi)角之和.故四棱錐的總曲率=5×2π-4×π-2π=4π.

(2)解法1設多面體頂點數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則V-E+F=2.

多面體的總曲率=V×2π-多面體所有面角之和=V×2π-多面體的所有面的內(nèi)角之和.

多面體的面均為多邊形,由多邊形的內(nèi)角和公式可知,在多面體的所有面的內(nèi)角之和的計算過程中,每條棱都計算了兩次,所以多面體的所有面的內(nèi)角之和等于2E×π-F×2π,從而多面體的總曲率為V×2π-2E×π+F×2π=(V-E+F)×2π=4π.因此,這類多面體的總曲率是常數(shù).

解法2設多面體頂點數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則V-E+F=2.

設多面體的F個面分別是ni(i=1,2,…,F)邊形，因為ni邊形的內(nèi)角和為(ni-2)π，且滿足n1+n2+…+nF=2E(每條棱被兩個面公用，算作兩條邊)，所以多面體的總曲率

K=V×2π-多面體所有面角之和

=V×2π-多面體的所有面的內(nèi)角之和

=V×2π-(n1+n2+…+nF-2F)π

=V×2π-(2E-2F)π

=2π(V-E+F)=2π×2=4π.

因此,這類多面體的總曲率是常數(shù).

評注(1)該題打破傳統(tǒng)的出題模式,大膽創(chuàng)新的命題方式符合新高考的“多變性”,體現(xiàn)了時代特色.

(2)歐拉定理V-E+F=2(其中V為頂點數(shù)，E為棱數(shù)，F(xiàn)為面數(shù))是簡單多面體的一個幾何不變性質(zhì),也是推出總曲率為常數(shù)的依據(jù).以命題形式進行普及,加深了學生的認知.破解本題的關鍵是轉化,一是整體上來看,所有頂點處的面角之和等于多面體每個表面的多邊形的內(nèi)角和;二是多面體的總曲率=2π×頂點數(shù)-所有表面多邊形的內(nèi)角之和.

(3)第(2)問的解法1是命題組給出的標準答案,比較抽象,學生理解有困難;而解法2的思路自然流暢,通俗易懂,值得借鑒.

二、強烈輻射

(A)a>b>c>d

(B)a>b>d>c

(C)b>a>d>c

(D)c>d>b>a

評注本題給出多面體M在點P處的離散曲率的計算公式及內(nèi)涵解讀,要求學生在閱讀理解的基礎上分別計算四類具體正多面體在各頂點處的離散曲率,再比較大小,有效考查了學生的空間想象能力、運算求解能力,對平面幾何知識的考查也相當充分.

例3如圖4,在正三棱錐S-ABC中,D,E,F,G分別為SA,SC,BC,AB的中點.

(1)證明:D,E,F,G四點共面,且AC∥平面平面DEFG；

又AC?平面DEFG，DE?平面DEFG，所以AC∥平面DEFG.

(2)由(1)可得DE∥GF，且DE=GF，所以四邊形DEFG為平行四邊形.

于是,由AB=2，可知?SAB,?SBC,?SAC都是斜邊長2的等腰直角三角形,?ABC為邊長為2的正三角形.

如圖5，取AC的中點O，連結SO，BO，則SO⊥AC，BO⊥AC.又SO∩BO=O,所以AC⊥平面OBS.

(A)存在這樣的函數(shù),該函數(shù)圖象上任意兩點之間的“曲率”為常數(shù)

(C)函數(shù)f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)圖象上任意兩點A,B之間的“曲率”φ(A,B)≤2a

(D)設A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線f(x)=ex上不同兩點,且x1-x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是(-∞,1).

分析本題是多選題,是新高考標志性的新題型.根據(jù)題設中引入曲線上兩點間“曲率”的定義,可利用導數(shù)的幾何意義并結合特例法、放縮法獲解.

綜上，選AC.

(1)求b的值；

(2)若函數(shù)f(x)存在零點，求a的取值范圍；

(3)已知1.098

解(1)當a=0時，f(x)=-lnx-bcos(x-1),所以f(1)=-b.

(2)由(1)知f(1)=aex-lnx-cos(x-1).令f(x)=0,得

由此易見h(x)在(0,1)單調(diào)增，在(1,+∞)單調(diào)減.所以h(x)≤h(1)=0,即lnx+1≤x.

綜上，1.14

評注本題以曲率為媒介,主要考查函數(shù)的求導運算、零點和放縮法,考查的學科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學應用和數(shù)學探索.