孔志文 蔣曉東

(北京市朝陽外國語學(xué)校，100012) (北京市朝陽區(qū)教育科學(xué)院，100028)

向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是連接代數(shù)與幾何的橋梁,也是一種重要的數(shù)學(xué)工具.而向量的數(shù)量積是實數(shù),是連接向量和實數(shù)的紐帶.有關(guān)數(shù)量積的問題一般比較靈活,是學(xué)生思維發(fā)展的重要載體.數(shù)量積一般涉及模長、夾角、坐標等方面,是向量代數(shù)及幾何特性的綜合表現(xiàn).在處理有關(guān)向量數(shù)量積問題時,一般可以從定義法、基底法和坐標法三個方面思考,綜合運用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想解決問題.下面以一道選擇題為例闡述有關(guān)向量積問題解決的幾種有效策略,望廣大讀者批評指正.

一、問題呈現(xiàn)

分析本題是一個數(shù)量積問題,表述簡潔、結(jié)構(gòu)新穎,難點在于如何根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化不等式問題.探求本題的解決對于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力有著重要的意義.

二、策略探索

策略1定義法

運用數(shù)量積的定義,可將向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為投影問題,然后根據(jù)已經(jīng)條件求相關(guān)線段的取值范圍.

解法1如圖1,由于∠BAC=90°,BC=2,以AB,AC為鄰邊作矩形ABDC,設(shè)其外接圓為⊙O.

由已知條件，可得

亦即點P只能在與AD垂直的弦EF上.

策略2坐標法

解法2以BC的中點D為坐標原點,BC所在直線為x軸,建立如圖2的平面直角坐標系,則點B(-1,0),C(1,0).

設(shè)點P(t,0),A(x,y),易知-1≤t≤1.

由∠BAC=90°,BC=2,可知|AD|=1,即

x2+y2=1.

策略3基底法

λa2+μb2=1.

a2+b2=4.

三、結(jié)束語

向量數(shù)量積相關(guān)問題的解決需要和函數(shù)、方程、不等式相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來,有時候還需要和解析幾何等內(nèi)容聯(lián)系起來,它是高中生進行研究性學(xué)習(xí)很好的載體.廣大師生在教和學(xué)的過程中都要高度重視,對于學(xué)生思維的發(fā)展大有裨益.